dove i parametri sono di volta in volta specificati. Si calcoli per ciascun sistema la funzione di trasferimento e si dica se il sistema ` e asintoticamente stabile.

Esercizi sul calcolo della funzione di trasferimento e sulla stabilit` a Si considerino i sistemi lineari

( ˙x(t) = Ax(t) + bu(t), y(t) = cx(t) + du(t),

dove i parametri sono di volta in volta specificati. Si calcoli per ciascun sistema la funzione di trasferimento e si dica se il sistema ` e asintoticamente stabile.

1. A =

"

3 7 1 3

# , b =

"

4 7

# , c =

h 4 7

i

, d = 1.

Soluzione W = ^s

_s ^+59s+31

−6s+2

Non asintoticamente stabile.

2. A =

"

7 4 7 1

# , b =

"

3 4

# , c = h

3 2 i

, d = 3.

Soluzione W = ^3s _s

−8s−21 ^−7s−38

Non asintoticamente stabile.

3. A =

"

4 4 8 7

# , b =

"

4 8

# , c = h

7 4 i

, d = 0.

Soluzione W = _s

^60s+28 −11s−4

Non asintoticamente stabile.

4. A =

"

8 3 9 7

# , b =

"

4 8

# , c = h

7 2 i

, d = 3.

Soluzione W = _s ^3s

−15s+29

^−1s+3

Non asintoticamente stabile.

5. A =

"

9 8 5 6

# , b =

"

2 2

# , c = h

4 7 i

, d = 3.

1

Soluzione W = ^3s _s

−15s+14 ^−23s+2

Non asintoticamente stabile.

6. A =

"

8 5 3 1

# , b =

"

2 2

# , c = h

7 5 i

, d = 0.

Soluzione W = _s

^24s+6 −9s−7

Non asintoticamente stabile.

7. A =

"

5 1 2 8

# , b =

"

6 9

# , c = h

7 6 i

, d = 3.

Soluzione W = ^3s _s

^+57s−357 −13s+38

Non asintoticamente stabile.

8. A =

"

8 1 9 8

# , b =

"

6 9

# , c =

h 5 5

i

, d = 3.

Soluzione W = ^3s _s

^+27s−120 −16s+55

Non asintoticamente stabile.

9. A =

"

3 9 5 6

# , b =

"

8 7

# , c =

h 6 3

i

, d = 2.

Soluzione W = ^2s _s

^+51s+93 −9s−27

Non asintoticamente stabile.

10. A =

"

1 6 6 7

# , b =

"

9 9

# , c = h

7 6 i

, d = 3.

Soluzione W = ^3s _s

^+93s+120 −8s−29

Non asintoticamente stabile.

2

11. A =







0 2 −1

−2 0 0

−2 2 1





 , b =





 1 6 4





 , c = h

1 5 2 i

, d = 0.

Soluzione W = ^39s _s

−s

^−13s−58

+2s−8

Non asintoticamente stabile.

12. A =







−1 −2 0

−2 1 1

−2 −1 0





 , b =





 5 5 2





 , c = h

5 8 8 i

, d = 1.

Soluzione

W = ^s

^+81s _s

−4s−3 ^−223s+138

Non asintoticamente stabile.

13. A =







−1 0 −2

0 −1 −2

1 2 −2





 , b =





 2 6 6





 , c = h

1 9 7 i

, d = 2.

Soluzione

W = ^2s

^+106s _s

+4s

^+252s+204 +11s+8

Asintoticamente stabile.

3