prof. Francesco Ragusa Università di Milano
Interazioni Elettrodeboli
anno accademico 2020-2021
Lezione n. 18
30.11.2020
Decadimento τ − → π − ν τ
Proprietà isotopiche della corrente adronica Fattori di forma
CVC e decadimento π − → π 0 e − ν e
Il decadimento del leptone τ: τ − → π − ν τ
y Mostriamo come il formalismo fin qui sviluppato può essere utilizzato anche per il calcolo della frazione di decadimento del leptone τ
y Osserviamo prima di tutto che per il calcolo della vita media o della larghezza totale occorrerebbe calcolare tutte le larghezze parziali
y Troppo lavoro ….
y Calcoliamo solo la larghezza del decadimento in π− ντ e confrontiamola con la larghezza totale
y La larghezza totale può essere derivata dalla vita media y Dal risultato sperimentale τ = 290.6u10−15 s ricaviamo
y Calcoliamo adesso la larghezza del decadimento π− ντ
y Il calcolo è identico a quello fatto per il decadimento del pione y Si utilizza l’Hamiltoniana
, , , 1
h τ h K a
τ− → − + ν = π ρ
l l τ
τ− → − + ν + ν τ− → (nπ)− + ντ ……
( )
22 15
6.582 10 MeV s 290.6 10 s τ all
τ
−
−
Γ → = = ×
× ( )
2.265 10 3 eV
τ all −
Γ → = ×
( )† 2
G μ Jμ
′ =
H I
eνν μνν πν Kν
Γ = Γ + Γ + Γ + …+ Γ
Il decadimento del leptone τ: τ − → π − ν τ
y La corrente leptonica Jμ adesso contiene anche un termine per il leptone τ y Lo stato iniziale e lo stato finale sono rispettivamente
y Notiamo in particolare che per quel che riguarda gli adroni si passa dallo stato vuoto allo stato con un pione
y La situazione opposta a quella del decadimento del pione y Scriviamo pertanto l’ampiezza di decadimento
y L’elemento di matrice della parte adronica è il complesso coniugato di quello che avevamo nel decadimento del pione
y Dato che era reale sono uguali
y Il 4-vettore qμ è il momento del pione
τ− π ν− τ
( ) ( )
| 0 | 0 | 0 | 2
Gβ π− μ ντ Jμ τ−
M = I
| μ ( )0 | 0 f qπ μ
π− I =
qμ = kτμ − kνμ
Il decadimento del leptone τ: τ − → π − ν τ
y L’elemento di matrice della parte leptonica è
y Per finire l’ampiezza è
y Sostituendo
y Con la solita tecnica troviamo
y Dalla cinematica otteniamo
( )
(
1 5)
( )2
Gβ f u k qπ ν ν μγμ γ u kτ τ
= −
M
( ) ( )
(
5)
( )|Jμ 0 | u k 1 u k
τ ν ν μ τ τ
ν τ− = γ − γ
( )
( )(
1 5)
( )2
Gβ f u kπ ν ν k/τ k/ν γ u kτ τ
= − −
M ( )
(
1 5)
( )2
Gβ f m u kπ τ ν ν γ u kτ τ
= +
( )( )( )( )
[ ]
2
2 2 2 1 5 1 5
2
Gβ f m Tr kπ τ /ν γ k/τ mτ γ
= + + −
M
( )( )( )
[ ]
2 2 2 1 5
G f m Tr kβ π τ /ν k/τ mτ γ
= + − = G f m Tr k kβ π2 2 τ2
[
/ /ν τ]
2 2
m m
kτ kν τ − π
⋅ = 1 m2 m2
d τ − π
∫
Φ = qμ = kτμ −kνμ2 2 2
4G f m kβ π τ ν kτ
= ⋅
Il decadimento del leptone τ: τ − → π − ν τ
y Mettendo insieme i vari pezzi otteniamo
y Notiamo il fattore ½ introdotto prima dell’elemento di matrice y Questa volta il leptone è nello stato iniziale
y Bisogna mediare statisticamente fra le due polarizzazioni possibili y Introduciamo i valori delle costanti e delle masse
y Otteniamo
media sulle polariz- zazioni iniziali
( )
2 2 2 2 3
2
1 1
16
G f m m
m
π τ π
β τ
τ πν
π
⎛ ⎞⎟
Γ → = ⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎟⎟⎠
2 2 2 2
2 2 2
2
1 1
4 4 2 4 2
m m m m
G f m
m m
τ π τ π
π τ
τ β π τ
− −
Γ =
1 2 2 2
1
2 d
mτ
Γ = τ = M
∫
Φ5 2
1.13578 0.00027 10 GeV
Gβ = ± × − −
130.7 0.1MeV
fπ = ± mτ = 1776.99 ± 0.29 MeV
139.57018 0.00035 MeV
mπ = ±
(τ πν) 2.43 10 eV−4
Γ → = ×
Il decadimento del leptone τ: τ − → π − ν τ
y Ricordando la larghezza totale ottenuta dalla vita media
y Otteniamo la frazione di decadimento
y Da confrontare con il valore sperimentale
(τ all) 2.265 10−3 eV
Γ → = ×
( )
( )
4 3
2.43 10
10.7%
