UNIVERSIT ` A DEGLI STUDI DI BOLOGNA
DIPARTIMENTO DI FISICA DOTTORATO DI RICERCA IN FISICA
RICORRENZE DI POINCAR´ E IN SISTEMI DINAMICI A BASSA DIMENSIONALIT ` A
Tesi per il Dottorato di Ricerca in Fisica di
Enrico Lunedei
Relatore: Coordinatore del dottorato:
Chiar.mo Prof. Giorgio Turchetti Chiar.mo Prof. Roberto Soldati
Settore disciplinare di afferenza: FIS/01
Marzo 2006
Ai miei genitori Clara e Renato ed a mio fratello Riccardo
NOTA ALLA RISTAMPA
In questa ristampa, del gennaio 2007, sono stati corretti gli errori della versione originale riscontrati; in particolare, oltre a rettificare puri errori di stampa, s’`e provveduto ad emendare taluni enunciati ed alcune dimostrazioni.
Ringraziamenti
Il dottorato di ricerca rappresenta certo un periodo importante per chi nutra il desiderio di dedicare le proprie energie alla ricerca scientifica.
Se con la tesi di laurea si bussa alla porta del mondo della ricerca, `e con quella di dottorato che si inizia a guardare al suo interno, a vedere le tante vie che si dipartono, girano, si intrecciano: alcune sono ampie e lastricate, altre nascoste e polverose, alcune in discesa altre ascendenti, su qualcuna splende il sole, su altre la nebbia `e fitta. Capire quale sia il percorso giusto
`e la sfida: la via pi`u bella pu`o portare ad una piazza vuota, quella nebbiosa pu`o noscondere buche e crepacci, quella in discesa pu`o proseguire in salita, e la risposta pu`o celarsi dietro quell’angolo ove non si pensa di guardare.
In questi anni ne ho percorse di vari tipi, giungendo spesso ad un incrocio:
talora la svolta `e stata giusta, talaltra no. Ogni tanto si trova una soluzione, e si gioisce, ma continuando il cammino si incontrano altri ostacoli, che sovente scoraggiano, al punto, talvolta, d’ingenerare la tentazione di cercare l’uscita pi`u vicina e lasciar perdere. `E in tutto ci`o la bellezza di questo mondo, che si ripete simile su tutte le scale: che sia ampio o ristretto l’ambito cui appartiene l’argomento di studio, `e sempre difficile capire come sar`a il prossimo incrocio e quale sia la strada giusta.
Giunto alla fine di questo viaggio, bello e difficile, voglio quindi ringra- ziare tutti coloro che mi hanno accompagnato, sia per brevi tratti, che per lunghi tragitti.
Ringrazio anzitutto il prof. Giorgio Turchetti, per essere stato relatore di questa tesi, cos`ı come di quella di laurea, indi il prof. Sandro Vaienti, del “Centre de Physique Th´eorique” (CPT) di Marsiglia, per l’interesse mostrato, i numerosi suggerimenti e consigli e per l’ospitalit`a presso il CPT.
Ringrazio poi le dottoresse Anna Trevisan e Susanna Corti dell’“Isti- tuto di Scienze dell’Atmosfera e del Clima” (ISAC) del CNR di Bologna, per aver promosso la stimolante collaborazione con l’ISAC-CNR, presso cui ho potuto svolgere parte del mio lavoro, avendomi intorodotto alla dinami-
ca atmosferica, guidato nell’analisi dei dati sperimentali, fornito nozioni e consigli.
Ringrazio quindi il prof. Graziano Servizi, oltrech´e per il supporto
“umano”, per i numerosi ed utili ausili e consigli in campo informatico, nonch´e i miei collegi, Luca Rossi e Carlo Benedetti, il primo per la proficua collaborazione nello studio delle ricorrenze, il secondo per la cooperazione nell’uso del calcolatore parallelo, ed entrambi per l’amicizia dimostrata.
Rivolgo poi un pensiero riconoscente agli altri compagni di viaggio, Giuseppina Melchiorre, Alessandro Vivoli, Francesco Zanlungo, ed agli altri membri del gruppo, tra cui il prof. Armando Bazzani e il dott. Bruno Giorgini, nonch´e Dario Bovina.
Un ringraziamento particolare lo riservo a tutti coloro che non cito singolarmente e che, entro e fuori gli ambienti di lavoro, in qualunque modo, mi sono stati vicini a causare o condivere la mie gioie od ad alleviare le mie tristezze, grandi o piccole che fossero.
