Supponiamo di voler integrare la funzione

(1)

Supponiamo di voler integrare la funzione

f @ x_,y_ D :=

y 1+x

²

Sul dominio

y³0 ì y£-x

²

+3x+1 ì y³-x

²

+3x-2 y ³ 0 && y < 1 + 3 x - x

²

RegionPlot A y ³ 0 && y ³ - x

²

+ 3 x - 2 && y < - x

²

+ 5 x - 4, 8 x, -1, 5 < , 8 y, -1, 4 <E

-1 0 1 2 3 4 5

-1 0 1 2 3 4

Il dominio deve essere opportunamente suddiviso epr poter effettuare l’integrazione.

Dividiamolo in questo modo:

(2)

RegionPlot A9 y ³ 0 && y ³ - x

²

+ 3 x - 2 && y < - x

²

+ 5 x - 4 && x ³ 2,

y ³ 0 && y ³ - x

²

+ 3 x - 2 && y < -x

²

+ 5 x - 4 && x £ 2 = , 8 x, -1, 5 < , 8 y, - 1, 4 <E

-1 0 1 2 3 4 5

-1 0 1 2 3 4

Il dominio blu può essere scritto come 2£x£4, 0£y<=-x

²

+5x-4

Il dominio viola può essere scritto come 1£x£2, -x

²

+3x-2£y<=-x

²

+5x-4

Arriviamo così a scrivere l’integrale nella forma:

à

2 4

âx à

0

-x²+5x-4

y 1+x

²

ây+ à

1 2

âx à

-x²+3x-2 -x²+5x-4

y

1+x

²

ây

Dove il primo termine deriva dalla prima parte del dominio, e il secondo termine dalla seconda parte del dominio. Fattori moltiplicativi che non dipendono da y possono essere spostati a sinistra del primo integrale:

à

2 4

1 1+x

²

âx à

0 -x²+5x-4

yây+ à

1 2

1 1+x

²

âx à

-x²+3x-2 -x²+5x-4

yây

Ora resta da calcolare gli integrali, calcolamo quello in y:

à

2 4

B

^y₂²

F

0 -x²+5x-4

1+x

²

âx+ à

1 2

B

^y₂²

F

-x²+3x-2 -x²+5x-4

1+x

²

âx

à

2 4

I-x²+5x-4M² 2

1+x

²

âx+ à

1 2

I-x²+5x-4M² 2

-

^I-^x

2+3x-2M² 2

1+x

²

âx

1 2 à

2

4

16-40 x+33 x

²

-10 x

³

+x

⁴

1+x

²

âx+

1 2 à

1

2

12-28 x+20 x

²

-4 x

³

1+x

²

âx

Questi sono dei normali integrali in una dimensione, razionali, il risultato è:

(3)

1 2 à

2

4

16 - 40 x + 33 x

²

- 10 x

³

+ x

⁴

1 + x

²

â x + 1 2 à

1

2

12 - 28 x + 20 x

²

- 4 x

³

1 + x

²

âx

7 + Π - 4 ArcTan @ 2 D - 2 Log B 125 8 F + 1

2 68

3 + 16 ArcTan @ 2 D - 16 ArcTan @ 4 D + 15 Log @ 5 D - 15 Log @ 17 D

Esempio di Integrazione 2

Supponiamo ora di voler integrare la funzione

f @ x_,y_ D :=

y 1+x

²

Sul dominio

y³x í y£2x í y³ 1

x í y£

2 x y ³ 0 && y < 1 + 3 x - x

²

RegionPlot @ y ³ x && y £ 2 x && y ³ 1 x && y £ 2 x, 8 x, 0, 2 < , 8 y, 0.5, 2.5 <D

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

L’integrale può essere effettuato dividendo opportunamente il dominio, in questo modo:

(4)

RegionPlot @8 y ³ x && y £ 2 x && y ³ 1 x && y £ 2 x && x ³ 1,

y ³ x && y £ 2 x && y ³ 1 x && y £ 2 x && x £ 1 < , 8 x, 0, 2 < , 8 y, 0.5, 2.5 <D

