Parole chiave: Funzione di trasferimento; poli e zeri; autovalori nascosti; grado relativo; poli e zeri dominanti; teorema del valore iniziale e finale, teorema della risposta in frequenza; zeri dominanti e sovraelongazioni; zeri instabili e risposta inversa; poli dominanti complessi e oscillazioni
Definizione di funzione di trasferimento
Perche’ zeri?Possiamo scrivere la trasformata dell’uscita (forzata piu’ libera) di un sistema come
Y(s) = N(s)
D(s)U(s) +L(s), dove ND e’ la funzione di trasferimento, U l’ingresso, e L la trasformata del mo- vimento libero dell’uscita. Il polinomio D(s), che e’ il poliniomio caratteristico a meno di semplificazioni, e’ com- posto da un binomio s+a per ogni modo e atdel sistema. Allo stesso modo, il poliniomio L(s)e’ composto da un binomios+caper ogni termine ce atche appare nel movimento libe- ro dell’uscita, quindi per condizioni iniziali opportune il denominato- re di L(s)puo’ avere per radici una qualsiasi combinazioni delle radici di D(s), e in particolare possiamo avere L(s) =D(1s).
Cerchiamo ora se esistono ingressi non identicamente nulli che danno luogo a uscita identicamente nulla, risolvendo ND((ss))U(s) +L(s) = 0.
Prendiamo U(s) = N1(s)e L(s) =D(1s). Otteniamo
N(s)
D(s)U(s) +L(s) = 1 D(s)
1 D(s)=0.
Quindi, dato un qualsiasi polinomio N(s), per opportune condizioni iniziali l’uscita corrispondente a ingresso U(s) = N1(s)e’ identicamente nulla. Gli zeri sono le radici del denominatore di questo U(s), dunque descrivono le sue componenti esponenziali o sinusoidali.
Abbiamo visto negli esercizi del capitolo precedente che, nel dominio di Laplace, la relazione tra ingresso e uscita di un sistema lineare con condizioni iniziali nulle e’
Y=⇣C(Is A) 1B+D⌘ U.
Riprendiamo la definizione vista nel precedente capitolo.
⌅ Definizione: Funzione di trasferimento
Il polinomio fratto C(Is A) 1B+D, una volta semplificati even- tuali binomi in comune tra numeratore e denominatore, e’ la funzione di trasferimento del sistema
F F.d.T. e movimento forzato
Data una funzione di trasferimento F(s) e un ingresso U(s), espresso nel dominio di Laplace, la funzione
F(s)U(s)
e’ la trasformata del movimento forzato del sistema.
⌅ Definizione: Poli e zeri
Data la funzione di trasferimento F(s) = N(s)
D(s),
le radici del numeratore sono dette zeri del sistema, le radici del denominatore sono dette poli del sistema.
⌅ Definizione: Poli e autovalori
I poli del sistema sono un sottoinsieme degli autovalori della matrice A (perche’ D(s)e’ il polinomio caratteristico di A, dopo semplificazione tra N(s)e D(s)).
⌅ Definizione: Autovalori nascosti
Se un sistema ha meno poli che autovalori, gli autovalori man- canti (che non appaiono nella funzione di trasferimento) si dicono autovalori nascosti, e sono le radici in comune traN(s)e D(s).
⌥ Teorema del grado relativo di sistemi propri e strettamente pro- pri
Per un sistema strettamente proprio, il grado relativo della fun- zione di trasferimento e’ strettamente positivo; per un sistema proprio il grado relativo e’ essere nullo. Una funzione di tra- sferimento con grado relativo negativo si dice impropria, e non corrisponde a nessun sistema A, B, C, D.
Dimostrazione. Consideriamo una funzione F(s) = C(Is A) 1B+ D con n poli. Per D=0 abbiamo
F(s) =C(Is A) 1B= Cadj(Is A)B det(Is A) ,
dove adj(Is A)e’ la matrice aggiunta di Is A, cioe’ la trasposta della matrice dei minori complementari. Il poliniomio det(Is A)ha grado n, mentre il poliniomio Cadj(Is A)B ha grado pari al grado massimo degli elementi di adj(Is A), che essendo minori comple- mentari (determinanti di una matrice di dimensione n 1), hanno grado massimo n 1. Di conseguenza, D(s) ha grado n, mentre N(s)ha grado massimo n 1, strettamente minore di n.
