La struttura nucleare dell’atomo

Istituzioni di Fisica Nucleare e Subnucleare – Prof. A. Andreazza

La struttura nucleare dell’atomo

Lezione 1

L’esperimento di Rutherford

•  J.J. Thomsons aveva estratto dall’atomo particelle cariche negativamente.

•  Essendo neutro, l’atomo doveva contenere delle cariche positive.

•  Si pone il problema di come queste siano distribuite.

•  L’esperimento di Rutherford e collaboratori del 1910 dimostrò che la carica positiva è concentrata in un nucleo

•  Introdurremo il concetto di sezione d’urto e la trattazione

quantistica del processo di scattering.

L’esperimento di Rutherford

•  Nel 1910 due assistenti di Rutherford, H. Geiger e E. Marsden,

iniziarono sotto la direzione di Rutherford, una serie di esperimenti a Manchester.

•  Con questi esperimenti fu misurata la sezione d’urto di diffusione delle particelle α da parte degli atomi del bersaglio.

•  L’osservazione che destò

l’interesse di Rutherford fu la relativa abbondanza di

particelle α diffuse a grande angolo.

Urto non relativistico tra due particelle

–  Conservazione del momento

–  Conservazione dell’energia cinetica

v!_o

v!_α v!_t m_α!

v_o = m_α!

v_α + m_t! v_t v!_o = !

v_α + m_t m_α

v!_t v_o² = v_α² + m_t²

m_α² v_t² + 2 m_t m_α

v!_t ⋅ ! v_α

1

2m_αv_o² = 1

2m_αv_α² + 1

2m_tv_t²

2 2 t 2

o m t

v v v

a m

a

= + ² m^t _t²

v v

a m

a

+ = _vt² ₌ ^mt

m_α v_t² + 2! v_t ⋅ !

v_α

v_t² 1 − m_t m_α

"

#$ %

&

' = 2! v_t ⋅ !

v_α v_α² + m_t²

m_α² v_t² + 2 m_t m_α

v!_t ⋅ ! v_α

Urto non relativistico tra due particelle

•  In base alla relazione

•  Se m

<m

•  le due particelle escono nella stessa direzione

•  Se m

>m

•  le due particelle tendono a uscire in direzioni opposte

v_t² 1 − m_t m_α

"

#$ %

&

' = 2! v_t ⋅ !

v_α

1 m^t 0 m_a

-­‐ > v^!_t ⋅ !

v_α > 0

1 m^t 0 m_a

-­‐ < ^{v!t ⋅v!α < 0}

L’esperimento di Rutherford

•  Nel modello di Thomson dell’atomo

•  Sappiamo che l’elettrone è molto leggero (misura e/m)

•  Se l’urto fosse con l’elettrone

•  La particelle α non sarebbe apprezzabilmente deviata dall’elettrone

–  Si può verificare che neppure la carica positiva uniformemente distribuita sulle dimensioni dell’atomo deflette apprezzabilmente la particella α

+

-

m_t

m_α ∼ 10⁻⁴ !

v_o = !

v_α + m_t m_α

v!_t

≈ !

v

L’esperimento di Rutherford

•  Supponiamo che l’atomo abbia un nucleo molto piccolo ma molto pesante

–  ad esempio se consideriamo l’oro (^{A=197, m}_t ~ 2×10⁵ MeV)

–  Inoltre

–  Pertanto il momento del nucleo dopo l’urto è

•  Significa che la particella α può addirittura rinculare indietro

v_t² 1 − m_t m_α

"

#$ %

&

' = 2! v_t ⋅ !

v_α v_t² 1 − m_t m_α

"

#$ %

&

' = 2vt ⋅ v_α cosθ ≤ 2v_t ⋅ v_α

v_t² ≤ 2m_α

m_t v_t ⋅ v_α v_t ≤ 2m_α m_t v_α

v_o² = v_α² + m_t m_α v_t²

m_t

m_α ∼ 50

≤ v_α² + m_t

m_α 2m_α m_t

"