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Ma in questo caso è molto più veloce osservare che il dominio può essere riscritto come:

y x

³1 í y x

£2 í xy³1 í xy£2 Effettuiamo quindi un cambio di cariabili

u=

y x

, v=xy Il cui inverso è

x=

v u

, y= uv

La matrice del Jacobiano è:

J @ u_,v_ D :=

¶

¶u

x

^¶

¶v

x

¶

¶u

y

^¶

¶v

y

= -

¹

2 v u³

1 2

1 uv

1 2

v u

1 2

u v

Il cui valore assoluto del determinante è

Abs @ Det @ J @ u,v DDD= 1 2u

Nelle nuove variabili il dominio è un rettangolo:

u³1 ì u£2 ì v³1 ì v£2

Arriviamo così a scrivere l’integrale nella forma:

à

1 2

1 2u âu à

1 2

uv

1+

^v

u

âv=

1 2 à

1 2

u âu à

1

2

v

u+v âv

Per effettuare il primo integrale in v facciamo un altro cambio di variabile:

(5)

v=t

²

1 2 à

1 2

u âu à

1 4

t

u+t

²

2tât= à

1 2

u âu à

1 4

t

²

u+t

²

ât= à

1 2

u âu à

1 4

1- u u+t

²

ât= à

1 2

u âu à

1 4

1- 1 1+ K

^t

u

O

²

u

Altro cambio di variabile

z=

t u

à

1 2

uâu à

1 u 4

u

1-

1 1+ H z L

²

âz= à

1 2

uâu @ ArcTan @ z DD

¹

u 4

u

= à

1 2

u ArcTan B 4 u

F- ArcTan B 1 u

F â u

Questi sono dei normali integrali in una dimensione, razionali, il risultato è:

à

1 2

u ArcTan B 4 u

F - ArcTan B 1 u

F â u

1 4 JΠ - 2 J- 62 + 61 2 + 256 ArcCot @ 4 D + 4 ArcCot B 2 F -

256 ArcCot B 2 2 F + ArcTan @ 4 D + ArcTan B 2 F - 4 ArcTan B 2 2 FNN

Coordinate Polari ed Esempio di Integrazione 3

Supponiamo ora di voler integrare la funzione

f @ x_,y_ D :=

**x*y** x

²

+y

²

Sul dominio xy³0 ì x

²

+y

²

£1 y ³ 0 && y < 1 + 3 x - x

²

RegionPlot A x * y ³ 0 && x

²

+ y

²

£ 1, 8 x, - 1.5, 1.5 < , 8 y, - 1.5, 1.5 <E

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

(6)

L’integrale può essere effettuato dividendo opportunamente il dominio, in questo modo:

RegionPlot A9 x * y ³ 0 && x

²

+ y

²

£ 1 && x ³ 0, x * y ³ 0 && x

²

+ y

²

£ 1 && x £ 0 = , 8 x, -1.5, 1.5 < , 8 y, - 1.5, 1.5 <E

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Però in questo caso è anche molto consigliabile usare le coordinate polari così definite:

Ρ= x

²

+y

²

, Θ=ArcTan B y x F Il cui inverso è

**x=ΡCos @ΘD , y=ΡSin @ΘD** La matrice del Jacobiano è:

J @Ρ _,Θ_ D :=

¶

¶Ρ

x

^¶

¶Θ

x

¶

¶Ρ

y

^¶

¶Θ

y

= K Cos @ΘD -Ρ* Sin @ΘD Sin @ΘD Ρ* Cos @ΘD O

Il cui valore assoluto del determinante è Abs @ Det @ J @Ρ ,Θ DDD=Ρ

Nelle nuove variabili il dominio è l’unione di due rettangoli:

0£Ρ£1 í 0£Θ£

þ

2 ë 0£Ρ£1 í þ£Θ£ 3þ 2 Arriviamo così a scrivere l’integrale nella forma:

à

0 1

ΡâΡ à

0

þ

2

Sin @ΘD* Cos @ΘDâΘ+à

0 1

ΡâΡ à

þ

3þ

2

Sin @ΘD* Cos @ΘDâΘ

I due integrali possono essere effettuati separatamente (dato che il dominio è rettangolare e la funzione inte- granda è a variabili separabili)