Cos`ı come nella mia tesi di laurea, lascio per ultima, volendo con cio`e esaltarne il primato, la mia famiglia. Nessuna espressione comunque complessa potrebbe esprimere il senso di gratitudine che sento e che sem- plicemente formulo con un: grazie. Grazie a mia madre, Clara, grazie a mio padre, Renato, grazie a mio fratello, Riccardo, che sempre hanno appoggiato le mie scelte, senza il cui sostegno di certo non avrei raggiunto quest’importante traguardo e il cui affetto, sempre essenziale, `e stato l’unico porto sicuro nelle non poche giornate di tempesta.
Indice
Introduzione
vii
PARTE PRIMA
Capitolo I • Introduzione alla teoria dei tempi di ritorno
§I.1. Introduzione I-1
§I.2. I tempi di ritorno I-3
§I.3. Spettri dei tempi di ritorno I-8
§I.4. Spettri limite dei tempi di ritorno I-13
§I.5. Il teorema di Hirata I-20
§I.6. Spettri limite d’un sistema mescolante I-24
§I.7. Spettri limite d’un sistema composto da pi`u regioni I-28
§I.8. Sullo studio numerico degli spettri I-31
Capitolo II • Ricorrenze nelle rotazioni sul cilindro
§II.1. La mappa II-2
§II.2. Studio analitico delle ricorrenze II-4
§II.3. Studio numerico dei tempi di ritorno: le distribuzioni F(k) II-6
§II.4. Studio numerico dei tempi di ritorno: le medie E II-12
§II.5. Conclusioni II-14
Capitolo III • Ricorrenze nella mappa del gatto di Arnold
§III.1. La mappa III-1
§III.2. Il primo tempo di ritorno III-5
§III.3. I tempi di ritorno successivi III-10
§III.4. Conclusioni III-16
i
Capitolo IV • Ricorrenze nella mappa di Lozi
§IV.1. La mappa IV-1
§IV.2. Il primo tempo di ritorno IV-5
§IV.3. I tempi di ritorno successivi IV-12
§IV.4. Conclusioni IV-17
Capitolo V • Ricorrenze nella mappa di H´enon
§V.1. La mappa V-1
§V.2. Il primo tempo di ritorno V-6
§V.3. I tempi di ritorno successivi V-14
§V.4. I tempi d’entrata V-20
§V.5. Conclusioni V-26
Capitolo VI • Ricorrenze nel sistema di Lorenz
§VI.1. Il sistema di Lorenz VI-1
§VI.2. Il primo tempo di ritorno VI-8
Capitolo VII • Ricorrenze nei dati meteorologici
§VII.1. I dati VII-2
§VII.2. La distribuzione delle distanze VII-4
§VII.3. La ricerca dei gradi di libert`a VII-6
§VII.4. Gli analoghi atmosferici VII-6
§VII.5. Ritorni e persistenze nelle distanze VII-8
§VII.6. Tempi di ritorno del geopotenziale negli spazi di EOF VII-10
§VII.7. Conclusioni VII-14
Capitolo VIII • Conclusioni
VIII-1
PARTE SECONDA
Capitolo IX • Sistemi dinamici discreti reali
§IX.1. Sistema dinamico autonomo a tempo discreto in Rd IX-1
§IX.2. Orbite periodiche di una mappa IX-2
§IX.3. Gli esponenti di Liapunov per una mappa IX-4
§IX.4. Esponenti di Liapunov per una mappa autonoma del piano
reale IX-14
ii
Capitolo X • Sistemi dinamici continui reali
§X.1. Sistema dinamico a tempo continuo in Rd+1 X-1
§X.2. Mappe associate ad un flusso X-2
§X.3. Mappa di Poincar´e X-4
§X.4. Orbite periodiche di un flusso X-6
§X.5. Gli esponenti di Liapunov per un flusso X-9
§X.6. Esponenti di Liapunov su una sezione di Poincar´e X-12 Capitolo XI • Teoria dei tempi di ritorno
§XI.1. Introduzione XI-1
§XI.2. Spettri dei tempi di ritorno XI-9
§XI.3. Spettri limite dei tempi di ritorno XI-14
§XI.4. Il teorema di Hirata XI-25
§XI.5. Spettri limite d’un sistema mescolante XI-32
§XI.6. Spettri limite d’un sistema composto da pi`u regioni XI-43
§XI. Appendice A. Cenno alla trasformata di Laplace XI-49
§XI. Appendice B. Un paio di lemmi XI-50
Capitolo XII • Studio numerico dei tempi di ritorno:
questioni generali