#$ %

&

'

2

v_α² = v_α² + 4m_α

m_t v_α² ∼ v_α² v_o ∼ v_α

v_t ≤ 2m_α

m_t v_α m_tv_t ≤ 2m_αv_α m_tv_t ≤ 2m_αv_o m_α!

v_o m_tv_t ∼ 2m_αv_o m_αv_o

1 − m_t

m_α ≈ −m_t m_α

L’esperimento di Rutherford

•  L’esperimento consiste nella misura del numero di particelle α deviate in funzione dell’angolo di deflessione:

•  È necessario determinare quantitativamente:

–  la probabilità che una particelle α venga deflessa in un certo angolo solido

–  il tasso di eventi effettivamente atteso –  concetto di sezione d’urto

dΩ

Scattering coulombiano

•  Fino a questo punto abbiamo fatto dei ragionamenti qualitativi

•  Si può fare un calcolo quantitativo con interazione fra la particella α e il nucleo di tipo Coulombiano

•  La traiettoria è un ramo di un’iperbole

•  Ci sono due costanti del moto

–  L’energia totale:il campo è conservativo

–  Il momento angolare: la forza è diretta lungo e ha momento nullo

V r( ) ⁼ ₄¹ πε_o

ZZ_αe² r

z θ

χ_ο b

b = parametro d’impatto

θ = angolo di scattering

m_αv!_o

E ≡ 1

2m_αv_o² = 1

2m_αv² + U r( )

L =! !

r × m! v

r χ

!r

r_o

!r × ! F = 0

Ÿ Utilizziamo le coordinate polari r e χ

Ÿ Le coordinate del punto di massimo avvicinamento sono r_o e χ_o

Ÿ vogliamo trovare la relazione fra b e θ

Scattering Coulombiano

•  Un calcolo lungo ma non difficile permette di ottenere –  per i calcoli può essere comodo introdurre

il raggio classico dell’elettrone

–  oppure la costante di struttura fine

z θ

χ_ο b

m_α! v_o

r χ

b = 1 4πε_o

ZZ_αe²

2E cotθ 2

b = m_ec² E

ZZ_α

2 r_ecotθ r_e = e² 2

4πε_o^m_e^c2 r_e = 2.817940 ×10⁻¹⁵m

α = 1

137.035999 679

α = e²

4πε_o!c b = ZZ_α 2

!c

E αcotθ 2

!c = 197.326963 MeVfm 1fm = 10^-15m

Sezione d’urto di Rutherford

•  Dalla relazione tra parametro di impatto e angolo di deflessione:

•  ricaviamo la relazione differenziale:

•  Le particelle α che vengono diffuse tra un angolo θ e θ+dθ sono quelle che passano in un’area:

b = ZZ_α 2

!c

E α cotθ 2

db = ZZ_α 2

!c

E α −1 2

1 sin²θ 2

"

#$ %

&

'dθ

dσ = 2π bdb

= 2π ZZ_α 2

!c E α

!

"

# $

%&

2 1

2

cosθ 2 sin³θ 2

!

"

# $

%&dθ

Interludio: angolo solido

•  L’angolo solido in steradianti (sr) è l’area sottesa sulla superficie sferica di raggio unitario.

–  In analogia all’angolo in radianti (rad) che è l’arco sotteso sulla circonferenza di raggio unitario.

•  Il differenziale dΩ è dato da:

–  a volte si sottintende l’integrazione su φ:

•  Come ci si aspetta:

θ θ

=sinθdφdθ dΩ = sinθdϕdθ

= dϕ d cosθ

= 2sinθ 2 cosθ 2 dϕ dθ

dΩ = 2π sinθdθ

∫

∫

∫

∫

= 2π dcosθ

−1

∫

Sezione d’urto di Rutherford

•  Possiamo quindi costruire una relazione tra l’angolo solido in cui le particelle α vengono diffuse e l’area in cui sono passate:

b = ZZ_α 2

!c

E αcotθ

2 db = ZZ_α

2

!c

E α −1 2

1 sin²θ 2

"

#$ %

&

'dθ

dσ ¹

2

cosθ ²

sin³θ ^2dϕdθ

bdϕdb = ZZ_α 2

!c E α

!

