CONVERSIONE DIRETTA MHD

CONVERSIONE DIRETTA MHD

Pregi e difetti

Dalla teoria della termodinamica è ben noto che la massima efficienza di un ciclo dipende solo dal rapporto fra la temperatura massima e quella minima (rendimento teorico di Carnot). Gli attuali dispositivi di conversione energetica (turbogeneratori) sfruttano diversi tipi di sorgenti di calore: chimica, nucleare, solare, geotermica, ecc… ciascuno dei quali ha una sua temperatura di riferimento. Spesso la tecnologia non consente di operare la conversione energetica a temperature prossime a quelle della sorgente di calore: ad esempio, mentre esistono sorgenti fino a 3000 K, gli attuali turbogeneratori possono operare economicamente fino a 850 K, a causa dei notevoli stress sia meccanici che termici cui sono sottoposte le palettature delle turbine. Se fosse possibile diminuire questo divario l’efficienza termodinamica migliorerebbe, contribuendo ad un migliore sfruttamento delle risorse naturali e ad una diminuzione dell’inquinamento atmosferico.

I generatori MHD, a differenza delle turbine, non prevedono l’uso di parti meccaniche in movimento, quindi sono in grado di operare con temperature del gas molto più elevate. Secondo alcuni calcoli, sembra che con la conversione diretta MHD si possano raggiungere efficienze termodinamiche tra il 50 e il 60 %.

Generatori per gas

Nei prossimi paragrafi verranno presentati alcuni tipi di generatori utilizzati in magnetogasdinamica. La configurazione di base è la stessa che viene sfruttata nella magnetoidrodinamica dei metalli liquidi, ma le caratteristiche dei gas e dei plasmi utilizzati portano ad alcune differenze fondamentali.

Conducibilità elettrica dei gas

La conducibilità elettrica dei gas e dei plasmi utilizzati nei generatori dipende fortemente dalla temperatura: affinché essa assuma valori che consentano l’estrazione di un valore ragionevole di densità volumetrica di potenza elettrica bisogna andare a lavorare con temperature elevatissime. Dal punto di vista termodinamico questo introduce notevoli vantaggi in termini di efficienza, ma le complicazioni derivanti dalla gestione di temperature dell’ordine di alcune migliaia di Kelvin sono evidenti.

Il grafico in Figura 20 riporta l’andamento della conducibilità in funzione della temperatura per alcuni gas di interesse pratico.

Figura 20: Conducibilità elettrica di alcuni gas usati nei generatori MHD a 1 atm (--- prodotti della combustione di C2H5OH + 3O2 con una frazione in massa N2/O2 di 0.5, drogati con una frazione in massa 0.01 di

K; - - - argon drogato con frazione molare 0.004 di K; -- ⋅ -- ⋅ -- argon drogato con frazione molare 0.004 di Cs)

Influenza dell’effetto Hall

La figura 21 riporta i valori del parametro di Hall _β per i plasma di cui sopra, per valori di induzione di 1 T (si può supporre con ragionevole approssimazione che il parametro di Hall vari linearmente con l’induzione).

Figura 21: Parametro di Hall per alcuni i gas di cui alla figura precedente per B = 1.0 T

Dai valori di tale parametro si osserva che nei generatori MHD a gas l’effetto Hall può giocare un ruolo significativo e non deve essere trascurato: la separazione di cariche dovuta alla corrente che

Tipi di generatori

Generatore di Faraday continuo

Gli elementi essenziali di un generatore MHD semplificato sono riportati in figura 22.

Figura 22: Un generatore MHD semplificato

Questo generatore è conosciuto come Faraday continuo. Trascurando l’effetto Hall, la legge di Ohm si scrive

(

)

j = ⋅_σ E u BG+ ∧ G

G _G

Il campo elettrico EG, che si oppone al campo elettrico mozionale u BG∧ G, è originato dalla differenza di potenziale che si forma tra i due elettrodi

(

EG = −∇G_ϕ

)

. Se, in prima approssimazione, si ipotizza che la velocità e la conducibilità elettrica siano uniformi, riferendoci al sistema di coordinate rappresentato in figura si può scrivere un’unica equazione scalare:

(

)

y y

j = ⋅_σ E − ⋅ u B

A circuito aperto

(

j_y = il campo elettrico risulta 0

)

u B⋅ ; in corto circuito

(

E_y = la densità di 0

)

corrente è j_{y cc,} = − ⋅ ⋅ . _σ B u

y

E K

u B⋅ 

che assume valori compresi tra 0 (cto-cto) e 1 (vuoto); la legge di Ohm diventa, allora,

(

1

)

y

j = − ⋅ ⋅ ⋅ −_σ u B K

Il segno negativo indica che il verso convenzionale della corrente è nella direzione delle y negative.

