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Proprietà isotopiche della corrente adronica Fattori di forma

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Academic year: 2021

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(1)

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 18

30.11.2020

Decadimento τ → π ν τ

Proprietà isotopiche della corrente adronica Fattori di forma

CVC e decadimento π → π 0 e ν e

(2)

Il decadimento del leptone τ: τ → π ν τ

y Mostriamo come il formalismo fin qui sviluppato può essere utilizzato anche per il calcolo della frazione di decadimento del leptone τ

y Osserviamo prima di tutto che per il calcolo della vita media o della larghezza totale occorrerebbe calcolare tutte le larghezze parziali

y Troppo lavoro ….

y Calcoliamo solo la larghezza del decadimento in π ντ e confrontiamola con la larghezza totale

y La larghezza totale può essere derivata dalla vita media y Dal risultato sperimentale τ = 290.6u10−15 s ricaviamo

y Calcoliamo adesso la larghezza del decadimento π ντ

y Il calcolo è identico a quello fatto per il decadimento del pione y Si utilizza l’Hamiltoniana

, , , 1

h τ h K a

τ + ν = π ρ

l l τ

τ + ν + ν τ() + ντ ……

( )

22 15

6.582 10 MeV s 290.6 10 s τ all

τ

Γ → = = ×

× ( )

2.265 10 3 eV

τ all

Γ → = ×

( ) 2

G μ Jμ

′ =

H I

eνν μνν πν Kν

Γ = Γ + Γ + Γ + …+ Γ

(3)

Il decadimento del leptone τ: τ → π ν τ

y La corrente leptonica Jμ adesso contiene anche un termine per il leptone τ y Lo stato iniziale e lo stato finale sono rispettivamente

y Notiamo in particolare che per quel che riguarda gli adroni si passa dallo stato vuoto allo stato con un pione

y La situazione opposta a quella del decadimento del pione y Scriviamo pertanto l’ampiezza di decadimento

y L’elemento di matrice della parte adronica è il complesso coniugato di quello che avevamo nel decadimento del pione

y Dato che era reale sono uguali

y Il 4-vettore qμ è il momento del pione

τ π ν τ

( ) ( )

| 0 | 0 | 0 | 2

Gβ π μ ντ Jμ τ

M = I

| μ ( )0 | 0 f qπ μ

π I =

qμ = kτμkνμ

(4)

Il decadimento del leptone τ: τ → π ν τ

y L’elemento di matrice della parte leptonica è

y Per finire l’ampiezza è

y Sostituendo

y Con la solita tecnica troviamo

y Dalla cinematica otteniamo

( )

(

1 5

)

( )

2

Gβ f u k qπ ν ν μγμ γ u kτ τ

= −

M

( ) ( )

(

5

)

( )

|Jμ 0 | u k 1 u k

τ ν ν μ τ τ

ν τ = γγ

( )

( )(

1 5

)

( )

2

Gβ f u kπ ν ν k/τ k/ν γ u kτ τ

= − −

M ( )

(

1 5

)

( )

2

Gβ f m u kπ τ ν ν γ u kτ τ

= +

( )( )( )( )

[ ]

2

2 2 2 1 5 1 5

2

Gβ f m Tr kπ τ /ν γ k/τ mτ γ

= + + −

M

( )( )( )

[ ]

2 2 2 1 5

G f m Tr kβ π τ /ν k/τ mτ γ

= + − = G f m Tr k kβ π2 2 τ2

[

/ /ν τ

]

2 2

m m

kτ kν τπ

⋅ = 1 m2 m2

d τπ

Φ = qμ = kτμkνμ

2 2 2

4G f m kβ π τ ν kτ

= ⋅

(5)

Il decadimento del leptone τ: τ → π ν τ

y Mettendo insieme i vari pezzi otteniamo

y Notiamo il fattore ½ introdotto prima dell’elemento di matrice y Questa volta il leptone è nello stato iniziale

y Bisogna mediare statisticamente fra le due polarizzazioni possibili y Introduciamo i valori delle costanti e delle masse

y Otteniamo

media sulle polariz- zazioni iniziali

( )