"

# $

%&

2 1

2

cosθ 2 sin³θ 2

!

"

# $

%&dϕdθ

= 1 4

2 cosθ ^2sinθ ²

sin⁴θ 2 dϕ^dθ

= 1 4

sinθ

sin⁴θ 2dϕ^dθ

= 1 4

1

sin⁴θ 2dΩ

Sezione d’urto di Rutherford

•  Possiamo quindi dare l’espressione per la sezione d’urto differenziale

dello scattering Coulombiano:

•  Qual è il significato di questa relazione?

•  Come possiamo collegarla a qualcosa di osservabile?

dσ

dΩ = ZZ_α 4

!c E α

"

#$ %

&

'

2 1

sin⁴θ 2

Sezione d’urto

•  Supponiamo di avere un fascio di n_o particelle per unità di area incidenti su un atomo:

–  Il numero di particelle diffuse in un angolo solido dΩ sono quelle che entrano nell’area corrispondente:

•  Se il fascio incide su N_T atomi:

•  In un caso realistico un fascio di N_o particelle di sezione S incide su un bersaglio di spessore dz con n_T atomi per unità di volume:

•  Il numero totale di particelle deflesse nell’angolo solido dΩ sarà:

Indipendente da S dn( )θ ^{= N}_S^{o n}TdzS dσ

dΩdΩ

dn( )θ ^{= n}odσ = n_o dσ dΩdΩ dn( )θ ^{= n}oN_T dσ

dΩdΩ

n_o = N_o S N_T = n_TdzS

= N_on_Tdz dσ dΩdΩ

Sezione d’urto

•  Quest’ultimo risultato ha una valenza molto più generale:

–  In esperimenti di scattering abbiano accesso solo a stati asintotici:

•  parametri (intensità, quantità di moto...) del fascio incidente

•  parametri (angolo di deflessione, quantità di moto...) delle particelle diffuse

•  entrambi misurati a “grandi” distanze dalla regione di interazione.

–  Il processo di diffusione viene descritto dal fattore dσ/dΩ, che ha le dimensioni di una superficie.

•  è una quantità misurabile

•  può essere calcolato a partire da modelli microscopici

•  ...anche quando l’interpretazione classica che abbiamo usato perde di significato.

Sezione d’urto

•  Consideriamo:

–  un bersaglio di spessore dz e densità n_T (bersagli per unità di volume)

–  un fascio di particelle di area S

–  l’intensità del fascio è il numero di particelle incidenti per unità di tempo I_o (particelle/s) –  Il numero N_T di particelle del bersaglio

colpite dal fascio è

•  Il numero di interazioni al secondo dn/dt è proporzionale a:

–  numero di particelle incidenti al secondo I_o –  numero di particelle del bersaglio N_T

•  La costante di proporzionalità è definita dal rapporto fra una superficie σ , detta sezione d’urto, e l’area del fascio S

N_T = n_TV

S dz Io

= n_TSdz

dn

dt = I_on_TSdzσ S

dn

dt = I_on_Tdzσ

n_T = ρ AN_A

dn

dt ∝ I_oN_T dn

dt = I_oN_T σ S

Assorbimento e lunghezza di interazione

•  Il tasso di particelle diffuse si traduce in una diminuzione dell’intensità I del fascio:

•  Se la diminuzione del numero di particelle nel fascio non è trascurabile, l’intensità varia con la profondità secondo la legge:

•  dove µ=n_Tσ prende il nome di coefficiente di assorbimento.