Dato che gli elettroni scorrono in senso opposto, l’elettrodo inferiore sarà un emettitore di elettroni (catodo) e quello superiore sarà un ricevitore (anodo).

La potenza elettrica per unità di volume estratta dal gas è:

el P = − ⋅Gj EG Sostituendo, si ottiene

(

)

2 2 ₁ el P = ⋅ ⋅σ u B K⋅ ⋅ −K Questa densità di potenza ha un valore massimo pari a

2 2 , 4 el Max u B P =σ⋅ ⋅

in corrispondenza di un fattore di carico K =1 2.

La potenza meccanica per unità di volume sottratta al gas dal campo elettromagnetico è data dal prodotto scalare tra la velocità e il gradiente di pressione:

(

)

mecc

P = − ⋅ ∧uG Gj BG

Si definisce, pertanto, il rendimento elettrico di conversione di un generatore MHD come

(

)

el mecc P j E P u j B η= = ⋅ ⋅ ∧ G G G G G che, sostituendo le precedenti espressioni, si riduce a

K

η=

Il generatore di Faraday lavora meglio in condizioni di basso carico. Considerando anche l’effetto Hall la legge di Ohm assume la forma

(

)

(

)

' 2 ' 2 1 1 y y x x x y j E E j E E σ _β β σ _β β = ⋅ + ⋅ + = ⋅ − ⋅ +

Poiché gli elettrodi di un generatore di tipo Faraday continuo si estendono per tutta la lunghezza del condotto, essi tendono a imporre nel gas superfici equipotenziali normali alla direzione y.

Sostituendo 0E_x = si ottiene:

(

)

' 2 2 ' 2 1 1 1 1 y y x y y u B K j E j E j σ σ β β σ _{β β} β ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ = − + + = ⋅ ⋅ = − ⋅ +

da cui segue che la potenza elettrica si modifica in

(

)

2 2 2 1 1 el u B K K P j E σ β ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = − ⋅ = + G G

L’effetto Hall provoca il manifestarsi di una corrente di Hall che scorre lungo la direzione del moto del gas richiudendosi attraverso gli elettrodi. Di conseguenza, si riducono la corrente e la potenza di un fattore

(

_1+β2

)

_{, dato che il campo indotto mozionale uB deve vincere il campo E}

y dovuto alla

ddp tra gli elettrodi insieme alla fem di Hall risultante dal flusso di corrente in direzione x. Generatore di Faraday a segmenti

Per ovviare alle conseguenze deleterie dell’effetto Hall, gli elettrodi possono essere suddivisi in più segmenti come indicato in figura 23 (b) permettendo la connessione di carichi diversi a ciascuna coppia di segmenti opposti.

Nel caso limite di una segmentazione infinita, non ci può essere una componente x di corrente né negli elettrodi, né nel gas, quindi la condizione ideale per un generatore di tipo Faraday a segmenti è 0J_x = . Sostituendo questa condizione nella legge di Ohm scritta precedentemente si scopre che questa configurazione porta alla nascita di una componente di campo elettrico nella direzione x, il cosiddetto campo di Hall:

'

x y

E = ⋅_β E

Con questo valore, si ritorna alla relazione che avevamo usato in prima approssimazione, quando avevamo trascurato l’effetto Hall:

'

y y

j = ⋅_σ E

Figura 23: Possibili connessioni degli elettrodi per generatori MHD a geometria lineare