§XII.1. Introduzione XII-1
§XII.2. La generazione delle condizioni iniziali XII-1
§XII.3. La determinazione dei punti periodici XII-2
§XII.4. Tempo medio e misure XII-3
§XII.5. Statistiche di primo ritorno ed interpolazione XII-3
§XII.6. L’estrapolazione a µ → 0+ XII-5
§XII.7. Statistiche dei ritorni successivi e delle entrate XII-7
§XII.8. La media del numero di viste XII-7
§XII.9. Gli strumenti di calcolo XII-8
Capitolo XIII • Rotazioni sul cilindro
§XIII.1. La mappa delle rotazioni sul cilindro XIII-1
§XIII.2. Diagonalizzazione ed esponenti di Liapunov XIII-3
§XIII.3. Le orbite periodiche XIII-5
§XIII.4. Studio analitico delle ricorrenze XIII-6
§XIII.5. Studio numerico dei tempi di ritorno: le distribuzioni F(k) XIII-6
§XIII.6. Studio numerico dei tempi di ritorno: le medie E XIII-21
§XIII.7. Conclusioni XIII-28
Capitolo XIV • Automorfismi algebrici del toro
§XIV.1. La mappa e le sue propriet`a XIV-1
iii
§XIV.2. Diagonalizzazione, iperbolicit`a, esponenti di Liapunov ed
entropia XIV-2
§XIV.3. Le orbite periodiche XIV-6
§XIV.4. Il caso q = 1: la “mappa del gatto di Arnold” XIV-10 Capitolo XV • Tempi di ritorno della mappa del
gatto di Arnold
§XV.1. Introduzione XV-1
§XV.2. Il primo tempo di ritorno in A da A: alcuni punti generici XV-1
§XV.3. Il primo tempo di ritorno in A da A: i punti periodici XV-7
§XV.4. I tempi di ritorno successivi in A da A: alcuni punti generici XV-20
§XV.5. I tempi di ritorno successivi in A da A: i punti periodici XV-25
§XV.6. Conclusioni XV-35
Capitolo XVI • La mappa di Lozi
§XVI.1. La mappa XVI-1
§XVI.2. Le orbite periodiche XVI-4
§XVI.3. Gli esponenti di Liapunov XVI-11
Capitolo XVII • Tempi di ritorno della mappa di Lozi
§XVII.1. Introduzione XVII-1
§XVII.2. Il primo tempo di ritorno in A da A: alcuni punti generici XVII-1
§XVII.3. Il primo tempo di ritorno in A da A: i punti periodici XVII-7
§XVII.4. I tempi di ritorno successivi in A da A: alcuni punti
generici XVII-16
§XVII.5. I tempi di ritorno successivi in A da A: i punti periodici XVII-21
§XVII.6. Conclusioni XVII-28
Capitolo XVIII • La mappa di H´enon
§XVIII.1. La mappa XVIII-1
§XVIII.2. Le orbite periodiche XVIII-4
§XVIII.3. Gli esponenti di Liapunov XVIII-15
§XVIII.4. Una forma alternativa XVIII-19
Capitolo XIX • Tempi di ritorno della mappa di H´enon
§XIX.1. Introduzione XIX-1
§XIX.2. Il primo tempo di ritorno in A da A: alcuni punti generici XIX-1
§XIX.3. Il primo tempo di ritorno in A da A: i punti periodici XIX-10
§XIX.4. I tempi di ritorno successivi in A da A: alcuni punti generici XIX-20
§XIX.5. I tempi di ritorno successivi in A da A: i punti periodici XIX-28
§XIX.6. I tempi di ritorno in A da V (o tempi d’entrata): alcuni iv
punti generici XIX-38
§XIX.7. I tempi di ritorno in A da V (o tempi d’entrata): i punti
periodici XIX-46
§XIX.8. Conclusioni XIX-54
Capitolo XX • Il sistema di Lorenz
§XX.1. Il sistema di Lorenz XX-1
§XX.2. I punti fissi XX-4
§XX.3. La sezione di Poincar´e su z = r − 1 XX-5
§XX.4. Le orbite periodiche XX-6
§XX.5. Gli esponenti di Liapunov XX-12
§XX. Appendice A. Il confinamento delle soluzioni XX-14 Capitolo XXI • Tempi di ritorno nel sistema di Lorenz
§XXI.1. Introduzione XXI-1
§XXI.2. Il primo tempo di ritorno in A da A: alcuni punti generici XXI-1
§XXI.3. Il primo tempo di ritorno in A da A: i punti periodici XXI-9
§XXI.4. Conclusioni XXI-17
Capitolo XXII • Introduzione all’analisi dei dati
§XXII.1. Il geopotenziale XXII-1