•  Analogamente si può introdurre la lunghezza d’interazione (detta anche libero cammino medio)

⇒ dI

I z( ) ^{= −nTσdz}

I z( ) ^{= I}0e^−nTσz = I₀e^−µz

λ = 1 µ ⁼

1

n_Tσ ^{I z}( ) ^{= I}0e⁻

z λ

dn

dt = −dI = In_Tdzσ

0 dz L

fascio

z

Assorbimento e lunghezza di interazione

•  Se lo spessore z è piccolo (z≪λ):

–  il fascio uscente è ridotto in intensità di un fattore 1-z/λ –  la probabilità di scattering di un particella del fascio è

–  prodotto della densità superficiale n_Tz per la sezione d’urto σ

•  La densità di centri di scattering dipende dalla densità del materiale:

–  spesso si esprime λ normalizzata per la densità:

•  dipende dal materiale, ma non dallo stato dello stesso

•  ha le dimensioni di una densità superficiale.

z λ = n_Tzσ

n_T = ρ A N_A

λ = 1

n_Tσ ⁼ A

ρN_Aσ (λρ) ^{= A}

N_Aσ

Misura della sezione d’urto

•  Supponiamo di potere considerare il bersaglio sottile (condizione che si verifica molto frequentemente)

–  ciò è equivalente alla condizione

•  in queste condizioni per una ben definita condizione sperimentale

–  ad es. una fissata energia del fascio, una fissata accettanza angolare ΔΩ –  il numero N_o di particelle del fascio è misurato con un rivelatore monitor –  il numero di interazioni n è misurato con il rivelatore

•  inoltre sono ovviamente conosciuti

–  lo spessore del bersaglio dz

–  la densita n_T di atomi/nuclei bersaglio (target)

•  ρ è la densità, A il numero di massa atomico e N_A il numero di Avogadro

•  La sezione d'urto allora è

•  se gli errori su tutte le grandezze sono trascurabili escluso l'errore statistico su n, l'errore statistico sulla sezione d'urto è

n_Tdzσ ≪ 1

n_T = ρ AN_A

dσ

dΩ = 1 ΔΩ

1 n_Tdz

n N_o

Δσ σ ⁼

n

n = 1 n

monitor

θ

rivelatore

E

N.B.:

ΔΩ = area rivelatore/distanza²

Scattering quantistico (cenni)

Nella meccanica quantistica un urto viene descritto nel modo seguente:

•  Una particella (pacchetto d’onda) propaga senza interagire

•  Si avvicina ad un bersaglio

•  Potenziale a corto range

•  Interagisce

•  Nello stato finale possiamo avere –  La particella non ha interagito

•  Un pacchetto che propaga senza interagire nella stessa direzione della particella incidente

–  La particella ha interagito

•  Un pacchetto che propaga in una direzione differente

Scattering quantistico (cenni)

•  La probabilità di transizione da uno stato iniziale i, ad uno stato finale f, causata dall’interazione con un potenziale V, è descritta dalla regola d’oro di Fermi:

•  Dove compaiono:

–  l’elemento di matrice

–  la densità di stati finali:

(spazio delle fasi)

•  Come funzioni d’onda possiamo prendere quelle di una particella libera:

P = 2π

! f V i ² ρ

(

)

f V i =

∫

ρ E( f )

ψ( )^{r ∝ e−i}

p⋅r

!

p_i = m_αv_o

(

)

p_f = m_αv_o

(

)

Scattering quantistico (cenni)

•  La sezione d’urto sarà proporzionale alla probabilità di transizione:

•  L’elemento di matrice:

•  dove abbiamo introdotto il momento trasferito q=p_i-p_f dσ

dΩ∝ P ∝ f V i ²

f V i =

∫

i

!p_f⋅r ZZ_αe² 4πε₀r e⁻

i

!p_i⋅r

∫

0

dr1 re⁻

i

!(p_i−p_f )^⋅r

∫

q² = m_α²v_o²2 1 − cos( θ ) ^{= m}α2v_o²4sin²θ 2 = 8m_αE sin²θ ²

= ZZ_αe²

4πε₀ ^dr 1 re⁻

i

!q⋅r

∫

q = m_αv_o

(

)