2 2 2 2 3

2

1 1

16

G f m m

m

π τ π

β τ

τ πν

π

⎛ ⎞⎟

Γ → = ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠

2 2 2 2

2 2 2

2

1 1

4 4 2 4 2

m m m m

G f m

m m

τ π τ π

π τ

τ β π τ

− −

Γ =

1 2 2 2

1

2 d

mτ

Γ = τ = M

Φ

5 2

1.13578 0.00027 10 GeV

Gβ = ± ×

130.7 0.1MeV

fπ = ± mτ = 1776.99 ± 0.29 MeV

139.57018 0.00035 MeV

mπ = ±

(τ πν) 2.43 10 eV4

Γ → = ×

(6)

Il decadimento del leptone τ: τ → π ν τ

y Ricordando la larghezza totale ottenuta dalla vita media

y Otteniamo la frazione di decadimento

y Da confrontare con il valore sperimentale

(τ all) 2.265 103 eV

Γ → = ×

( )

( )

4 3

2.43 10

10.7%

2.265 10 all

τ πν τ

Γ → ×

= =

Γ → ×

( )

( ) 11.06 0.11%

all τ πν τ

Γ →

= ±

Γ →

(7)

Polarizzazione del leptone τ

y Calcoliamo adesso la larghezza di decadimento nel caso in cui il leptone τ sia polarizzato. L’ampiezza mediata

y Diventa

y Adesso mettiamoci nel sistema di riposo del leptone

( ) ( ) ( )

2 5

2 2 2 5 1 5

1 1

2 2

RL R

G s

f m Tr k k m

β

π τ ν τ τ

γ γ γ

± /

/ /

= + +

M

( )( )( )( )

[ ]

2

2 2 2 1 5 1 5

2

Gβ f m Tr kπ τ /ν γ k/τ mτ γ

= + +

M

( )

( )( )

[ ]

2 1 2 2 2 5 5

1 1

R = 2G f m Tr k kβ π τ / /ν τ +mτ + γ s/R γ

M = 21G f m Tr k kβ2 2π 2τ

[

/ν τ/ +m k sτ ν/ /R

]

( )

2 2 2

2G f m kβ π τ τ kν +m sτ R kν

=

(0, ) s =R ξ

2 2

2

m m

m

τ π

ν τ

= k

( )

2 2 2 2 2

R = G f m m Eβ π τ τ ν mτ ⋅ kν

M ξ

( )

2 2 2 2 3 1

RL = G f m Eβ π τ ν ± ξ⋅ kπ M

( )

2 2 2

2G f m m Eβ π τ τ ν m Eτ ν ν

= ξ ⋅ k kπ = −kν

( )

2 2 3

2G f m Eβ π τ ν 1 + π

= ξ ⋅ k

(8)

Polarizzazione del leptone τ

y Si ottiene infine la distribuzione angolare dei pioni nel sistema di riposo del leptone τ

y Nel rapporto i termini costanti dello spazio delle fasi si elidono e pertanto possiamo semplicemente fare il rapporto fra i quadrati delle ampiezze

y Osserviamo infine che il segno di fronte al prodotto ξ˜kν dipende dal segno della massa nell’espressione

y La massa compare con questo segno perchè nell’ampiezza era presente lo spinore u del τ (particella)

y Se invece ci fosse stato un τ+ (antiparticella) allora ci sarebbe stato uno spinore v e quindi una massa con il segno opposto

RL RL

R L

dN d

= Γ

Ω Γ + Γ

2

2 2

cos

RL RL

R L

dN

d θ =

+ M

M M ddNcosRLθ = 12

(

1 ± ξ ⋅ kπ

)

( )

*

1 1 cos cos 2

dNRL

d θ

θ

= ± ξ

( )( )( )

[ ]

2 1 2 2 2 5 5

1 1

R = 2G f m Tr k kβ π τ / /ν τ + mτ + γ s/Rγ

M = 2G f m kβ2 2π 2τ

(

τ kν + m sτ R kν

)

(9)

La misura della polarizzazione del τ

y A LEP coppie di leptoni τ sono prodotti nelle collisioni e+ e all’energia del centro di massa pari a MZ

y I due leptoni hanno momento opposto (uguale in modulo) e energia E = MZ/2 y I leptoni sono prodotti con una polarizzazione ℘ che dipende dagli

accoppiamenti della Z0 ai leptoni (lo vedremo)

y Dalla misura della polarizzazione si possono misurare gli accoppiamenti

y Nel sistema di riposo del leptone τ, il π e il neutrino sono prodotti ad un angolo θ rispetto alla direzione di volo del τ

y Nel piano contenente i due mesoni e la direzione di volo del τ

y

y Il momento e l’energia del pione sono

θ βτ π

ντ

2 2 2 2

2 2

m m m m

m E m

τ π τ π

π π

τ τ

+

= =

k

(10)

