Modelli nucleari

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

Modelli nucleari

Lezione 3

MODELLO A GOCCIA

Modello a goccia

•  Primo modello, suggerito da Bohr, che cerca di sistematizzare le osservazioni:

–  incompressibilità della materia nucleare (R A

) –  breve range delle forze (B.E. A)

•  Ispirato ad una goccia di liquido, tenuta insieme dalla forze inter-molecolari:

–  descrive l’andamento generale dell’energia di legame –  necessita dell’introduzione di termini fenomenologici per

descrivere alcune caratteristiche osservate.

–  formula semiempirica di Bethe-Weizsacker

B.E. A, Z ( ) ^{= −a}

A + a

A

+ a

Z

A

+ a

( N − Z )

A ± a

A

La formula di Bethe-Weizsäcker

•  Il primo termine rappresenta l’energia dovuta all’interazione a corto range di tra nucleoni vicini:

–  proporzionale al numero di nucleoni interagenti –  ed al volume

•  Il secondo termine positivo è una correzione al primo ed è proporzionale alla superficie del nucleo

–  i nucleoni interni hanno vicini in tutte le direzioni –  i nucleoni sulla superficie interagiscono solo con

quelli interni e quelli sulla superficie

–  La correzione all’energia di legame media è più rilevante per nuclei leggeri e spiega l’aumento di B/A per basse masse.

23

~ A

~ A

B.E. A, Z ( ) ^{= −a}

A + a

A

La formula di Bethe-Weizsäcker

•  Il terzo termine è dovuto alla repulsione elettrostatica

–  è inversamente proporzionale al raggio del nucleo –  è proporzionale a Z² e può essere calcolato

–  per alti valori di A favorisce l’eccesso dei neutroni sui protoni

–  descrive la decrescita di B/A per i nuclei con grande numero atomico

•  Ordine di grandezza:

–  energia potenziale di una sfera carica uniformemente:

13

~ A

B A, Z ( ) ^{= −a}

A + a

A

+ a

Z

A

a₁ = 15.753 MeV a₂ = 17.804 MeV a₃ = 0.7103 MeV

E = 3 5

(Ze)²

4πε₀r₀A^1/3

E = 3 5

( Ze )

4πε

R

= 3 5

e² 4πε₀r₀

Z²

A^1/3 = 3 5α^!c

r₀ Z² A^1/3

a

≈ 3

5 α !c

r

≈ 0.6 1 137

200 MeV ⋅ fm

1.2 fm = 0.73MeV

La formula di Bethe-Weizsäcker

•  Gli ultimi due termini non hanno un analogo classico e vengono introdotti fenomenologicamente.

•  Il quarto termine tiene conto del fatto che i nuclei sono

più stabili quando c’è simmetria fra protoni e neutroni: N ~ Z

–  descrive la valle di stabilità

–  Principio di esclusione di Pauli: due particelle con s=1/2 non possono avere gli stessi numeri quantici.

B.E. A, Z ( ) ^{= −a}

A + a

A

+ a

Z

A

+ a

( N − Z )

A

a₁ = 15.753 MeV a₂ = 17.804 MeV a₃ = 0.7103 MeV a₄ = 23.69 MeV

07n ₁⁷H ₂⁷He ₃⁷Li ₄⁷Be ⁷

5B

La formula di Bethe-Weizsäcker

•  Il quinto termine tiene conto del pairing degli spin

–  è nullo per A dispari

–  è negativo quando N e Z sono pari (nuclei pari-pari)

–  è positivo quando N e Z sono dispari (nuclei dispari–dispari)

B.E. A, Z ( ) ^{= −a}

A + a

A

+ a

Z

A

+ a

( N − Z )

A ± a

A

a₁ = 15.753 MeV a₂ = 17.804 MeV a₃ = 0.7103 MeV a₄ = 23.69 MeV a₅ = 33.6 MeV

Preferito Sfavorito

2 6 10 14

1H 3Li 5B 7N

Eccezione sono i nuclei leggeri

La valle di stabilità β

•  La formula dell’energia di legame presenta una evidente regione di stabilità (stabilità β)

