Poligoni inscritti e circoscritti
Prof. Daniele Ippolito
Liceo “Filippo Buonarroti” di Pisa
Geometria piana euclidea
Secondo anno
Presentazione n. 2
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza.
La circonferenza si dice circoscritta al poligono.
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
La circonferenza si dice inscritta nel poligono.
Poligoni inscritti e circoscritti
Punti notevoli di un triangolo
Circocentro
Intersezione degli assi Incentro
Intersezione delle bisettrici
Ortocentro
Intersezione delle altezze
Baricentro
Intersezione delle mediane
Teorema sul circocentro
Gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in un unico punto, detto circocentro.
Teorema sull'incentro
Le bisettrici dei lati di un triangolo si incontrano in un unico punto, detto incentro.
L'incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo. È interno al triangolo.
Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
Può essere interno, esterno o su un lato del triangolo.
Teorema sull'ortocentro
Le altezze relative ai lati di un triangolo o i loro prolungamenti si incontrano in un unico punto, detto ortocentro.
Teorema sul baricentro
Le mediane dei lati di un triangolo si incontrano in un unico punto, detto baricentro.
Il baricentro è interno al triangolo.
L'ortocentro può essere interno, esterno o su un lato del triangolo.
Teorema sull'inscrivibilità
Un poligono è inscrivibile in una circonferenza se e solo se tutti gli assi dei suoi lati si incontrano in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza circoscritta.
Poligoni inscrivibili e circoscrivibili
Teorema sulla circoscrivibilità
Un poligono è circoscrivibile in una circonferenza se e solo se tutte le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in uno stesso punto, che è il centro della circonferenza inscritta.
Teorema
Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se ha una coppia di angoli opposti supplementari.
Quadrilateri inscrivibili
Essendo la somma degli angoli interni al quadrilatero 360°, se c'è una coppia di angoli supplementari, lo sono anche gli altri due.
Teorema
Un quadrilatero è circoscrivibile ad una circonferenza se e solo se la somma di due suoi lati opposti è congruente alla somma degli altri due.
Quadrilateri circoscrivibili
Un poligono si dice regolare se ha tutti gli angoli congruenti e tutti i lati congruenti.
Esistono infiniti poligoni regolari.
Poligoni regolari
Un poligono regolare è inscrivibile e circoscrivibile ad una circonferenza. I centri delle circonferenze inscritta e circoscritta coincidono.
Teorema
Il centro delle due circonferenze si dice centro del poligono.
Il raggio della circonferenza inscritta si dice apotema del poligono.
Per misurare la lunghezza di una circonferenza, occorre approssimarla con le lunghezze di una successione pn di poligoni regolari inscritti ed una Pn di poligoni regolari circoscritti.
Si osserva che, al crescere di n, pn e Pn tendono allo stesso valore.
Lunghezza di una circonferenza
Definizione di
Si dice il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza e il suo diametro.
Ne deriva che la lunghezza di una circonferenza di raggio r è 2r.
Lunghezza di un arco di circonferenza
Un arco di circonferenza di raggio r ed ampiezza
misurata in radianti, è r.