La misura della polarizzazione del τ

y La massa del τ è mτ = 1776.99 MeV e per i nostri scopi è possibile approssimare a zero la massa del pione

y Nel laboratorio, l’energia di un pione emesso ad un angolo θ nel c.m. è

y γ e β sono i fattori relativistici del leptone τ

y L’energia del pione è pertanto

y Al variare di cos θ l’energia del pione nel sistema di laboratorio varia fra y Il valore massimo MZ/2 che si raggiunge per cos θ = 1

y il valore minimo 0 che si raggiunge per cos θ = 1

y Se non si trascura la massa del leptone l'intervallo è ridotto 2

Eπ = kπ = mτ

* * cos

Eπ = γEπ + γβ kπ θ

2 1 MZ

mτ

γβ

( )

* 1 cos

Eπ = γEπ + θ 1 cos

2 2

MZ + θ

=

(11)

La misura della polarizzazione del τ

y Abbiamo visto che nel sistema di riposo del τ l’angolo di emissione del pione ha una distribuzione

y Nel sistema di laboratorio avremo pertanto

y Dai calcoli cinematici precedenti

y Mettendo insieme i vari pezzi

y Si ottiene

( )

*

1 1 cos 2

dNRL

d θ = ± ξ ⋅ kπ

cos cos

dN dN dE

d θ = dE d θ 1

cos cos

dN dN

dE dE d

d

θ θ

=

1 cos

2 2

MZ

Eπ + θ

= cos 4

dE MZ

d

π

θ

→ = 4

cos 1

Z

E M θ = πe inoltre

La misura fatta a LEP 1 cos

dNL

dxL = −1 cosθ 2 1( )

dN x

dx = − θ = −

1 cos dNR

dxR = +1 cosθ 2

dN x

dx = + θ =

15.49 1.01%

℘ = − ±

4 1 cos 2

RL

Z

dN

dE M

θ

= ± 2

Z

x E

M

= π

Introduciamo la variabile cosθ = 2x −1

(12)

Decadimenti deboli

y Abbiamo visto che l’interazione di Fermi (interazione corrente-corrente) può essere utilizzata con successo per descrivere i decadimenti deboli

y Assumendo l’universalità l’Hamiltoniana può essere scritta come

y La corrente Jα(x) è fatta da due pezzi: Jα(x) = lα(x) + hα(x)

y La corrente leptonica lα(x) contiene i campi delle tre famiglie di leptoni

y I leptoni sono soggetti solo all’interazione elettrodebole e la loro descrizione mediante campi liberi di Dirac è adeguata

y Notiamo che la presenza nell’Hamiltoniana sia della corrente J che della corrente J permette di descrivere processi “coniugati”

y Ad esempio

( ) ( ) ( )

2

x G α x α x

′ =

H J J

( )

( ) ( ) ( )

1 5 1 5 1 5

e e

l α x = ψ γαγ ψν +ψ γμ αγ ψνμ +ψ γτ αγ ψντ

e e

μνμ ν e e

μ+νμ + ν

richiede i campi richiede i campi

ψμ

νμ

ψ ψe

νe

ψ lα ψμ

νμ

ψ lα ψe

νe

ψ lα lα

GGμ

(13)

La corrente adronica

y La corrente adronica hα(x) è più complicata

y Non può essere scritta in termini di campi liberi

y Deve descrivere fenomeni per un gran numero di decadimenti di adroni y Decadimenti di bosoni ad esempio decadimento dei mesoni π o K

y Decadimenti di fermioni, ad esempio del neutrone n o della Λ

y Nel seguito dedurremo alcune proprietà e parametrizzazioni della corrente adronica utilizzando le sue simmetrie dedotte dai dati sperimentali

y Innanzitutto ricordiamo che l’interazione debole viola la parità y La corrente è la somma di due termini: hα(x) = Vα(x) − Aα(x)

y Una componente vettoriale-polare Vα(x) y Una componente vettoriale-assiale Aα(x)

y Inoltre i decadimenti deboli adronici sono classificabili in due grandi famiglie y Decadimenti adronici senza violazione di stranezza per i quali ΔS = 0

y Ad esempio i decadimenti

y Decadimenti adronici con violazione di stranezza per i quali ΔS ≠ 0 y Ad esempio i decadimenti

np e ν e ππ0e νe πμ ν μ

n e νe

Σ → Kπ0e νe Kμ ν μ

0 p π

Λ → Ξ → Λ 0 π

(14)

