Eventi condizionati
Dati due eventi A e B si dice che B condiziona A, e si scrive (A|B), se il verificarsi di B altera la probabilit`a del verificarsi di A
L’evento condizionato (A|B) si legge anche: A dato B L’evento A `e detto evento condizionato, mentre B viene detto condizionante
Affinch´e A sia condizionato da B questo secondo evento deve verificarsi prima di A per cui vi `e un ordinamento temporale da B ad A.
Eventi condizionati: commento
Effettuare il condizionamento B significa restringere lo spazio da Ω a B = Ω∗
L’evento (A|B) `e dato dal comportamento di A all’interno di Ω∗.
Probabilit`
a condizionate
Appare quindi ragionevole definire
P(A | B) = P(A ∩ B) P(B)
Ne deriva che:
P(A ∩ B) = P(B)P(A | B),
Indipendenza di eventi
Due eventi A e B sono indipendenti se e solo se il verificarsi dell’uno non altera la probabilit`a che si verifichi l’altro Formalmente
P(A | B) = P(A) Quindi, se A e B sono indipendenti:
Probabilit`
a bivariate
Date due coppie di eventi A1, . . . , Ah e B1, . . . , Bk, tali che
A = A1∪ . . . ∪ Ah, Ai∩ Aj 6= 0
B = B1∪ . . . ∪ Bk, Bi∩ Bj 6= 0
possiamo costruire la tabella a doppia entrata
B1 B2 . . . Bk
A1 P(A1∩ B1) P(A1∩ B2) . . . P(A1∩ Bk)
. . . .
. . . .
Ah P(Ah∩ B1) P(Ah∩ B2) . . . P(Ah∩ Bk)
P(Ai ∩ Bj) sono le probabilit`a congiunte
A e B sono indipendenti se e solo se ogni Ai `e indipendente
Probabilit`
a marginali e indipendenza
B1 B2 . . . Bk
A1 P(A1∩ B1) P(A1∩ B2) . . . P(A1∩ Bk) P(A1)
. . . .
. . . .
Ah P(Ah∩ B1) P(Ah∩ B2) . . . P(Ah∩ Bk) P(Ah)
P(B1) P(B2) . . . P(Bk)
A e B sono indipendenti se e solo lo sono tutti gli eventi Ai e
Bj, i = 1, . . . , h, j = 1, . . . , k ovvero
Esempio 4.69
Table:Distribuzione della qualit`a dei pezzi secondo l’azienda produttrice. Azienza produttrice Componente A B C Buono 0.27 0.30 0.33 Difettoso 0.02 0.05 0.03 P(pezzo difettoso) =? P(pezzo prodottodaB) =? P(difettoso | B) =? P(B | difettoso) =?
Legge delle probabilit`
a totali
Assunzioni:
Sia Ω lo spazio campione Siano A1, A2, . . . , An tali che
A1∪ A2∪ . . . ∪ An= Ω (necessari)
Ai ∩ Aj = Φ ∀i 6= j (a due a due incompatibili)
Consideriamo un altro evento E che possa essere causato da alcuni degli eventi A1, A2, . . . , An (eventualmente da tutti)
Enunciato:
Teorema di Bayes
Assunzioni: Come prima... Enunciato: P(Ai | E ) = P(E | Ai)P(Ai)P(E | A1)P(A1) + . . . + P(E | An)P(An)
Dim:
P(Ai | E ) =
P(E ∩ Ai)
P(E ) = . . .
P(Ai) probabilit`a a priori
P(E | Ai) probabilit`a probative o verosimiglianze
Esempio
3 scatole contenenti lampadine colorate e trasparenti, con le seguenti composizioni
1 2 3
Quesito: Si sceglie a caso una scatola. Qual `e la probabilit`a che questa sia colorata?
Soluzione
S1=“scelta della scatola 1”
S2=“scelta della scatola 2”
S3=“scelta della scatola 3”
Esempio (continua)
OSS. S1∩ S2 = Φ, S2∩ S3 = Φ S2∩ S3 = Φ
P(E | S1) = 0, P(E | S2) = 15, P(E | S3) = 1
P(S1) = 13, P(S2) = 13, P(S3) = 13
Dalla legge delle probabilit`a totali si ha
P(E ) = P(E | S1)P(S1) + P(E | S2)P(S2) + P(E | S3)P(S3)
= 0 · 1 3 + 1 5· 1 3 + 1 · 1 3 = 2 5.
Esempio (continua)
Quesito: Supponiamo sia stata estratta una lampadina colorata. Qual `e la probabilit`a che questa sia stata estratta dalla scatola 2? Da teorema di Bayes P(S2 | E ) = P(E | S2)P(S2) P(E ) = 1 5· 1 3 2 5 = 1 6 .
Test diagnostico (teorema di Bayes)
Supponiamo di voler identificare, con un test opportuno, la sieropositivit`a di un gruppo di persone scelte in maniera casuale da una popolazione con il 10% di sieropositivi. Si sa che il test disponibile identifica correttamente le condizioni della persona nel 90% dei casi. Se una persona `e sieropositiva, con probabilit`a pari a 0.90 l’esame lo riconosce e, allo stesso modo, se una persona non `e sieropositiva, la probabilit`a che il test sia negativo `e 0.90.
Test diagnostico (2)
Identifichiamo gli eventi dello spazio campione: H1: la persona `e sieropositiva
H2: la persona non `e sieropositiva.
In base ai risultati del test troviamo invece: T1 : il test indica che la persona `e sieropositiva
T2 : il test indica che la persona non `e sieropositiva.
P(H1) = 0.10, P(H2) = 0.90
P(T1| H1) = 0.90 P(T2 | H2) = 0.90
Test diagnostico (3)
Dalla lex delle probabilit`a totali
P(T1) = P(T1 | H1)P(H1)+P(T1 | H2)P(H2) = (0.90)(0.10)+(0.90)(0.10) = 2(0.90)(0.10)
Dal teorema di Bayes
P(H1 | T1) = P(T1| H1)P(H1) P(T1) = (0.90)(0.10) 2(0.90)(0.10) = 1 2
Analogamente, per i non sieropositivi,
P(T2) = P(T2|H1)P(H1)+P(T2|H2)P(H2) = (0.10)2+(0.90)2= 0.82
Dal teorema di Bayes
P(H2 | T2) = P(T2 | H2)P(H2) P(T2) = (0.90) 2 0.82 = 0.988
Test diagnostico (4)
Osservazione: Lo stesso esercizio pu`o essere risolto facendo uso delle probabilit`a bivariate
P(H1∩ T1) = P(T1| H1)P(H1) = (0.90)(0.10) = 0.09
P(H1∩ T2) = P(T2| H1)P(H1) = (0.10)(0.10) = 0.01
P(H2∩ T1) = P(T1| H2)P(H2) = (0.10)(0.90) = 0.09
P(H2∩ T2) = P(T2| H2)P(H2) = (0.90)(0.90) = 0.81
T1(test positivo) T2 (test negativo)
H1 0.09 0.01 0.10 H2 0.09 0.81 0.90 0.18 0.82 1 da cui P(H1 | T1) = P(H1 ∩T1) P(T1) = 0.09 0.18 = 0.50.
