Matematica Discreta
Lezione del giorno 15 aprile 2009
Abbiamo definito il concetto di elemento neutro in un insieme A in cui sia definita un’operazione.
Per esempio nell’insieme Z dei numeri interi relativi rispetto all’operazione di somma esiste l’elemento neutro e coincide con il numero 0; nello stesso insieme, ma rispetto all’operazione di prodotto, esiste egualmente l’elemento neutro e coincide con il numero 1.
Se nell’insieme finito di cardinalità n:
A = {a1, a2,……, an}
é definita un’operazione in modo esplicito mediante una tavola operazionale (rispetto all’ordinamento a1, a2,……, an), un elemento x è elemento neutro se la riga e la colonna corrispondenti all’elemento x contengono ordinatamente gli elementi a1, a2,……, an.
Per esempio, se A ={a,b,c} e se la tavola operazionale (rispetto all’ordinamento a,b,c) è:
a b c a
b c
allora esiste l’elemento neutro ed esso coincide con l’elemento c (perché la terza riga e la terza colonna contengono ordinatamente gli elementi a,b,c).
Sia dato un insieme A in cui è definita l’operazione *, e supponiamo che esista l’ elemento neutro eA. Fissato un elemento xA, si dice che l’elemento x’A è un simmetrico di x se:
xx’=x’x=e.
Nel caso dell’insieme Z dei numeri interi relativi rispetto all’operazione di somma, il concetto di simmetrico coincide con il concetto di opposto; nello stesso insieme, ma rispetto all’operazione di prodotto, il concetto di simmetrico coincide con il concetto di inverso.
Un elemento x può non avere simmetrico, o anche averne più di uno.
Per esempio, se A ={a,b,c,d} e se la tavola operazionale (rispetto all’ordinamento a,b,c,d) è:
a b c d a
b c d
si può notare che l’elemento a è neutro (perché la prima riga e la prima colonna contengono ordinatamente gli elementi a,b,c,d); inoltre l’elemento b ha 2 simmetrici c,d (in quanto bc=cb=a, ma anche bd=db=a).
L’unicità del simmetrico di un elemento (se esso esiste) è però garantita nel caso in cui l’operazione sia associativa:
Teorema. Sia dato un insieme A in cui è definita l’operazione *, e supponiamo che esista l’elemento neutro eA. Supponiamo inoltre che l’operazione sia associativa.
b c a
a b b
a b c
a b c d
b b a a
c a c d
d a b c
Allora il simmetrico di un elemento xA (se esiste) è unico.
Dimostrazione Se x’, x’’ sono entrambi simmetrici di x, si ha, sfruttando la proprietà associativa:
x’ = x’e = x’(xx’’) = (x’x)x’’= ex’’= x’’
e si conclude che x’= x’’ .
Un insieme A in cui è definita un’operazione * è detto un monoide se l’operazione è associativa ed esiste l’elemento neutro.
Un elemento x del monoide A è detto simmetrizzabile se esiste in A il simmetrico x’ di x (che per quanto dimostrato sopra è unico).
Esempi:
Gli insiemi Z, Q, R (rispettivamente dei numeri interi relativi, dei numeri razionali relativi e dei numeri reali relativi) sono monoidi rispetto all’operazione di somma: in tutti e 3 i casi l’elemento neutro è il numero 0, e il concetto di simmetrico coincide con quello di opposto; tutti gli elementi sono simmetrizzabili.
Gli stessi 3 insiemi sono monoidi anche rispetto all’operazione di prodotto: in tutti e 3 i casi l’elemento neutro è il numero 1, e il concetto di simmetrico coincide con quello di inverso.
Nel monoide Z gli unici elementi simmetrizzabili rispetto al prodotto sono i numeri 1, -1 (gli unici che hanno inverso in Z). Invece nei monoidi Q, R tutti gli elementi sono simmetrizzabili tranne il numero 0 (di tutti i razionali o reali non nulli esiste l’inverso razionale o reale).
Un insieme A in cui è definita un’operazione * è detto gruppo se è un monoide e se tutti i suoi elementi sono simmetrizzabili.