Se invece assumiamo D6=0, abbiamo F(s) = Cadj(Is A)B
det(Is A) +D= Cadj(Is A)B+D det(Is A) det(Is A) . Il termine D det(Is A)fa si’ che il numeratore abbia grado n, quindi il grado relativo e’ nullo.
Teoremi del valore iniziale, finale, e della risposta in frequenza
⌥ Teorema del valore iniziale
t!0lim+ f(t) = lim
s!•sF(s) Qui, t!0+significa che t tende a 0 da destra.
⌥ Teorema del valore finale
Se i poli di F(s) sono uguali a 0 oppure hanno parte reale strettamente negativa, allora
t!•lim f(t) =lim
s!0sF(s)
Si noti che il guadagno, qui definito, coincide con il guadagno definito nella rappresentazione di stato:
lims!0C(Is A) 1B+D= CA 1B+D.
F Guadagno Il valore
s!0lim s sF(s)
cioe’ il valore asintotico della risposta allo scalino di F(s), e’ il guadagno del sistema che ha per funzione di trasferimentoF(s).
⌥ Teorema della risposta in frequenza
Si consideri un sistema con funzione di trasferimento F(s)
con ingresso u(t) =a sin(wt). Se il sistema non ha poli in iw allo- ra ammette un’uscita periodica, ottenibile per condizioni iniziali opportune, della forma
y(t) =Ra sin(wt+f) In questo caso
R :=|F(iw)| e
f:=]F(iw).
Se il sistema e’ asintoticamente stabile inoltre questa uscita de- scrive il comportamento asintotico per ogni condizione iniziale.
Esempio 19. Consideriamo la funzione di trasferimento F(s) = 1100
+2s
con ingresso u(t) = 3 sin(2t), e assumiamo che il sistema non abbia autovalori nascosti.
Il sistema ha un unico polo in 126=2i. E’ asintoticamente stabile, perche’ non avendo autovalori nascosti ha un unico autovalore in
12. Quindi, l’uscita a transitorio esaurito e’ la sinusoide a sin(2t+f)
con
a=3 100
1+4i = p300 17
e
f=]1100+4i =]100 ](1+4i) =0 arctan(4/1)' 76 Esempio 20 (Risposta in frequenza per sistema non asintoticamente stabile). Proviamo a studiare l’uscita del sistem 1s con ingresso u(t) = sin(wt). Abbiamo
y(t) = Z t
0 sin(wt)dt+C= 1
wcos(wt) +C
Secondo il teorema della risposta in frequenza il sistema ammette l’uscita
R sin(wt+f)
con R=|F(iw)| = w1 e f= arctan(1/0) = 90 , cioe’
1
wsin(wt p/2) = 1 wcos wt
che infatti e’ una delle uscite possibili. Poiche’ il sistema non e’ asin- toticamente stabile, ammette anche altri comportamenti asintotici, a seconda della condizione iniziale.
Approssimazioni a uno e due poli
Abbiamo imparato, nei primi capitoli, come il comportamento del movimento libero di un sistema sia determinato nel lungo termine dai suoi autovalori dominanti. Un’affermazione simile si puo’ fare riguardo al comportamento del movimento forzato di un sistema, rappresentato come funzione di trasferimento. Cominciamo con le seguenti definizioni.
⌅ Definizione: Poli e zeri dominanti
Si dicono poli dominanti il polo o la coppia di poli complessi coniugati con parte reale piu’ a destra di tutti gli altri poli o zeri;
si dicono zeri dominanti lo zero o la coppia di zeri complessi coniugati con parte reale piu’ a destra di tutti gli altri poli o zeri.
Come abbiamo visto in precedenza, ad ogni polo corrisponde un autovalore, quindi un modo del sistema. Per i ragionamenti fatti in precedenza sui modi, il polo reale o i poli complessi dominanti
’descrivono’ il comportamento asintotico del sistema. Infatti, con un semplice ragionamento sulle proprieta’ della trasformata di Laplace e sulla struttura funzionale dell’antitrasformata di Y(s) = F(s)U(s), possiamo intuire come le componenti di y(t) dipendano, sul lungo termine, primariamente dalle componenti di U(s)e da quelle legate ai poli dominanti di F(s). Questa considerazione giustifica il fatto che molti sistemi, anche molto complessi, possano essere ragione- volmente approssimati nel loro funzionamento ingresso-uscita con modelli semplici, che ne descrivono solo i poli dominanti.