In un generatore reale con un numero finito di segmenti, l’effetto Hall causa una concentrazione della corrente all’estremità iniziale dell’anodo e a quella finale del catodo (nel verso del moto del gas). Le correnti di Hall non sono, quindi, completamente soppresse, e il miglioramento delle prestazioni di un generatore di tipo Faraday a segmenti non è così buono come suggerivano i calcoli idealizzati. Una curva sperimentale della potenza per un generatore operante mediante prodotti della combustione, ottenuta da Way, DeCorso, Hunstad, Kemeny e Stewart nel 1961 è riportata, a confronto con quella teorica, in figura 24. Le discrepanze sono attribuite in parte alle correnti disperse nelle pareti del generatore.

a) Generatore di Faraday continuo

b) Generatore di Faraday a segmenti

c) Generatore di Hall

Figura 24: Potenza elettrica prodotta da un generatore sperimentale alimentato a prodotti di combustione, a confronto con la teoria

Generatore di Hall

Il fatto che l’effetto Hall produca una componente assiale del campo elettrico suggerisce che esso possa essere usato per alimentare un carico connesso tra due elettrodi posti all’inizio e alla fine del canale MHD. Secondo quanto affermato in precedenza, l’ampiezza del campo elettrico assiale sarà massima quando gli elettrodi opposti sono cortocircuitati, E_y = . In linea di principio questo può 0 essere ottenuto sia internamente che esternamente, come indicato in figura 23 (c). Questo tipo di connessione prende il nome di generatore di Hall. A causa della condizione appena imposta, la legge di Ohm si modifica:

(

)

(

)

2 2 1 1 y x x x j u B E j E u B σ _β β σ _β β = ⋅ − ⋅ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ +

Da queste relazioni si ricava il campo elettrico di un generatore di Hall a circuito aperto, _{− ⋅ ⋅ ; β} u B

possiamo allora definire il fattore di carico in maniera analoga al generatore di Faraday

x H E K u B β − ⋅ ⋅  e riscrivere la legge di Ohm nella forma

(

)

(

)

2 2 2 1 1 1 1 H y x H K j u B j u B K β σ β β σ β + ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +

Per un generatore di Hall la densità volumetrica di potenza risulta

(

)

2 2 2 2 1 1 el x x H H P j E _σ u B β K K β = − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +

da cui deriva il rendimento elettrico:

(

)

2 2 1 1 x x H H y H j E K K j u B K β η β ⋅ = = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

Per grandi valori del parametro di Hall, la densità di potenza di un generatore di Hall si avvicina a quella di un generatore di Faraday a segmenti; tuttavia, quest’ultimo tipo di generatore tende ad avere un rendimento elettrico più elevato in condizioni di lavoro prossime (ma non troppo) al corto circuito, offrendo la semplicità di una connessione a due terminali.

Generatore a pareti conduttrici diagonali

Il generatore di Faraday continuo e quello di Hall possono essere visti come casi particolari di una classe di generatori a due terminali ai quali ci si riferisce come generatori a pareti conduttrici diagonali. Come illustrato in figura 23 d, i conduttori diagonali, che formano parte del condotto, sono in contatto con il plasma e tendono ad imporre superfici equipotenziali diagonali nel plasma. Quindi, la condizione che individua un particolare generatore di questo tipo è

tan

y x

E

E = − α

dove _{α è l’angolo compreso tra il piano che passa attraverso un conduttore e il piano y-z. I} generatori di Hall e di Faraday continuo corrispondono, rispettivamente, a _α =0 e _{α π}= 2.

Generatori a geometria particolare

Oltre alla geometria lineare e alle sue varie configurazioni degli elettrodi, sono stati proposti generatori MHD di geometria diversa.

Figura 25: Geometrie particolari per generatori MHD

Nei generatori a disco e in quelli anulari, riportati in figura 25 b-c, la componente di corrente indotta a scorrere nella direzione u BG∧ G si richiude su se stessa all’interno del plasma, ovviando, quindi, alla necessità di elettrodi a segmenti. La geometria a vortice è simile a quella di un generatore di tipo Faraday continuo, pertanto richiede che il parametro di Hall sia piccolo.