La corrente adronica

y La corrente adronica contiene pertanto y Un termine che conserva la stranezza

y Un termine che viola la conservazione della stranezza

y Studiamo dapprima le proprietà della corrente , la parte ΔS = 0

y I processi deboli studiati fino ad ora hanno tutti la proprietà che la carica elettrica dello stato adronico (o leptonico) cambia di una unità: ΔQ = ±1 y Questa proprietà fissa delle regole di commutazione fra le correnti e

l’operatore carica elettrica Q

y Infatti dati due stati |i> e |f>

y Verifichiamo che la regola di commutazione implica che ΔQ = ±1

y Pertanto, se l’elemento di matrice è diverso da zero y Analogamente per la corrente Jα abbiamo

y Pertanto le interazioni deboli (correnti cariche) hanno la regola di selezione

0

hΔ =αSJ α

0

hΔ ≠αSS α

Q i =q ii Q f = q ff

| , | f Q Jαi

= ⎢⎣ ⎥⎦

| |

f J α i = f QJ| αJ Q iα | =

(

qfqi

)

f J| α |i

,

Q J α J α

⎡ ⎤ = +

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎡⎢⎣Q J, α⎤ = −⎥⎦ Jα

f i 1 Q q q

Δ = − = +

f i 1 Q q q

Δ = − = −

Q 1

Δ =

Jα

(15)

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y Sappiamo che l’isospin è una simmetria delle interazioni forti

y Ad esempio per nucleoni e pioni se si trascurano le differenze di massa y Anche se l’interazione debole viola la conservazione dell’isospin tuttavia lo

utilizziamo per descrivere gli stati adronici iniziali e finali

y Introduciamo pertanto il formalismo dell’isospin per i campi del protone e del neutrone

y Se utilizziamo il formalismo dell’isospin il protone e il neutrone sono un’unica particella di Isospin T = ½ con due stati caratterizzati da T3 = ±½

y Il campo Ψ del nucleone è un isospinore

y Il campo Ψ è una quantità a due componenti

y Ciascuna delle due componenti è a sua volta uno spinore di Dirac a 4 componenti

y La Lagrangiana del nucleone si riscrive tramite il campo Ψ

y Espandendo la notazione compatta

p n

ψ ψ

⎛ ⎞⎟

Ψ = ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠

(

γμ μ m

)

= Ψ ∂ + Ψ

L

(

p n

)

0 0 p

n

m

m

μ μ

μ μ

γ ψ

ψ ψ

γ ψ

⎛ ∂ + ⎞⎛⎟ ⎞⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎜

= ⎜⎜⎜⎝ ∂ + ⎟⎟⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎜ ⎟⎟⎟⎠ L

(16)

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y La simmetria dell’isospin si introduce richiedendo l’invarianza (globale) della Lagrangiana rispetto al gruppo SU(2) nello spazio isospinoriale

y Una trasformazione di SU(2) è funzione di 4 parametri (α, Λ1, Λ2, Λ3) y Si può scrivere

y La trasformazione che si ottiene per Λ = 0 è l’invarianza per trasformazioni globali di fase già vista

y L’applicazione del teorema di Noether porta alla corrente conservata

y La carica conservata associata è

y La conservazione di questa carica esprime la conservazione del numero barionico

1 0 0 1 eiα α α⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ Ψ → Ψ = ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠

(

p n

)

0 0 p

n

J

μ

μ μ

μ

γ ψ

γ ψ ψ

γ ψ

⎛ ⎞

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟⎜ ⎟

⎜ ⎟

= Ψ Ψ = ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎜⎟⎟⎜⎠⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎟⎠

( )

3 ˆˆ ˆˆ 3

p p n n

B =

Ψ Ψd r =

ψ ψ + ψ ψ d r B = Np + Nn Np Nn U = exp⎡⎢⎣iA⎤⎥⎦ A = αI + ⋅

Λ τ2

τi matrici di Pauli A = A

(17)