In particolare, dato un generico sistema e’ spesso possibile ap- prossimare la dinamica, e quindi il comportamento nel contesto di
un sistema di controllo, con un modello semplice avente un solo polo oppure due poli complessi coniugati. Vediamo sotto quali condizioni e’ ragionevole utilizzare queste approssimazioni.
Scriviamo la funzione di trasferimento F(s)nella forma
F(s) =µ
⇣ s
z1 +1⌘ ⇣ s
z2 +1⌘
· · ·
⇣ s
p1 +1⌘ ⇣
sp2 +1⌘
· · ·.
In prima istanza ipotizziamo che il polo dominante sia uno solo, reale.
⌅ Definizione: Approssimazione a un polo reale
Un sistema asintoticamente stabile con un polo dominante reale, si comporta approssimativamente come il sistema
s µ
p+1 dove µ e’ il guadagno, p e’ il polo.
Vedremo in seguito esempi di come questo modello semplificato approssimi il comportamento di un sistema piu’ complesso sui tempi lunghi.
Quando invece i poli dominanti sono una coppia complessa co- niugata, abbiamo bisogno di un modello del secondo ordine a radici complesse come approssimazione. Per introdurre una forma genera- le di sistema del secondo ordine, cominciamo discutendo la seguente funzione di trasferimento, detta dell’oscillatore armonico
⌅ Definizione: Funzione di trasferimento dell’oscillatore armonico Si chiama funzione di trasferimento dell’oscillatore armonico la seguente F.d.T.:
w2n s2+2xwns+w2n
smorzamento pulsazione naturale con wn>0, x2 [0, 1).
Si chiama funzione di trasferimento dell’oscillatore armonico perche’ e’, tra le altre cose, uguale a meno di una costante moltiplicativa alla F.d.T.
di un sistema massa-molla, con la posizione come uscita e una forza agente sulla massa come ingresso.
Il coefficiente elastico influenza la pulsazione naturale wn, mentre l’attrito viscoso influenza lo smorzamento x.
F Nota su poli e guadagno della F.d.T. dell’oscillatore armonico Il denominatore della precedente F.d.T ha radici
xwn±iwn
q1 x2,
il guadagno e’ pari a 1.
F Nota sulla relazione tra x, wn, e le parti reali e immaginarie dei poli
Eguagliando un arbitrario polinomio a radici complesse (s a ib)(s a+ib) = s2 2as+a2+b2 al denominatore della precedente F.d.T, vediamo che
wn=pa2+b2, x= a wn.
La pulsazione naturale wn corrisponde al modulo delle radici complesse del denominatore, lo smorzamento x e’ il rapporto tra la parte reale e il modulo.
Dalle due precedenti note capiamo che la funzione di trasferimen- to dell’oscillatore armonico rappresenta, a meno di un coefficiente moltiplicativo, una forma normale per qualsiasi funzione di trasferi- mento senza zeri e con due poli complessi coniugati in a±ib. Pos- siamo quindi utilizzarla come base per definire l’approssimazione di un qualsiasi sistema con due poli complessi coniugati dominanto.
⌅ Definizione: Approssimazione a due poli complessi coniugati Un sistema asintoticamente stabile con due poli dominanti complessi coniugati si comporta approssimativamente come il sistema
µ w2n s2+2xwns+w2n
dove µ e’ il guadagno, wn e’ la pulsazione naturale, pari al mo- dulo dei poli, e 0<x<1 e’ lo smorzamento, pari alla parte reale dei poli diviso wn. I poli sono in xwn±wpx2 1.
F Pulsazione e pulsazione naturale
Per x <<1, wn e’ approssimativamente uguale alla parte imma- ginaria dei poli. Quindi, per smorzamenti piccoli la pulsazione del modo oscillatorio e xwntsin(wnp
1 x2t)e’ ben approssimata dalla pulsazione naturale wn.
Nella funzione di trasferimento dell’approssimazione a due poli, il valore x =1 si chiama smorzamento critico. E’ il valore dello smor- zamento che minimizza il massimo tra le costanti di tempo dei due
poli. Possiamo osservare questo fatto tracciando il luogo delle radici Notiamo che, per x >1, i due poli sono reali e hanno costanti di tempo diverse
del denominatore al variare del parametro x tra 0 e •:
0 0
x!0
x=1
x!0
• x x!•
⇥
⇥
•
<
=
tomobile. Possiamo approssimare (approssimazione a due poli!) il modello con un sistema massa molla
¨x= kx g ˙x.