Generatori per metalli liquidi (LMMHD)

Influenza dell’effetto Hall

Il parametro di Hall _β introdotto in precedenza dipende dal libero cammino medio dei portatori di carica, _τ , e dalle loro caratteristiche microscopiche, massa e quantità di carica. In molti generatori MHD si usano metalli liquidi come fluidi conduttori (mercurio, sodio, potassio); in tal caso si parla di magnetoidrodinamica dei metalli liquidi, LMMHD. In queste sostanze, la mobilità degli elettroni è considerevolmente ridotta, dato che si tratta di liquidi: pertanto, il parametro di Hall assume valori tali per cui il campo elettrico di Hall e tutte le sue conseguenze possano essere trascurate. I metalli liquidi sono caratterizzati da una conducibilità molto più elevata di quella dei gas o dei plasmi, anche a temperature relativamente contenute: per questo motivo sono da preferirsi.

I generatori usati sono del tipo Faraday continuo, analoghi a quelli descritti in precedenza per i gas. b) Generatore di Hall a disco

Generatori a conduzione

I generatori MHD sono, sostanzialmente, dei canali in cui il metallo liquido scorre all’interno di un campo magnetico, dando vita ad una distribuzione di corrente in una direzione perpendicolare sia al campo che alla velocità. Finora abbiamo esaminato diverse geometrie del canale e diverse configurazioni degli elettrodi; esistono anche altri tipi di generatori, ciascuno con la sua struttura di campo magnetico.

Nei generatori a conduzione, le correnti elettriche indotte sono raccolte direttamente tramite elettrodi a diretto contatto con il metallo liquido. Questo potrebbe dare luogo a problemi di corrosione sugli elettrodi qualora si usino sostanze aggressive. Tuttavia, questo tipo di generatori ha il vantaggio di lavorare con una migliore efficienza di conversione.

Nella descrizione del generatore di Faraday continuo avevamo ricavato il valore teorico del rendimento elettrico, che andava a coincidere con il fattore di carico. Il valore effettivo, però, sarà più basso, a causa delle perdite per effetto Joule all’interno del fluido, delle perdite per attrito e delle perdite dovute alle particolari distribuzioni di velocità in corrispondenza delle estremità del traferro magnetico.

Tra le suddette perdite, quelle preponderanti sono legate all’effetto Joule; esse possono essere ridotte aumentando il valore dell’induzione magnetica, a parità di carico. In figura 26 si osservano alcune curve del rendimento in funzione del fattore di carico, per diversi valori del numero di Hartmann (che rappresenta una misura di quanto siano intense le forze elettromagnetiche nel fluido): tutte le curve passano per lo zero sia a vuoto (la potenza elettrica è nulla perché non c’è corrente) che in cto-cto (la potenza elettrica è nulla perché non c’è tensione), l’inviluppo dei massimi unisce tutti punti in cui il fattore di carico è tale per cui la resistenza esterna uguaglia quella interna.

Le perdite alle estremità potrebbero essere combattute isolando elettricamente le pareti del condotto all’ingresso e all’uscita dal magnete.

Se il campo magnetico trasversale è costante nel tempo, la tensione di uscita del generatore sarà continua e di valore molto basso, a causa dell’elevata conducibilità interna del metallo liquido; si potrebbe pensare di usare un’induzione variabile nel tempo per ottenere direttamente corrente alternata, ma questa eventualità non è stata approfondita dal punto di vista sperimentale.

I generatori a conduzione possono funzionare in condizioni di autoeccitazione: all’avviamento si sfrutta il campo magnetico residuo nel nucleo ferromagnetico, poi, quando la velocità supera un valore critico, la corrente prodotta comincia ad aumentare in maniera sostanziale, garantendo un adeguato bilancio energetico tra le forze elettromagnetiche e le varie perdite. Questa possibilità è molto importante per i sistemi elettrici di bordo, ad esempio in campo spaziale.

La figura 27 riporta l’andamento temporale della velocità del fluido all’avviamento e della corrispondente corrente elettrica prodotta.

Figura 27: Evoluzione temporale della velocità del fluido (v) e della corrente nel carico (IL). All'istante t=t*, la velocità raggiunge il valore critico Vc e inizia l'autoeccitazione

I generatori a conduzione sono facilmente adattabili per lavorare con miscele bifase. In tal caso la sezione trasversale del canale deve essere progettata in modo da controllare l’evoluzione del grado di vuoto e non sarà costante.