à

0 1

ΡâΡ=

1 2 à

0

þ

2

Sin @ΘD* Cos @ΘDâΘ= 1 2 à

0

þ

2

Sin @ 2Θ DâΘ= 1 4 à

0 þ

Sin @ x Dâ x=

1

2

(7)

à

þ

3þ

2

Sin @ΘD* Cos @ΘDâΘ= 1 2 à

þ

3þ

2

Sin @ 2Θ DâΘ= 1 4 à

2þ 3þ

Sin @ x Dâ x=

1 2 à

0

1

ΡâΡ à

0

þ

2

Sin @ΘD* Cos @ΘDâΘ+à

0 1

ΡâΡ à

þ

3þ

2

Sin @ΘD* Cos @ΘDâΘ= 1 4 +

1 4

= 1 2 NOTA: Nell’effettuare l’integrale angolare si è effettuata la sostituzione x=2Θ

Teorema di Green ed Esempio di Integrazione 4

Il teorema di Green dice che

à

FA

Pâx+Qây= à

A

¶Q

¶x -

¶P

¶y âA

Come corollario, se scegliamo

P=-

¶f

¶y ,Q=

¶f

¶x

Il membro destro diventa

à

A

¶Q

¶x -

¶P

¶y âA= à

A

¶

²

¶x

²

f+

¶

²

¶y

²

f âA= à

A

HD f Lâ A Mentre quello sinistro diventa

à

FA

¶f

¶x ây-

¶f

¶y âx= à

FA

! f @ x,y Dâ n Ovvero il flusso del gradiente

Supponiamo ora di voler il flusso del gradiente della funzione f @ x_,y_ D :=x+y

²

Sulla circonferenza di raggio unitario x

²

+y

²

=1

y ³ 0 && y < 1 + 3 x - x

²

Ovvero l’integrale su tale curva della derivata normale a tale curva.

Per il teorema di Green l’integrale del gradiente sulla frontiera di un insieme A à ! f @ x,y Dâ n

è pari all’integrale della divergenza del gradiente (laplaciano) sull’insieme A à D f @ x,y Dâ A= à D f @ x,y Dâ xây

Nel nostro caso la circonferenza di raggio unitario è la frontier del cerchio di raggio unitario

(8)

RegionPlot A x

²

+ y

²

£ 1, 8 x, - 1.5, 1.5 < , 8 y, -1.5, 1.5 <E

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

Quindi l’integrale è pari a

à D f @ x,y Dâ xây= à D f @Ρ* Cos @ΘD **,Ρ*Sin @ΘDDΡâΡâΘ** Il laplaciano vale

Df @ x,y D= ¶

²

¶x

²

f @ x,y D+ ¶

²

¶y

²

f @ x,y D= 1 Arriviamo così a scrivere l’integrale nella forma:

à

0 1

ΡâΡ à

0 2þ

âΘ=þ

Alcune formule di analisi vettoriale utili

Riassumo ora alcune formule utili di analisi vettoriale, utilizzabili per esempio per applicare i teoremi di Green, Stokes, Gauss, o per integrare per parti. Il simbolo

!

Applicato a una funzione scalare ne indica il gradiente, ed è quindi un vettore

! f @ x,y D

Il prodotto scalare di Nabla per un vettore ne indica la divergenza

!×H f1,f2 L= ¶

¶x f1+

¶

¶y f2

mentre il prodotto vettoriale ne indica il rotore

!H f1,f2 L= ¶

¶x f2-

¶

¶y f1

Abbiamo quindi subito l’identità:

!H! f @ x,y DL= 0

(9)

Mentre la divergenza del gradiente si chiama laplaciano

!×! f @ x,y D=D f @ x,y D

Molte delle usuali formule di dderivazione per parti si hanno analoghi nella forma

! fg=f ! g+g ! f

!×H f H g1,g2 LL= f !×H g1,g2 L+H g1,g2 L×! f

In particolare dalla seconda ricaviamo la formula di integrazione per parti su un dominio A:

à

A

f !×H g1,g2 Lâ A= à

A

!×H f H g1,g2 LLâ A- à

A

H g1,g2 L×! fâA

E applicando il teorema di Green à

A

f !×H g1,g2 Lâ A= à

A

!×H f H g1,g2 LLâ A- à

A

H g1,g2 L×! fâA= à

FA

f H g1,g2 Lâ n- à

A