Il suo polinomio caratteristico e’
s2+gs+k. Modificando k, quindi cambiando la molla, possiamo sele- zionare la pulsazione critica (k=w2n).
Modificando g, quindi cambiando ammortizzatore, possiamo selezionare lo smorzamento (x= g
2p k).
Il comportamento migliore e’ ottenu- to per x '1, che minimizza il tempo di assestamento, evitando al contempo oscillazioni.
Risposte di sistemi semplici ad ingressi notevoli
E’ utile allenarsi ad applicare velocemente i risultati precedenti allo studio della risposta di sistemi semplici ad alcuni ingerssi notevo- li (tipicamente impulso, scalino, ecc.). Vediamo in seguito alcuni esempi significativi.
Esempio 21 (relazione tra risposte a scalino, impulso, rampa). Con- sideriamo le risposte a impulso, scalino, rampa della funzione di trasferimento
F(s). Abbiamo rispettivamente
Yimpulso =F(s), Yscalino= 1sF(s), Yrampa= 1 s2F(s). F La risposta allo scalino di un sistema e’ l’integrale della sua ri-
sposta all’impulso, e la risposta alla rampa e’ l’integrale della sua risposta allo scalino.
Esempio 22 (Risposta allo scalino ed eccesso di poli). Consideriamo le funzione di trasferimento
F1(s) = s+1 (10s+1)(2s+1), e
F2(s) = 1
(10s+1)(2s+1)
La prima ha eccesso di poli pari ad 1, la seconda ha eccesso di poli pari a 2. Utilizzando il teorema del valore iniziale vediamo facil- mente che, per la prima, la risposta allo scalino parte con y(0) =0,
˙y(0) >0, mentre per la seconda y(0) =0, ˙y(0) =0, ¨y(0) >0.
F Prima derivata non nulla
La prima derivata non nulla della risposta allo scalino e’ di ordine pari all’eccesso di poli.
Conseguenza delle due note preceden- ti: la prima derivata non nulla della risposta all’impulso e’ di ordine pari all’eccesso di poli meno 1; la prima derivata non nulla della risposta alla rampa e’ di ordine pari all’eccesso di poli piu’ 1.
Esempio 23 (Risposta allo scalino e poli dominanti reali/complessi).
Consideriamo le funzione di trasferimento F1(s) = µ
(s+1)(. . .), e
F2(s) = µ
(s2+s+1)(. . .),
dove i termini omessi rappresentano poli non dominanti. I due siste- mi sono approssimati rispettivamente dalle funzioni di trasferimento
F1(s) = µ (s+1), e
F2(s) = µ (s2+s+1).
Il primo ha il polo in 1, la risposta allo scalino tende esponenzial- mente al suo valore asintotico, ed eventuali oscillazioni spariscono durante il transitorio. Il secondo ha due poli dominanti complessi coniugati in 1/2±p
3/4, di conseguenza il suo transitorio pre- senta un numero infinito di massimi e minimi locali, corrispondenti ad infinite oscillazioni di ampiezza decrescente attorno al valore di equilibrio.
F Risposta allo scalino di sistema con polo reale dominante Un sistema stabile con polo dominante reale ha una risposta allo scalino esponenziale decrescente, di valore tendente al guadagno.
F Risposta allo scalino di sistema con poli dominanti complessi coniugati
Un sistema stabile con una coppia di poli dominanti complessi coniuganti ha risposta allo scalino con comportamento asintoti- co oscillatorio, con ampiezza tendente a 0 e valore tendente al guadagno.
Esempio 24 (Risposta allo scalino di sistema a due poli con zero dominante o instabile). Consideriamo due funzioni di trasferimento con due poli e uno zero:
F1(s) = as+1 (10s+1)(s+1) e
F2(s) = as+1 (10s+1)(s+1), con a>0.
Analizzando la prima, vediamo che, per a!•, ˙y(0)!•.
Provando a tracciare la risposta allo scalino ci possiamo aspettare una sovraelongazione per a sufficientemente grande.
Analizzando la seconda vediamo che, poiche’ il sistema ha uno zero instabile,
˙y(0) <•.