Scattering quantistico (cenni)

•  Per calcolare l’integrale, usiamo le formule:

•  L’elemento di matrice diventa:

–  per svolgere l’integrale, possiamo scegliere liberamente l’asse z –  usiamolo diretto lungo q:

•  Otteniamo la stessa relazione del caso classico!

dxe^−αx

0

∫

f V i ∝ ZZ_αe²

4πε₀ ^dr 1

re⁻

i

!q⋅r

∫

= ZZ_αe² 4πε₀

4π!² q² dxe^−αx

x₁ x₂

∫

= ZZ_αe²

4πε₀ ^dϕ dcosθ drr²1 re⁻

i

!qr cosθ

∫

0

dr dcosθre⁻

i

!qr cosθ

−1

∫

∫

= 2π^ZZ_α^e2

4πε₀ ^{drr −}

! iqr

"

#$ %

&

' e

i

!qr

− e⁻

i

!qr

(

)* +

,-

0

∫

4πε₀ ⁻

! iq

"

#$ %

&

' !

iq − − ! iq

"

#$ %

&

( ' )*

+ ,-

Sezione d’urto di Rutherford

•  La sezione d’urto totale si può ricavare da quella differenziale per integrazione:

•  Nel caso dello scattering Coulombiano è facile rendersi conto che l’integrale non è convergente per piccoli angoli:

–  Effetto del grande range delle forze elettromagnetiche: per quanto grande sia b, c’è sempre almeno una piccola deviazione.

–  In realtà per b maggiore della dimensione atomica, gli elettroni schermano completamente la carica nucleare.

–  L’effetto di schermo si inizia a sentire già a partire dagli orbitali più interni.

•  La formula per la sezione d’urto escludendo un piccolo angolo:

σ = dϕ ^sinθ ^dθ ^dσ dΩ

0

∫

2π

∫

σ = 2π ^ZZα 4

!c E α

!

"

# $

%&

2 sinθ ^dθ sin⁴θ 2

0

∫

σ θ( >θ₁) ^{= 4π ZZα}

4

!c E α

!

"

# $

%&

2 1

sin²θ₁ 2 − 1 (

)* +

,-

= 8π ^ZZα 4

!c E α

!

"

# $

%&

2 d sin( θ ²)

sin³θ 2

0

∫

Interludio: Nobel per la Fisica 2015

Interludio: Nobel per la Fisica 2015

•  Neutrini interagiscono solo debolmente:

–  hanno sezioni d’urto molto piccole:

•  √s = energia nel centro di massa νN –  ad alte energie

–  e moltiplicando per (ℏc)²/π:

•  Usando la sezione d’urto:

•  Calcolare il libero cammino medio di un neutrino da 1 GeV in Fe.

1 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

00 150 200 250 300 350 - X µ N → νµ

+ X µ N → νµ

100

(GeV) Eν

/ GeV)2 cm-38 (10ν / E CCσ

IHEP-ITEP, SJNP 30, 527 (1979) IHEP-JINR, ZP C70, 39 (1996) MINOS, PRD 81, 072002 (2010) NOMAD, PLB 660, 19 (2008) NuTeV, PRD 74, 012008 (2006) SciBooNE, PRD 83, 012005 (2011) SKAT, PL 81B, 255 (1979) T2K, PRD 87, 092003 (2013) ANL, PRD 19, 2521 (1979)

ArgoNeuT, PRL 108, 161802 (2012) BEBC, ZP C2, 187 (1979) BNL, PRD 25, 617 (1982) CCFR (1997 Seligman Thesis) CDHS, ZP C35, 443 (1987) GGM-SPS, PL 104B, 235 (1981) GGM-PS, PL 84B (1979)

σ ν N

( )

2s

π (!c)²

!

