II compitino di FONDAMENTI DI AUTOMATICA

II compitino di FONDAMENTI DI AUTOMATICA COGNOME e NOME:

Oltre ai necessari articoli di cancelleria (penna, matita, etc.) si può utilizzare solo una calcolatrice non programmabile. Non si possono, in particolare, consultare né tenere con sé libri, appunti, quaderni, computer, telefoni o altri dispositivi. Il solo fatto di tenere con sé materiale non consentito comporta l’annullamento della prova e l’impossibilità di sostenere l’esame per un anno. Durante la prova gli studenti non possono comunicare fra di loro in nessun modo. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche la concisione, l’ordine, la chiarezza di esposizione e la precisione delle risposte.

Durata della prova: 1 ora e 40 minuti.

Esercizio 1. Si consideri la funzione di trasferimento H(s) := 3

s(s + 2)

della catena di azione diretta di un sistema di controllo con retroazione unitaria negativa.

Si traccino i relativi diagrammi di Bode e di Nyquist e si calcolino margine di fase e di guadagno (N.B.: per calcolare la pulsazione di attraversamento si perviene ad un’equazione di terzo grado: è sufficiente calcolarne una soluzione approssimata).

Domanda di teoria. Si consideri lo schema rappresentato in figura, dove G(s) = s(s + 10)

(s + 6)

(s + 2)

(s − 1)(s + 3)

(s + 5)

(s + 11)

e il controllore è puramente proporzionale: C(s) = K ≥ 0.

y0(t) y(t)

- k

+

−

-

C(s)

G(s)

6

Si dica se esistono valori di K > 0 tali che la catena chiusa è BIBO-stabile (suggerimento:

si ragioni con il luogo delle radici).

1

Traccia di soluzioni.

Esercizio 1. Come prima cosa, scrivo H(s) in forma di Bode: H(s) =

2s)²

. Dunque il guadagno di Bode è K

= 3/4 e vi è un solo punto di spezzamento (corrispondente ad un polo doppio a parte reale negativa) in 1/(1/2) = 2. I diagrammi di Bode e di Nyquist hanno la forma di figura.

−150

−100

−50 0 50

Magnitude (dB)

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10²

−270

−225

−180

−135

−90

Phase (deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

−0.9 −0.8 −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Nyquist Diagram

Real Axis

Imaginary Axis

Figure 1: Diagrammi di Bode e di Nyquist relativi a H(s) :=

.

1. Margine di fase: per calcolare la pulsazione di attraversamento ω

, impongo |H(jω)| = 1, ossia,

= 1, cioè, ω(ω

+ 4) = 3 (la cui soluzione è, appunto, la pulsazione di attraversamento ω

). Poiché si ha ω = 3/(ω

+ 4) < 3/4, è ovvio che la soluzione di tale equazione è minore di 3/4 = 0.75. Diminuendo progressivamente ω si trova: per ω = 0.72, ω(ω

+ 4) = 3.25, per ω = 0.70, ω(ω

+ 4) = 3.143, per ω = 0.68, ω(ω

+ 4) = 3.0344, per ω = 0.67, ω(ω

+ 4) = 2.98. Dunque la soluzione si trova fra 0.68 e 0.67. Ponendo ω = 0.675, si ha ω(ω

+ 4) = 3.0075. Dunque, posso prendere l’approssimazione ω

= 0.675 (anche approssimazioni più grossolane, tipo ω

= 0.7, andavano benissimo). Il margine di fase è dato da m

= π + arg[H(jω

)] = π − π/2 − 2 arctan[ω

/2] ' 0.92 rad.

2. Margine di guadagno: per calcolare la pulsazione ω

, a cui il diagramma di Nyquist inter- seca il semiasse reale negativo, impongo arg[H(jω)] = −π, ossia, −π/2−2 arctan[ω/2] = −π, cioè, arctan[ω/2] = π/4 la cui soluzione ω

è ω

= 2 tan[π/4] = 2. Il punto P in cui il dia- gramma di Nyquist interseca il semiasse reale negativo è quindi P = H(jω

) =

=

−

. Il margine di guadagno è dunque: M

= 20 log

[1/|P |] = 20 log

[16/3] ' 14.54 dB.

Teoria. Il luogo delle radici per quanto sia complicatissimo da tracciare presenta evidente- mente un ramo (sovrapposto all’asse reale) che congiunge il polo in 1 con lo zero nell’origine.

Tale ramo è tutto nel semipiano destro e quindi NON esistono valori di K > 0 per i quali la catena chiusa è BIBO-stabile.

2