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y L’invarianza rispetto ad una trasformazione con Λ ≠ 0 porta alla corrente (di Isospin) conservata

y La corrente definita è un oggetto complicato

y È un operatore vettoriale (nel senso di Lorentz) rispetto all’indice μ y È un operatore vettoriale (nello spazio dell’isospin) rispetto

all’indice i degli operatori di Pauli τi

y J

μ è conservata: per ogni componente i si definiscono le cariche isotopiche

y Gli operatori Ti appena definiti

y Sono operatori come gli operatori di campo Ψ

y Agiscono sugli stati dello spazio di Fock (in particolare sul vuoto) y Gli stati hanno adesso anche il grado di libertà isospin

y Ti possono essere espressi tramite operatori di creazione e distruzione y Si possono verificare le seguenti regole di commutazione

μ = Ψγμ Ψ

J τ2

( )

0 x d3

=

T J r = Ψγ0 Ψd3

τ2 r T =

Ψγ0τ2 Ψd3r

i, j ijk k

T T T

⎡ ⎤ =

⎢ ⎥

⎣ ⎦ , ,

2 2

⎡ Ψ = − Ψ⎤ ⎡ Ψ = Ψ⎤

TτTτ

1 2 3

τ τ τ

⎞⎟

= ⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟ τ

(18)

y Consideriamo adesso la corrente di isospin

y Dall’ultima relazione della diapositiva precedente si può ricavare

y In analogia a quanto si fa nella teoria del momento angolare (o dello spin isotopico) si possono definire gli operatori

y Utilizzando le regole di commutazione precedenti si ottiene

y Notiamo che le ultime relazioni trovate sono formalmente identiche a quelle della diapositiva

y La differenza è la sostituzione dell’operatore carica elettrica Q con l’operatore T3

y Questa circostanza suggerisce una relazione fra la corrente debole carica J e la corrente di isospin J+

4621798

Proprietà isotopiche della corrente adronica

2

m m

Jμ μ τ

ψγ ψ

=

[T Jl, mμ ] = lmk kJμ

1 2

J+μ = Jμ + iJμ Jμ = J1μiJ2μ Jμ = J+μ

[

T J3, +μ

]

= +J+μ [T J3, μ ] = −Jμ

(19)

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y Gli operatori dello spazio isotopico sono classificati secondo le loro proprietà di trasformazione sotto l’azione di un operatore U di SU(2)

y Operatori isoscalari: ad esempio il numero barionico y Infatti

y Operatori isospinoriali: ad esempio il campo Ψ

y Si può dimostrare che Ψ si trasforma come un isospinore

y Operatori isovettoriali: ad esempio la corrente

y La verifica che sia un isovettore è più complicata y Si può verificare che per Λ infinitesimo

y †Bernstein, Elementary Particles and their currents,W.H. Freeman & Company (1968)

[ ]

exp

U = iΛ⋅ T

3

B =

Ψ Ψd r

i i

B′ = e ΛTBe− ⋅Λ T =

eiΛTΨe− ⋅iΛT eiΛTΨe− ⋅iΛ Td3r

e− ⋅i ei d3

=

Ψ Λ τ/2 Λ τ/2Ψ r =

Ψ Ψ d3r = B

i i

e e− ⋅ Ψ =′ Λ TΨ Λ T

μ μ τ

γ

= Ψ Ψ

J 2

p n

ψψ

⎛ ⎞⎟

Ψ = ⎜⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟

i i

e μe− ⋅

Ψ =′ Λ TJ Λ T μ τ μ τ

γ γ

≈ Ψ Ψ + × Ψ Ψ

2 Λ 2

ei

= Λ τ/2Ψ Ψ =′ eiΛ τ/2 Ψ

i i i

e ΛTΨe− ⋅Λ T = e Λ τ/2 Ψ

(20)

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y Discutiamo adesso l’importante relazione

y Consideriamo l’operatore B

y Consideriamo adesso l’operatore T3

y In definitiva

2 3

Q B

e = +T

3

B =

Ψ Ψd r

(

p n

)

1 00 1 np 3

B =

ψ ψ ⎛⎜⎜⎜⎝ ⎞⎛⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝ψψ ⎞⎟⎟⎟⎠d r =

(

ψ ψp p + ψ ψn n

)

d3r B =

(

Np Np + Nn Nn

)