–  Per un dato valore di A l’energia di legame è una parabola al variare di Z

•  Il punto di minimo si trova semplicemente

•  La formula ha i due valori limite:

B A, Z( )= −a1A + a2A²³ + a3Z²

A¹³ + a4(A − 2Z)²

A ± a5A⁻³⁴

∂B A, Z( )

∂Z _A=cost = 2a3 Z

A¹³ − 4a4 A − 2Z A = 0 Z = 2a₄A

a₃A²³ + 4a4

Z →

A

2 piccoliA 2a₄

a₃ A¹³ grandiA

"

#

$$

%

$$

Z

A B

A

Z

Decadimento doppio β

Z

•  Per un nucleo con A dispari il termine a

è nullo

–  L’energia in funzione di Z è una parabola

•  Un nucleo con A pari può essere

–  pari-pari a₅ < 0

–  dispari-dispari a₅ > 0

•  Pertanto in quest’ultimo caso ci sono due possibili parabole

•  I casi del tipo Cd – In - Sn sono molto interessanti

–  È possibile un decadimento β doppio

•  È di grande interesse la ricerca di decadimenti doppio β senza neutrini

•  Figura da:

Basdevant, Rich, Spiro – Fundamentals in nuclear physics – Springer 2005

( ) ²₃ ( ) ³₄

13

2 2

1 2 3 4 2 5

, Z A Z

B A Z a A a A a a a A

A A

- -

= - + + + ±

ZAX → _Z−2^AX + e⁻ + e⁻ +ν_e +ν_e

Confronto dati-stime

20 40 60 80 100 120 140 N

20 40 60 80 100 Z

Differenze tra energia di legame misurata e calco- lata in un model- lo a goccia più recente.

(arXiv 1508.06294)

Numeri Magici

MODELLO A SHELL

Modello a shell

•  Nel modello a shell si assumono i nucleoni all’interno di un

potenziale efficace prodotto dagli altri nucleoni.

–  definizione dei livelli energetici –  spin e momenti magnetici

–  momento di quadrupolo elettrico

•  Approccio simile alle strutture a shell degli atomi,

•  ma con significative differenze

–  potenziale a breve range

–  non esiste il potenziale coulombiano del nucleo: i nucleoni producono e subiscono il potenziale

–  interazioni spin-spin e spin-orbita molto più rilevanti

Maria Goeppert Mayer J. Hans D. Hensen

Nobel 1963

Modello a shell atomico

•  Nel modello dell’atomo di idrogeno, l’energia dipende dalla somma n+l

–  stati degeneri con diverso momento angolare

•  La degenerazione è rimossa quando si considerano perturbazioni al puro potenziale 1/r:

–  presenza di altri elettroni che modificano il potenziale

–  interazione spin-orbita (splitting fine)

•  Energia di legame e dimensione

atomica (R decresce all’aumentare di Z) presentano transizioni brusche

quando si passa al livello successivo

E_n = e² 4πε₀!c

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

2 m_ec²

2(n + l)² =α^{2 mec}

2

2(n + l)²

Raggio atomico [nm] Energia ionizzazione [eV]

Z

Modello a shell atomico

Potenziale nucleare

•  Il potenziale di base riflette la densità di materia all’interno del nucleo:

–  V₀: profondità della buca –  R: estensione del nucleo

–  a: dimensione dello strato superficiale V (r) = −V₀

1 + exp (r − R) / a[ ]

Compaionio salti a certi valori di nucleoni:

•  Numeri magici Non sono però corretti:

•  40, 58, 92, 112 non sono magici

•  mancano 28, 50, 82,126

Interazione tra momenti magnetici

•  Un momento magnetico, immerso in un campo magnetico acquista un’energia potenziale:

•  A sua volta genera un campo magnetico:

•  L’interazione tra due dipoli è dunque della forma:

•  Come ordine di grandezza dell’interazione:

–  per elettroni atomici:

U = −µ ⋅ B

B = µ₀ 4π

3 µ ⋅ ˆr( )^{ˆr − µ}

r³

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

U = − µ₀ 4π

3 µ( ₁⋅ ˆr)(^{µ2 ⋅ ˆr})^{− µ1⋅ µ2}

r³

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

U ≈ µ₀ 4π

µ_N²

r³ = 10⁻⁷

(

)

(1.6 ×10⁻¹⁵m)³ = 6 ×10⁻¹⁶J = 3.4keV

U ≈ µ₀ 4π

µ_B²

r³ = 10⁻⁷

(

)

(1. ×10⁻¹⁰m)³ = 0.9 ×10⁻²¹J= 6 ×10⁻³eV

Interazione spin-orbita

•  Un nucleone in uno stato con momento orbitale L, genera un momento magnetico:

–  analogamente si può vedere, nel sistema di quiete del nucleone, come il momento generato dal resto del nucleo che orbita attorno al nucleone.

•  Questo interagirà con lo spin dle nucleone a dare un termine

energetico:

•  Ogni livello si divide in due

sottolivelle con momento angolare totale:

µL = µ_N ^L

!

U ∝ −L ⋅ s

!²

J = l + s J = l − s

Interazione spin-orbita

•  Risulta energeticamente favorevole l’allinenamento di spin e momento angolare orbitale.

•  Il valore:

•  La separazione tra i livelli:

–  aumenta all’aumentare di L

–  gli splitting dei livelli con L grande giustifiano i numeri magici effettivamente osservati.

•  Interazione spin-spin

–  come abbiamo visto nell’interazione nucleone-nucleone ci deve

essere anche un termine di accoppiamento spin-spin di due nucleoni:

energia di pairing.

–  questo favorisce l’anti-allineamento dei due spin, risultando in uno stato con spin totale 0

–  tutti i nuclei pari-pari hanno stato fondamentale con J=0.

L ⋅ s

!² = 1

2⎡⎣J² − L² − s²⎤⎦ = 1

2[J(J +1) − l(l +1) − s(s +1)]

Δ L ⋅ s

!²

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = J_l+s(J_l+s + 1)^{− J}l−s(J_l−s + 1) = l +

(

) (

)

(

) (

)

(

)

Momento di dipolo magnetico

•  Nei nuclei con A-dispari, spin e momento magnetico sono determinati dal nucleone “spaiato”

•  Ripetendo il discorso fatto per il deutone:

•  Per determinare il coefficiente giromagnetico, si può moltiplicare per J/ħ:

–  j=l+1/2 –  j=l-1/2

µ = gµ_N ^J

! = g_lµ_N ^L

! + g_sµ_N ^s

!

gJ²

!² = gl L ⋅ J

!² + gsµ_N ^{s ⋅ J}

!²

g = 1

j( j +1) g_l L² + L ⋅ s

!² + gsµ_N ^s

2 + s ⋅ L

!²

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥ = 1 j( j +1)

g_l l(l +1) + 1

2[ j( j +1) − l(l +1) − s(s +1)]

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ +gs s(s +1) + 1

2[ j( j +1) − l(l +1) − s(s +1)]

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

= 1

2 j( j +1) g_l j( j +1) + l(l +1) − 3 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + gs j( j +1) − l(l +1) + 3 4

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

g = 1

j g_l j − 1 2

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ + 1 2g_s

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

g = 1

j g_l j( j + 3 / 2) j +1 − 1

2 j j +1g_s

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

µ = gjµ_N

Eccitazioni collettive

•  Per nuclei grandi il modello a shell riduce il suo valore predittivo.

•  Eccitazioni dei nucleoni più esterni possono trasferirsi agli orbitali meno legati ed eccitare movimenti degli altri nucleoni

•  Modi vibrazionali:

–  E=(n+1/2)ħω –  ΔE=ħω

•  Modi rotazionali

–  E=L

/2I

–  ΔE=[l(l+1)-(l-1)l]ħ

/2I=lħ

/I