§XXII.2. Funzione di variabile aleatoria XXII-3
§XXII.3. Distanze di vettori aleatori XXII-6
§XXII.4. Distanze al quadrato di vettori gaussiani a componenti
eguali ed indipendenti: la distribuzione χ2 XXII-9
§XXII.5. Distanze di vettori gaussiani a componenti eguali ed
indipendenti XXII-11
§XXII.6. Applicazione alla ricerca del numero di gradi di libert`a XXII-15
§XXII. Appendice A. Momenti XXII-18
Capitolo XXIII • Analisi di dati meteorologici
§XXIII.1. I dati XXIII-1
§XXIII.2. La distribuzione delle distanze XXIII-2
§XXIII.3. La ricerca dei gradi di libert`a XXIII-6
§XXIII.4. La ricerca di M col metodo MVA sulla statistica delle
distanze quadrate XXIII-8
§XXIII.5. La ricerca di M col metodo MVA sulla statistica delle
distanze XXIII-8
§XXIII.6. Gli analoghi atmosferici XXIII-13
§XXIII.7. Ritorni e persistenze nelle distanze XXIII-13
§XXIII.8. Tempi di ritorno del geopotenziale negli spazi di EOF XXIII-19 v
§XXIII.9. Conclusioni XXIII-28
§XXIII. Appendice A. Calcolo dimensionale nel sistema di Lorenz XXIII-28
BIBLIOGRAFIA
Bibliografia
Bib-1
vi
Introduzione
Premessa
Il problema della prevedibilit`a dei fenomeni fisici nasce insieme alla fisica stessa: la ricerca di regolarit`a o simmetrie, anche imperfette o di- storte, `e stato fin dall’inizio l’elemento che ha guidato le osservazioni dei fenomeni, gli esperimenti e la loro lettura in chiave geometrica. Tuttavia `e stato rapidamente compreso che in molti casi queste simmetrie mancano;
ad esempio, negli urti ripetuti tra due corpi, piccole variazioni dello stato iniziale danno luogo a stati finali molto diversi. Questo aveva portato, gi`a in epoca classica, a teorizzare che i moti degli atomi siano sostanzialmente imprevedibili. Ci`o nonsostante, esistono forme di aggregazione in cui emer- gono strutture ordinate o stati coerenti, la cui evoluzione ha un carattere largamente prevedibile. Inoltre, essendo la dissipazione inevitabile a livello mesoscopico, solo la presenza di forzature poteva condurre a moti persi- stenti. Anche se le idee di base sulla predicibilit`a non sono una scoperta recente, senz’altro lo `e una corretta formulazione matematica. La mecca- nica di Newton `e nata dallo studio dei sistemi hamiltoniani integrabili, che hanno una lunga scala di prevedibilit`a, in quanto la divergenza delle orbite
`e lineare. Con lo studio del problema dei tre corpi e la teoria cinetica, volta a ridurre la termodinamica alla meccanica, `e nata la moderna teoria dei sistemi dinamici, che consente di descrivere sia sistemi integrabili e forte- mente prevedibili, sia sistemi caotici caratterizzati da una perdita rapida dell’informazione sulle condizioni iniziali; per quest’ultimi l’esistenza di mi- sure invarianti consente previsioni di natura statistica: alla conoscenza degli integrali primi vengono sostituiti indicatori come gli esponenti di Liapunov o le entropie. Si distingue tra caos forte e caos debole, rispettivamente as- sociati a processi statistici senza memoria (o quasi), ovvero con memoria lunga.
Nei sistemi con dissipazione e forzatura ci si interessa tipicamente alle vii
dinamiche asintotiche su un attrattore, ch’`e il supporto della misura in- variante, del quale `e anzitutto importante stimare la dimensione, ossia il numero di gradi di libert`a significativi, passaggio non scevro di difficolt`a, a causa soprattutto del livello di rumore insito nelle serie temporali, nu- meriche o sperimentali.