Generatori a induzione

Questo tipo di macchina lavora con un campo magnetico mobile, la cui direzione è perpendicolare all’asse del flusso, e che scorre nella stessa direzione del metallo liquido. Gli avvolgimenti primari sono connessi ad una rete polifase e l’energia elettrica passa direttamente dal metallo liquido alle bobine di eccitazione senza contatto diretto. A parte il fatto che la geometria di questa macchina lineare è di lunghezza limitata, il suo principio di funzionamento è abbastanza simile a quello di un generatore asincrono.

La geometria del canale può essere rettangolare o anulare. La figura 28 mostra la geometria rettangolare, dove il canale è inserito tra due nuclei magnetici che presentano delle fessure sulla loro faccia interna, le sedi degli avvolgimenti primari. Se possibile, ad esempio quando la temperatura e la corrosività del metallo liquido sono limitate, si aggiungono due barre laterali metalliche ad elevata conducibilità, per assicurare che le correnti elettriche indotte circolino in direzione normale al flusso, migliorando l’efficienza di conversione della potenza meccanica in elettrica.

Figura 28: Generatore a induzione a geometria rettangolare

La figura 29 mostra la geometria anulare, dove le bobine sono circolari e avvolte attorno al tubo esterno. Il metallo liquido scorre nella cavità anulare tra la parte magnetica esterna, contenente le cave, e il nucleo circolare interno, che serve a diminuire la riluttanza magnetica del circuito. In questo caso le correnti indotte scorrono in direzione azimutale, le linee di forza del campo magnetico sono radiali, quindi le forze elettromagnetiche agiscono assialmente. Questa geometria è quella usata per le pompe del sodio nei reattori nucleari a fertilizzazione veloce. Essa gode di una completa simmetria assiale, che permette di evitare le barre conduttrici laterali menzionate con la

Figura 29: Generatore a induzione a geometria anulare

La modellazione teorica di questi tipi di generatori è molto più complicata. In particolare, gli effetti delle estremità possono avere una drammatica influenza se non si presta la dovuta attenzione alla progettazione degli avvolgimenti primari. Studi recenti hanno dimostrato che, quando una distribuzione non uniforme del foglio di corrente primario si combina con una spaziatura non uniforme delle cave, si possono raggiungere valori elevati dell’efficienza.

Tuttavia, la configurazione anulare non è sempre praticabile tecnicamente: quando la temperatura del metallo liquido è troppo elevata, il nucleo interno perde le sue proprietà magnetiche, e il campo ne risulta eccessivamente distorto.

Nonostante il rendimento di conversione sia inferiore (dell’ordine del 50% per macchine di grossa taglia), questo tipo di generatori ha il vantaggio importante di produrre una tensione di uscita alternata. Come nel caso a conduzione, il funzionamento in autoeccitazione è possibile.

Alcuni fluidi tipici a confronto

La tabella 2 riporta la conducibilità elettrica dei fluidi tipici, estendendo il confronto ad alcuni metalli solidi, quali il rame. A parte i plasma ad altissima temperatura, i fluidi che conducono meglio l’elettricità sono i metalli liquidi, per i quali la conducibilità varia di poco rispetto a quella del mercurio. Si noti che essa risulta 60 volte inferiore rispetto a quella del rame allo stato solido.

MATERIALE _σ

[

1Ω⋅m

]

Acqua distillata _≈10−4 Elettroliti deboli ₁₀−4_÷10−2 Elettroliti forti ₁₀−2_÷102 Acqua + 25% NaCl (20°C) 21,6 H2SO4 puro (20°C) 73,6 Vetro fuso (1400°C) _{10 10÷} 2 Plasma “freddo”

(

_{T ≈10}4_K

)

₃ 10 ≈ Plasma “caldo”

(

_{T ≈10}6_K

)

₆ 10 ≈ Gas totalmente ionizzato _{≈10 T}7_⋅ 3 2

Metalli liquidi ₁₀6_÷107 Acciaio (1500°C) _{0,7 10⋅} 6 Mercurio (20°C) ₁₀ 6 Alluminio (700°C) _{5 10⋅} 6 Sodio (400°C) _{6 10⋅} 6 Metalli solidi ₁₀6 ₁₀8 ÷ Acciaio (20°C) ₁₀6 ≈ Sodio (20°C) ₁₀7 ≈ Rame (20°C) _{6 10⋅} 7 Tabella 2: Valori tipici della conducibilità elettrica