"

# $

%&

G_F²s = G_F²2m_NE_ν= 2.6 ×10⁻¹⁰GeV⁻³E_ν σ = O(3×10⁻³⁸GeV⁻¹E_ν)

σ ν N

( )

Ripasso di relatività ristretta

•  Nomenclatura

–  fattori relativistici

–  tetravettori:

–  metrica

–  “boost”:

trasformazione in un sistema di riferimento che si muove a velocità β rispetto a quello in cui sono definite le variabili

β = v

c 0 < β < 1 γ = 1

1− β² γ > 1

g_µν = 1

−1

−1

−1

"

#

$$

$

$

%

&

'' ' '

x^µ =

(

)

(

)

intervallo: x² = c²t² − x² − y² − z²

massa invariante: p² = E²² − p_x²c² − p_y²c² − p_z²c²

x!^µ = Λ_ν^µx^ν

!

p ^µ = Λ_ν^µp^ν

Λ_ν^µ =

γ 0 0 −γβ

0 1 0 0

0 0 1 0

−γβ 0 0 γ

#

$

%%

%%

%

&

' (( (( (

Ripasso di relatività ristretta

•  Energia, massa, momento

–  consideriamo una particella in quiete:

–  e facciamo un boost in un sistema di riferimento in cui si muove a velocità β:

•  Sistema del centro di massa

–  se abbiamo diverse particelle, possiamo calcolare il momento totale:

p^µ =

(

)

p!^µ =

(

)

p = γβMc ⇒ γβ = p Mc

β = pc E

p!² = Mc

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

P^µ = E_i

i

∑

i

∑

"

#

$$

%

&

''

s = P² = massa del sistema γ_CM = E_i

i

∑

i

∑

i

∑

Scattering relativistico

•  Consideriamo una particella di massa m₁ e energia E₁ che incide su una particelle m₂ a riposo:

–  I tetramomenti delle particelle sono:

–  Il sistema del centro di massa ha tetramomento:

•  Verifica di consistenza

•  I tetramomenti nel sistema del centro di massa sono:

p₁ =" E₁ 0 0 p_1,0 = E₁² − m₁²

#$ %

&

' p₂ =

(

)

p_CM =

(

)

1−β_CM² = 1− p_1,0²

(E₁+ m₂)² =(E₁+ m₂)²− (E₁² − m₁²)

(E₁+ m2)² = m₂²+ 2m₂E₁+ m₁²

(E₁+ m2)² = 1 γ_CM² p_CM^* =γ_CM

(

)

%&

p₁^* =γ_CM

(

)

p₂^* =

(

)

(

)

= 1

s

(

)

N.B.: variabili con * sono valutate nel sistema del centro di massa.

Scattering relativistico

•  Dopo l’urto, nel sistema del centro di massa le particelle si allontaneranno con stessa energia e momento, ma deflesse di un angolo θ^*:

–  I tetramomenti delle particelle sono:

•  Ritornando nel sistema del laboratorio:

p!₂^* = 1

s

(

)

p₁!^* = 1

s

(

)

!

p₁ = 1

s γ_CM"#E₁m₂+ m₁²+β_CMm₂p_1,0cosθ^*_{$% m2}p_1,0sinθ^* 0 γ_CM^"#m₂p_1,0cosθ^*+β_CM

(

)

%

&

'( )

*+

= (E₁+ m₂)^(E1m₂+ m₁²) + m₂p_0,1² cosθ^* s

m₂p_1,0

s sinθ^* 0 (E₁+ m₂)^{m2p1,0cosθ*+ p1,0}

(

)

s

!

"

#

##

$

%

&

&&

= E₁ 1− m₂p_0,1²

sE₁

(

)

"

#$ %

&

' m₂p_1,0

s sinθ^* 0 p_1,0 1−(E₁+ m₂)^m2

s

(

)

"

#$ %

&

' (

)

*

*

+ , - -

Riflessione indietro solo se m₁<m₂