Dato un sistema dinamico, costituito da uno spazio delle fasi, una evoluzione temporale ed una misura di probabilit`a invariante rispetto alla dinamica, `e possibile utilizzare un’ampia rosa di funzioni in grado di fornire indicazioni utili per la predicibilit`a e qualificazione del sistema. Una delle prime cose che si tenta di stabilire per un sistema `e mostrare se esso sia ergodico o mescolante; entro queste due classi, altre classificazioni sono pos- sibili, per meglio distinguere fra le propriet`a transitive e ricorrenti della dinamica. Queste propriet`a sono anche relative, nel caso l’evoluzione sia una mappa sufficientemente regolare su un variet`a, alla struttura geometri- ca delle orbite sull’insieme invariante ed ad alcuni dei loro comportamenti globali come l’iperbolicit`a e la stabilit`a strutturale.
Svariate quantit`a sono state introdotte nel tempo per classificare i dif- ferenti tipi di dinamica, con particolare riguardo al tentativo di rendere tali indicatori invarianti sotto taluni tipi di coniugazione: alcuni sono le en- tropie(metrica e topologica), gli esponenti caratteristici di Liapunov (ECL), le dimensioni, le modalit`a di decadenza delle correlazioni.
Nel quadro della grande famiglia di tali indicatori, descritti nella vastis- sima letteratura sull’argomento, da alcuni anni hanno trovato spazio gli spettri dei tempi di ritorno, che permettono di quantificare il comporta- mento locale delle ricorrenze e dai quali si possono ricavare informazioni sulla natura dell’attrattore. Per queste quantit`a sono stati provati stretti legami con molti altri indicatori, quali: la dimensione di Hausdorff, la dimensione di Afraimovic-Pesin, le dimensioni generalizzate, l’entropia di Kolmogorv-Sinai, le entropie di Renyi, l’energia libera, gli ECL. In par- ticolare un legame profondo fra i tempi di ritorno e la misura invariante
`e evidenziato dal teorema di Kac, secondo il quale, nei sistemi ergodici, il tempo medio di primo ritorno in un insieme `e l’inverso della sua sua misura.
In un sistema limitato, la dinamca riporta ogni punto infinite volte vi- cino quanto si voglia a s´e stesso: questo afferma il celeberrimo teorema di Poincar´e. Si esprime in tal modo un concetto di regolarit`a molto forte, rafforzato ulteriormente, nella sua importanza, dalla generalit`a che lo con- traddistingue: basta disporre d’una misura invariante finita.
Come dicevo poc’anzi, la predicibilit`a dei moti, sia intesa in senso puntuale o statistico, `e ovviamente la meta sempre ambita dallo studioso
viii
della dinamica, cosicch´e le varibili che possano su essa gettar luce, fioca od intensa, sono preziose e ricercate. Esistono, cosa a tutti familiare, moti predicibili in modo banale: quelli periodici. Non sorprende quindi come le orbite periodiche godano d’un interesse particolare, tanto da essere talora qualificate come lo “scheletro” della dinamica. Appare naturale vedere, come gradino immediatamente inferiore nella scala della predicibilit`a, le traiettorie in un qualche senso “vicine” alle orbite periodiche: quelle che, dopo un certo tempo, tornano in prossimit`a del punto da cui son partite.
L’importanza fisica di tali moti emerge qualora si rammenti la finitezza della precisione nella misura fisica: al di sotto dell’incertezza, `e indistinguibile un’orbita che si chiuda da una che torni in prossimit`a d’un suo precedente punto, almeno limitatamente al primo ritorno od ad un certo numero di ritorni.
Non `e quindi difficile intuire come il concetto di ricorrenza possa gio- care un ruolo non secondario nello studio della dinamica. Qui sta la grande importanza del teorema di ricorrenza di Poincar´e: in un sistema finito, quasi tutti i punti ritornano infinite volte in prossimit`a di s´e stessi, quindi, non solo ha senso definire la funzione tempo di ritorno, si tratti del primo o dei successivi ritorni, ma si ottiene in tal modo una quantit`a di grande signifi- cato statistico: ha valore finito su un insieme di misura piena. Tutto questo rende non sorprendente l’interesse che le ricorrenze di Poincar´e suscitano nello studio dei sistemi dinamici, il quale, laddove si perda la capacit`a di descrizione puntuale, `e volto proprio alla ricerca di rivelatori di regolarit`a di tipo statistico.