Esempi:
I monoidi Z, Q, R rispetto all’operazione di somma sono esempi di gruppi.
Se l’insieme A è un monoide rispetto all’operazione *, indicheremo con A* il sottoinsieme di A formato da tutti gli elementi simmetrizzabili di A.
Le principali proprietà degli elementi simmetrizzabili del monoide A sono:
1) L’elemento neutro eA è simmetrizzabile, ed è uguale al suo simmetrico (perché ee=e)
2) Se l’elemento xA è simmetrizzabile con simmetrico x’A, allora anche x’ è simmetrizzabile con simmetrico x (perché xx’=x’x=e). In pratica il simmetrico del simmetrico di x è x stesso:
(x’)’ = x
3) Se gli elementi x,yA sono simmetrizzabili con simmetrici rispettivamente x’,y’A, anche xy è simmetrizzabile con simmetrico y’x’. Infatti, applicando la proprietà associativa, si ha:
(xy)(y’x’)=[(xy) y’] x’=[x(yy’)] x’=[xe] x’=xx’=e (e analogamente (y’x’)(xy)=e).
In pratica il simmetrico di xy si ottiene operando con l’operazione * sul simmetrico di y (come primo operando) e sul simmetrico di x (come secondo operando).
Per la proprietà 3) l’operazione * definita in A diventa anche un’operazione nel sottoinsieme A*
(perché applicata a 2 operandi in A* fornisce un risultato in A*). Rispetto a tale operazione, per la proprietà 1), esiste in A* l’elemento neutro (è lo stesso elemento neutro di A); inoltre vale in A* la proprietà associativa (perché vale in A, dunque a maggior ragione in un sottoinsieme di A); infine ogni elemento xA* ha (per come è definito A*) il simmetrico x’A, ma (per la proprietà 2)) anche x’ è simmetrizzabile, dunque x’A*, e si deduce che ogni elemento di A* è simmetrizzabile in A*.
Da queste considerazioni si può concludere che:
l’insieme A* di tutti gli elementi simmetrizzabili di un monoide A è un gruppo, rispetto alla stessa operazione di A.
Esempi:
Gli insiemi Z, Q, R rispetto all’operazione di prodotto sono esempi di monoidi.
Nel caso di Z gli elementi simmetrizzabili sono 1,-1, dunque il gruppo degli elementi simmetrizzabili di Z rispetto al prodotto è:
Z* = {1,-1}.
Invece nei casi di Q, R gli elementi simmetrizzabili sono tutti i numeri (razionali o reali) non nulli, dunque i gruppi degli elementi simmetrizzabili rispetto al prodotto sono rispettivamente :
Q* = Q-{0} R* = R-{0}
Esempio:
Consideriamo l’insieme Z in cui è definita la seguente operazione:
a*b = a+b+5.
L’operazione é associativa in quanto, comunque dati a,b,c in Z i seguenti risultati sono uguali:
a*(b*c)=a*(b+c+5)=a+(b+c+5)+5=a+b+c+10 (a*b)*c=(a+b+5)*c=(a+b+5)+c+5=a+b+c+10
L’operazione è anche commutativa in quanto comunque dati a,b in Z i seguenti risultati sono uguali:
a*b=a+b+5 b*b=b+a+5
Verifichiamo se esiste l’elemento neutro eZ tale che per ogni aZ si abbia:
a*e=a (essendo l’operazione commutativa è superfluo imporre che e*a=a).
Per come è definita l’operazione si ha:
a+e+5=a
e si trova il valore e= -5.
Infine verifichiamo se per ogni aZ esiste il simmetrico a’Z tale che si abbia:
a*a’=e=-5 (essendo l’operazione commutativa è superfluo imporre che a’*a=e).
Ciò equivale a:
a+a’+5= -5 e si trova il valore a’= -10-a.
(per esempio il simmetrico di a=7 è il numero a’= -10-7= -17).
In totale l’insieme Z rispetto all’operazione definita sopra è un esempio di gruppo.