0 d3

γ

= Ψ Ψ

2

T τ r

0 3

3 12

1 0 0 1

T =

Ψγ ⎛⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎞⎟⎟⎠Ψd r = 12

Ψ⎜⎝1 00 − ⎟1⎞⎟Ψd3r = 12

∫ (

ψp ψn

)

⎜⎜⎝1 00 − ⎟1⎟⎜⎟⎜⎠⎝ψψnp ⎟⎠d3r

(

)

3

12 ψ ψp p ψ ψn n d

=

r

3 2 2

p p n n

N N N N

T − −

= −

(21)

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y Per finire possiamo definire la carica elettrica del sistema (in unità di e) come il numero di protoni

y Abbiamo utilizzato le seguenti matrici 2×2

y Ovviamente si ha

y Utilizzando la relazione precedente si trova

0 1 0 3

Q 0 0

e =

Ψγ ⎛⎜⎜⎜⎝ ⎞⎟⎟⎟⎠Ψd r

12

1

3 2

0 T → ⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 − ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 1 0

B → ⎛⎜⎜⎜⎝0 1⎞⎟⎟⎟⎠ 1 0

Q → ⎛⎜⎜⎜⎝0 0⎞⎟⎟⎟⎠

12

12

1 0 0

1 0 1

0 0 2 0 1 0

⎛ ⎞

⎛ ⎞

⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎟ ⎟

⎜ ⎜ ⎜⎜ − ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 3

Q B

e = +T

3

p p p

N =

ψ ψ d r =

∫ (

ψ ψp n

)

⎜⎜⎝1 00 0⎟⎜⎟⎜⎟⎠⎝ψψnp ⎟⎠Ψd3r

(22)

Proprietà isotopiche della corrente adronica

y Ritorniamo adesso alle considerazioni fatte nella diapositiva y Avevamo visto le regole di commutazione

y Abbiamo appena visto che

y Dato che la corrente conserva il numero barionico, B commuta con la corrente e quindi possiamo sostituire Q a T3 nelle regole di commutazione

y Tutto ciò ci permette di dire che la corrente adronica carica J†α ha evidenti somiglianze con un operatore nello spazio di isospin con le proprietà di un operatore di innalzamento o di abbassamento

y La corrente che induce, ad esempio, transizioni n → p y La corrente che induce, ad esempio, transizioni p → n

y Assumiamo pertanto che gli stati iniziale e finale siano elementi di un spazio isotopico

[

T J3, +μ

]

= +J+μ [T J3, μ ] = −Jμ

2 3

Q B

e = +T

[

Q J, +μ

]

= +J+μ [Q J, μ ] = −Jμ

1 12 2,

p = n = 12,−12 JαJ+α

JαJα

4661802

Confrontare con diapositiva 466

(23)

La corrente adronica

y Studiamo ora il comportamento generale della corrente adronica in relazione alle sue proprietà di trasformazione per il gruppo di Lorentz

y Consideriamo un elemento di matrice della corrente fra uno stato iniziale e uno stato finale |i> ed |f>

y Ad esempio nel decadimento β del neutrone i = n f = p y Oppure nel decadimento β del pione i = π f = π0 y Innanzitutto la teoria deve essere invariante per traslazioni

y L’invarianza per traslazioni (Pμ generatori delle traslazioni) implica che si possa scrivere

y Consideriamo adesso l’elemento di matrice

y Abbiamo già notato che ha una componente polare e una assiale

| ( )| f hα x i

| ( )| p hα x n

0 |hα ( )x |

π π

( ) iP x ( )0 iP x

hα x =e+ ⋅ hα e− ⋅ f h| α ( )x |i =eiq x f h| α ( )0 |i qμ = pfμpiμ

| ( )0 | f hα i

( ) ( ) ( )

| 0 | | 0 | | 0 |

f hα i = f Vα if Aα i

(24)

La corrente adronica: Fattori di Forma

y Nella trattazione del decadimento β abbiamo utilizzato il risultato (diap. )

y Questo risultato vale solo per particelle puntiformi (senza struttura) y Non è adeguato per calcoli precisi con adroni

y Nel caso degli adroni occorre ricorrere a parametrizzazioni che superino la nostra incapacità di calcolare esattamente gli elementi di matrice in

presenza dell’interazione forte

y Sulla base di considerazioni di invarianza relativistica si può scrivere la forma più generale che devono avere gli elementi di matrice

y Nel caso di fermioni (ad esempio neutrone → protone)

y Le quantità gX, fX, hX sono funzioni scalari dell’unica quantità cinematica scalare non banale: q2 = ( pf − pi )2

y Notiamo che per particelle senza struttura fX = hX = 0 e gX = 1

p n

p n p p iq x

p ψ Γμψ n = u Γμu e

n p

pi pf

( )