Fra gl’innumerevoli esempi di moti complicati che la natura offre, la dinamica atmosferica `e certo uno dei pi`u importanti. Fin dai tempi pi`u antichi l’interesse per essa `e stato fortissimo, in quanto entit`a da cui dipende la nostra stessa esistenza: dall’andamento dell’agricoltura al funzionamento dei mezzi di trasporto, dalla consistenza delle risorse idriche ai livelli d’inqui- namento nelle citt`a, passando per eventi tragici prodotti dalle precipitazioni e dagli uragani, non `e diffcile comprendere quale ruolo centrale il clima giochi nell’esistenza quotidiana di ognuno.
I progressi tecnici e scientifici ci consentono ora di descrivere l’atmosfera
“semplicemente” come un sistema dinamico, seppur di estrema complessit`a, il cui comportamento irregolare e fortemente sensibile alle condizioni iniziali
`e manifestazione di una dinamica di tipo caotico. L’atmosfera presenta in effetti una forte variabilit`a su ampie scale spazio-temporali: non tutti i gradi di libert`a sono ugualmente importanti e le traiettorie, in intervalli di tempo finiti, non visitano tutti gli stati corrispondenti all’attrattore. La variabilit`a climatica di bassa frequenza a scala planetaria pu`o essere descritta da un ix
numero finito di gradi di libert`a, che rappresentano gran parte della varianza del segnale.
L’utilizzo dei metodi dei sistemi dinamici al problema della previsione ha consentito progressi significativi; i vettori di Liapunov, ad esempio, con- sentono di individuare le direzioni in cui il tasso di crescita degli errori sullo stato iniziale `e pi`u significativo.
Essenza della ricerca
Argomento di questa tesi `e lo studio degli spettri dei tempi di ritorno quali indicatori:
i) di propriet`a di ergodicit`a, mescolamento e perdita delle correlazioni, ii) di periodicit`a, con particolare riguardo al loro rapporto con gli ECL.
Si tratta di quantificatori statistici delle ricorrenze, che si determinano su sott’insiemi “piccoli” dello spazio delle fasi. Allo scopo di affrancarsi dalla dipendenza dalla scelta dell’insieme, gi`a da tempo `e stato ampiamente sviluppato il concetto di spettro limite: si tratta delle funzioni ottenute, nel senso che provvedr`o a ben precisare, dagli spettri, allorquando si consideri il limite di misura infinitesima per l’insieme. Si hanno cos`ı delle funzioni definite in ogni punto dello spazio delle fasi (precisamente del supporto della misura unito all’insieme dei punti periodici), dotate di interessanti propriet`a, riguardo alle quali si trover`a un contributo nella parte teorica del lavoro.
Sotto il profilo analitico, ho posto un accento particolare sugli spettri di ordine superiore, ovvero quelli relativi ai ritorni successivi nel medesi- mo insieme; se invero, sotto ipotesi di larga generalit`a, le differenze fra i ritorni successivi sono identicamente distribuite, esse non sono indipen- denti: l’ipotesi d’approssimata indipendenza, tipicamente legata ad una ve- loce perdita delle correlazioni, si riflette nella capacit`a di trovare espressioni analitiche degli spettri per tutti gli ordini. Si avr`a modo di vedere come la rispondenza alla realt`a di tali espressioni sia proprio un indice di perdita delle correlazioni, indi di scarsa predicibilit`a. Una quantit`a qui introdotta
`e la media limite del numero di visite, che si riveler`a essere una funzione di gran semplicit`a e generalit`a, nonch´e un indicatore di periodicit`a. Pro- prio sulla peridicit`a, di cui poco fa ho intessuto le lodi, si concentra molto lavoro, volto massimamente a stabilire un legame funzionale fra gli spettri dei ritorni e gli ECL nei punti periodici: sovente, gli ECL assumono valori particolari sulle orbite periodiche.
Lo studio della forma degli spettri dei tempi di ritorno consente infine di discriminare regimi di caos forte, in cui il decadimento `e esponenziale, e regimi laminari “localmente mescolanti” o di caos debole, in cui il decadi-
x
mento `e a potenza.