F Risposta al scalino di sistema con due poli e uno zero dominante stabile
Se un sistema stabile con eccesso di poli 1 ha uno zero stabile dominante (cioe’ piu’ a destra di tutti gli altri zeri e poli), allora la risposta allo scalino ha una sovraelongazione, tanto piu’ ampia quanto piu’ e’ grande la costante di tempo dello zero.
Notiamo che, nel caso di un sistema con un solo polo e uno zero (quindi nel caso di un sistema proprio non strettamente), la condizione di zero dominante fa si’ che il valore a t=0 della risposta sia, in modulo, maggiore del valore asintotico. Il sistema ha quindi comportamento simile a quello qui descritto, ma la sovraelongazione avviene istantaneamente a t=0.
F Risposta al scalino di sistema con due poli e uno zero instabile Se un sistema stabile con eccesso di poli 1 ha uno zero instabi- le (o un numero dispari di zeri instabili) ha risposta allo scalino che parte nella direzione opposta alla direzione del suo valore asintotico.
Notiamo che la risposta inversa, qui descritta, si osserva anche nel caso di un sistema con un solo polo e uno zero instabile (quindi nel caso di un sistema proprio non strettamente)
Un esempio di sistema con zero instabile e’ il modello del rollio di una nave (inclinazione laterale) in conseguenza del movimento del timone. Ruotando il timone, per esempio per una curva a destra, inizialmente la pressione dell’acqua sul timone causa un rollio dello scafo verso destra; successivamente il moto curvilineo fa inclinare lo scafo verso sinistra.
Esercizi
Esercizio 28
Si studi l’uscita asintotica del sistema 1+s1 con ingresso u = sin(t) con il teorema della risposta in frequenza, e con il teorema del valore finale.
Esercizio 29
Si tracci qualitativamente la risposta all’impulso di un sistema con funzione di trasferimento
s s2+s+1.
Esercizio 30
Si discuta il comportamento per t!0 e t!• della risposta allo scalino dell’oscillatore armonico smorzato
w2n
s2+2xwns+w2n, per 0<x<1 e per x>1.
Esercizio 31 Utilizzando la seguente risposta all’impulso
y
t .
si proponga un possibile modello del sistema, in forma di funzione di trasferimento.
Esercizio 32 Si consideri la funzione di trasferimento
50 (s+2)(s+100)
1. Si traccino qualitativamente la risposta all’impulso e allo sca- lino.
2. Si proponga un’approssimazione a un polo del sistema.
Esercizio 33 Dato il sistema
˙x1= 4x1 x2+u
˙x2= 2x2
y=3x1
1. Si calcoli la funzione di trasferimento
2. Si identifichino gli eventuali autovalori nascosti
3. Si tracci qualitativamente la risposta del sistema allo scalino 4. Si calcoli la forma analitica della risposta allo scalino
Esercizio 34
Il seguente sistema rappresenta la biomassa corrispondente ad una popolazione di prede e predatori in una catena alimentare:
˙x1=x1((u x1) 2x2) (1)
˙x2=x1x2 x2 (2)
y=x2. (3)
Nelle equazioni x1rappresenta la biomassa delle prede, x2quella dei predatori.
1. Si identifichino gli equilibri del sistema per u costante e ugua- le a 3.
2. Si scrivano le equazioni del sistema linearizzato attorno ai tre equilibri, discutendone la stabilita’
3. Si calcoli la funzione di trasferimento associata all’equilibrio strettamente positivo
4. Assumendo che l’ingresso nominale ¯u = 3 sia perturbato da un piccolo segnale sinusoidale 0.1 sin(t), dovuto a variazioni stagionali dell’ambiente, si dia una rappresentazione quali- tativa dell’uscita del sistema linearizzato attorno all’equilibrio strettamente positivo in conseguenza dell’ingresso tempo-variante, assumendo come condizione iniziale una generica perturba- zione dx.
Esercizio 35
1. Tracciare qualitativamente la risposta alla rampa di un sistema con funzione di trasferimento
F(s) = s 1 (s+3)(s+2)
2. Calcolare la forma analitica della risposta precedente.
Esercizio 36
Si tracci la risposta allo scalino del seguente sistema, mettendo in evidenza eventuali sovraelongazioni
Y= s+1
(s+5)(s+20)U
Esercizio 37
Si tracci la risposta allo scalino del sistema con funzione di trasfe- rimento
2s+4 (s+1)(s+2), precisando eventuali sovraelongazioni.