( )

| |

2 2

f V V V i

i q q

p V n u p g f h u p

m m

μν ν μ

μ μ

γ σ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= + +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )

( )

5 5 5

| |

2 2

f A A A i

i q q

p A n u p g f h u p

m m

μν ν μ

μ μ

γ γ σ γ γ

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= + +

⎢ ⎥

⎣ ⎦

2911348

(25)

La corrente adronica: Fattori di Forma

y I fattori di forma possono essere estratti da misure di decadimenti deboli in funzione del momento trasferito

y In particolare abbiamo già visto alcuni risultati per il decadimento β del n y Data la piccola differenza di massa fra neutrone e protone il momento

trasferito è limitato a valori molto piccoli: q2 ≈ 0

y Nel limite di bassi momenti trasferiti sopravvivono solo i Fattori di Forma gX

y Confrontando con risultati ottenuti da transizioni di Fermi 0+ → 0+ y Utilizzando per G il valore ottenuto Gμ dalla vita media del muone

y Supponendo G = Gμ otteniamo

y Dagli studi di transizioni di Gamov−Teller si ottiene

( )

( ) ( )

| | f V 0 i

p Vμ nu p g γμu p p A| μ | n u p

( )

f gA( )0 γ γμ 5u p( i )

( ) ( )

0 1.2695 0.0029 0

A V

g

g = ±

5 2

1.166 37 0.000 01 10 GeV

Gμ = ± ×

( )0

Gβ = GgV Gβ = 1.135 78 ± 0.000 27 10 GeV× 5 2

( )0 0.973 77 0.000 23

gV = ±

(26)

La corrente adronica vettoriale

y La cosa più interessante del risultato precedente è che gV(0) è praticamente 1 y Significa che a basso momento trasferito la parte vettoriale della corrente

adronica si comporta come la corrente vettoriale del muone y L’interazione forte non modifica il decadimento debole y Questa affermazione merita dei commenti

y Per il decadimento del neutrone abbiamo calcolato y Poichè esiste il decadimento

y Dovremmo considerare anche contributi tipo y Il fatto che fV(0) = 1 significa che il secondo

diagramma non modifica il primo che risulta uguale a quello del decadimento del leptone μ

y Questa circostanza è analoga a quanto succede alle proprietà elettro- magnetiche del protone a basso momento trasferito

y L’interazione elettromagnetica del protone è descritta dal diagramma

y È identica a quella dell’elettrone (puntiforme) y Non è modificata da effetti del tipo indicato

dal diagramma

0e e

ππ ν

n p

p p

n p p

π π0

p n p

π+ μ νμ

(27)

Digressione: la corrente elettromagnetica

y Nel caso dello scattering elastico elettrone – protone il processo è descritto dall’interazione di due correnti tramite un fotone

y L’elemento di matrice della corrente leptonica si può calcolare esattamente perché si possono usare

i campi liberi

y Per l’elemento di matrice della corrente adronica bisogna utilizzare una parametrizzazione simile a quanto fatto per l’interazione debole

y Che l’interazione elettromagnetica a basso momento trasferito non sia sensibile alle interazioni forti è espresso dal fatto che

y La cancellazione degli effetti dovuti ai diagrammi di ordine superiore nella ridefinizione della carica elettrica (escluso la polarizzazione del vuoto) è una conseguenza della conservazione della corrente elettromagnetica

ki e e kf

pi pf

γ

p p

( ) 1

( )

2 2

( )

2 3

( )

2

2

f i

f em i p p iq x

i q

p J x p u F q F q F q q u e

m

μν ν

μ μ σ μ

γ

⎡ ⎤

= ⎢ + + ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

( ) ( ) ( )

em e e

Jμ x = ψ x γ ψμ x k Jf emμ (x k) i = ukf γμu eki iq x q = pfpi

1( )0 1

F =

( ) 0

Jemμ x

μ =

eJ Aemμ μ

′ = L

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