Dopo l’esposizione matematicamente rigorosa della struttura formale dello studio delle ricorrenze, il lavoro si orienta ad applicarne i contenuti ad alcuni sistemi dinamici di bassa dimensionalit`a:
le rotazioni sul cilindro
la mappa del gatto di Arnold la mappa di Lozi
la mappa di H´enon
la mappa di Poincar´e del flusso di Lorenz.
Il primo `e un sistema integrabile, in cui lo spazio delle fasi `e foliato da tori monodimensionali invarianti: `e un tipico esempio di sistema non caotico e non ergodico, ma dotato di una propriet`a in qualche modo affine al mescolamento, che vi si differenzia in modo sostanziale per il suo carat- tere assai pi`u ristretto, e che viene chiamata “mescolamento locale”. Su tal sistema si pu`o ben vedere come gli andamenti degli spettri abbiano il carattere a legge di potenza, tipico di sistemi regolari o con caos debole, e come le correlazioni temporali si palesino nei loro effetti sugli spettri di ordine superiore.
Le altre mappe, alcune mescolanti, altre che probabilmente lo sono o almeno posseggono qualit`a affini, si caratterizzano tutte dall’esibire spettri esponenziali, carattere tipico di sistemi fortemente caotici e poco prevedibili;
la veloce peridta delle correlazioni manifestasi in modo spettacolare sugli spettri d’ordine superiore.
Si vedr`a, in tutti i casi, come le risultanze siano di carattere fortemente quantitativo, grazie ad un accurato uso della simulazione al calcolatore, e non si limitino quindi ad osservazioni qualitative, che pure talora hanno un certo ruolo.
Di particolare interesse, anche per l’originalit`a, sono le risultanze sul sistema di Lorenz: `e un modello, pur nella sua estrema semplificazione, d’un fenomeno fisico e si differenzia da gran parte del lavoro svolto sulle ricor- renze in quanto si tratta d’un sistema continuo; se `e vero che se ne estrae, attranverso la sezione di Poincar´e, una dinamica discreta, `e altrettanto vero che tal dinamica eredita molte propriet`a dal sistema che la genera. Che su esso sia proficuamente esportabile lo studio delle ricorrenze pu`o essere in- dice dell’utilit`a d’estendere questo tipo di studi a modelli fisici anche pi`u complicati e quindi pi`u vicini alla effettiva descrizione di fenomeni naturali.
Si pu`o considerare un primo passo perch´e essi possono uscire di confini della pura speculazione matematica.
Un grande passo, e senz’altro un’avventura azzardata quanto intri- gante, si compie invece nell’ultima fase del lavoro, in cui ho tentato di xi
trovare possibili modi per applicare strumenti affini a quelli or ora esposti a dati reali, prodotti da uno dei pi`u complessi sistemi naturali conosciuti:
l’atmosfera. Una delle quantit`a utilizzate dagli studiosi dell’atmosfera `e l’altezza geopotenziale, indicante la quota di una certa pressione atmosfe- rica; grazie alla collaborazione con l’ISAC-CNR posso disporre di una serie storica di tali dati, riguardante 40 inverni a partire al 1958.
Non poche sono le differenze fra i numeri prodotti dall’evoluzione al calcolatore di un sistema prestabilito ed i dati raccolti in natura. Un primo problema `e la riduzione dimensionale, a mezzo della scomposizione in fun- zioni ortogonali empiriche (EOF) e della stima del numero di gradi di libert`a effettivi. Successivamente si devono trovare delle quantit`a che siano affini ai concetti di ricorrenza di Poincar´e e che abbiano significato nello studio del sistema dinamico atmosfera. Il grosso probelma che, al momento, costi- tuisce un insormontabile ostacolo `e per`o la limitatezza di dati disponibili: il tempo d’evoluzione `e piccolo e la statistica delle condizioni iniziali povera.
Quanto si presenta `e dunque il tentativo di stimare quantit`a simili ai tempi di ritorno in atmosfera, limitandosi ai gradi di libert`a che descrivono le caratteristiche fondamentali della circolazione e dei regimi atmosferici.
Disponendo della scomposizione in EOF e delle relative componenti prin- cipali (ottenute dalla serie temporale di campi meteorologici forniti della rianalisi), cerco anzitutto la dimensione di opportuni sottospazi, composti da un “piccolo” numero di EOF, esprimenti i gradi di libert`a effettivi del sistema, indi estraggo gli “analoghi atmosferici”, cio`e stati “vicini” secondo una particolare metrica; infine affronto lo studio delle ricorrenze riguardo a quantit`a intodotte ad hoc.
La natura stessa dei dati sperimentali fa s`ı che il concetto di “vicinanza”
abbia un rapporto assai vago con l’idea di “insiemi infinitesimi” nell’ambito delle mappe del piano: ci si trova a dover considerare “analoghi” stati in effetti assai diversi fra loro. Oltre quindi a dover considerare insiemi molto grandi, la consistenza dei dati disponibili, fa s`ı che si renda necessario rivol- gere l’attenzione, relativamente alle ricorrenze, pi`u su quantit`a esprimenti andamenti generali nello spazio delle fasi, che non su singoli insiemi.
Le differenze e gli ostacoli sono in effetti numerosi, cosicch´e si vedranno risultati di tipo molto qualitativo ed interpretabili pi`u che altro come indizi, proposte, spunti.
Struttura della tesi
Lo svolgimento di tal programma ha dato luogo ad una mole notevole di risultati, analitici ma soprattutto, in misura assai superiore, numerici;
non volendo, da una lato, omettere dettagli che possono essere utili, sia xii
a meglio comprendere che soprattutto ad utilizzare, per i futuri sviluppi, quanto prodotto, e desiderando, dall’altro, non annoiare il lettore interes- sato all’essenza dei risultati, ho deciso di ripartire la tesi in due parti: la prima come riassunto della seconda.
La prima parte `e destinata a chi voglia formarsi un quadro delle pro- blematiche sollevate e dei risultati prodotti. Ivi trovasi un’esposizione com- pleta ma compatta dei medesimi, priva di calcoli e dimostrazioni, nonch´e di gran parte delle tabelle di risultati, sostituiti da brevi commenti e da una selezione di figure, da cui, spero, si riescano a ben trarre gli elementi importanti del lavoro. Specificamente, nel primo capitolo sono riassunte le deduzioni analitiche, nell’ambito dell’inquadramento formale del problema.
Nei capitoli successivi si trova lo studio delle mappe sopra elencate, e, per ultimo, il lavoro sui dati atmosferici. L’ottavo capitolo `e deputato ad esporre le conclusioni.
Nella seconda parte si trovano i medesimi argomenti, contornati da tutti i dettagli: i calcoli che ho svolto, le dimostrazioni di acluni teoremi, le tabelle con i dati ed i risultati dei calcoli numerici, che possono servire a chi voglia ripetere queste simulazioni ed a chi si proponga di porre in essere un lavoro analogo su altri sistemi dinamici; ho voluto anche inserire una vasta collezione di grafici, un campionario della quale si trova nella prima parte, nell’intento di chiarire in dettaglio i diversi andamenti e le pecu- liarit`a rilevanti. Pur non potendo, per evidenti ragioni di spazio, fornire un quadro sui sistemi dinamci, per il quale rimando all’abbondante letteratura, i capitoli IX e X raccolgono alcune considerazioni utili sui sistemi discre- ti e continui. Segue un’accurata dissertazione sulla formalizzazione della teoria delle ricorrenze, con le dettagliate dimostrazioni necessarie, nonch´e un’esposizone delle problematiche riscontrate nello svolgimento delle simu- lazioni numeriche e delle strade che ho scelto per superarle. Ad ogni sistema, eccetto le rotazioni che risolvonsi in uno solo, sono dedicati due capitoli: il primo ne raccoglie le propriet`a che poi saranno usate nel seconodo, il quale espone tutto il lavoro fatto sulle ricorrenze. Chiude la tesi l’esposizione sull’applicazione ai dati meteorologici.
La separazione fra le due parti `e evidenziata anche da una scelta ti- pografica: la seconda parte `e scritta con caratteri pi`u piccoli.
Consiglio quindi chi fosse interessato ad una panoramica generale, non comunque decurtata dei risultati raggiunti, a limitarsi alla prima parte.
Chi volesse addentrarsi in dettagli tecnici, o saperne di pi`u sui metodi usati e sulla natura dei risultati, pu`o invece leggere direttamente la seconda parte: nulla di quanto scritto nella prima `e omesso nella seconda, salvo le xiii
conclusioni generali costituenti il capitolo VIII, che quindi merita comunque un’attenzione particolare.
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