2.265 10 all
τ πν τ
−
−
Γ → ×
= =
Γ → ×
( )
( ) 11.06 0.11%
all τ πν τ
Γ →
= ±
Γ →
Polarizzazione del leptone τ
y Calcoliamo adesso la larghezza di decadimento nel caso in cui il leptone τ sia polarizzato. L’ampiezza mediata
y Diventa
y Adesso mettiamoci nel sistema di riposo del leptone
( ) ( ) ( )
2 5
2 2 2 5 1 5
1 1
2 2
RL R
G s
f m Tr k k m
β
π τ ν τ τ
γ γ γ
⎡ ± / ⎤
⎢/ / ⎥
= ⎢ + + − ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
M
( )( )( )( )
[ ]
2
2 2 2 1 5 1 5
2
Gβ f m Tr kπ τ /ν γ k/τ mτ γ
= + + −
M
( )
( )( )
[ ]
2 1 2 2 2 5 5
1 1
R = 2G f m Tr k kβ π τ / /ν τ +mτ + γ s/R − γ
M = 21G f m Tr k kβ2 2π 2τ
[
/ν τ/ +m k sτ ν/ /R]
( )
2 2 2
2G f m kβ π τ τ kν +m sτ R kν
= ⋅ ⋅
(0, ) s =R ξ
2 2
2
m m
m
τ π
ν τ
= − k
( )
2 2 2 2 2
R = G f m m Eβ π τ τ ν −mτ ⋅ kν
M ξ
( )
2 2 2 2 3 1
RL = G f m Eβ π τ ν ± ξ⋅ kπ M
( )
2 2 2
2G f m m Eβ π τ τ ν −m Eτ ν ν
= ξ ⋅ k kπ = −kν
( )
2 2 3
2G f m Eβ π τ ν 1 + π
= ξ ⋅ k
Polarizzazione del leptone τ
y Si ottiene infine la distribuzione angolare dei pioni nel sistema di riposo del leptone τ
y Nel rapporto i termini costanti dello spazio delle fasi si elidono e pertanto possiamo semplicemente fare il rapporto fra i quadrati delle ampiezze
y Osserviamo infine che il segno di fronte al prodotto ξkν dipende dal segno della massa nell’espressione
y La massa compare con questo segno perchè nell’ampiezza era presente lo spinore u del τ− (particella)
y Se invece ci fosse stato un τ+ (antiparticella) allora ci sarebbe stato uno spinore v e quindi una massa con il segno opposto
RL RL
R L
dN d
= Γ
Ω Γ + Γ
2
2 2
cos
RL RL
R L
dN
d θ∗ =
+ M
M M ddNcosRLθ∗ = 12
(
1 ± ξ ⋅ kπ)
( )
*
1 1 cos cos 2
dNRL
d θ
θ
= ± ξ ∗
( )( )( )
[ ]
2 1 2 2 2 5 5
1 1
R = 2G f m Tr k kβ π τ / /ν τ + mτ + γ s/R − γ
M = 2G f m kβ2 2π 2τ
(
τ ⋅kν + m sτ R ⋅kν)
La misura della polarizzazione del τ
y A LEP coppie di leptoni τ sono prodotti nelle collisioni e+ e− all’energia del centro di massa pari a MZ
y I due leptoni hanno momento opposto (uguale in modulo) e energia E = MZ/2 y I leptoni sono prodotti con una polarizzazione ℘ che dipende dagli
accoppiamenti della Z0 ai leptoni (lo vedremo)
y Dalla misura della polarizzazione si possono misurare gli accoppiamenti
y Nel sistema di riposo del leptone τ, il π e il neutrino sono prodotti ad un angolo θ∗ rispetto alla direzione di volo del τ
y Nel piano contenente i due mesoni e la direzione di volo del τ
y
y Il momento e l’energia del pione sono
θ∗ βτ π
ντ
2 2 2 2
2 2
m m m m
m E m
τ π τ π
π π
τ τ
∗ − ∗ +
= =
k
La misura della polarizzazione del τ
y La massa del τ è mτ = 1776.99 MeV e per i nostri scopi è possibile approssimare a zero la massa del pione
y Nel laboratorio, l’energia di un pione emesso ad un angolo θ∗ nel c.m. è
y γ e β sono i fattori relativistici del leptone τ
y L’energia del pione è pertanto
y Al variare di cos θ∗ l’energia del pione nel sistema di laboratorio varia fra y Il valore massimo MZ/2 che si raggiunge per cos θ∗ = 1
y il valore minimo 0 che si raggiunge per cos θ∗ = 1
y Se non si trascura la massa del leptone l'intervallo è ridotto 2
Eπ∗ = k∗π = mτ
* * cos
Eπ = γEπ + γβ kπ θ∗
2 1 MZ
mτ
γ ≈ β ≈
( )
* 1 cos
Eπ = γEπ + θ∗ 1 cos
2 2
MZ + θ∗
=
La misura della polarizzazione del τ
y Abbiamo visto che nel sistema di riposo del τ l’angolo di emissione del pione ha una distribuzione
y Nel sistema di laboratorio avremo pertanto
y Dai calcoli cinematici precedenti
y Mettendo insieme i vari pezzi
y Si ottiene
( )
*
1 1 cos 2
dNRL
d θ = ± ξ ⋅ kπ
cos cos
dN dN dE
d θ∗ = dE d θ∗ 1
cos cos
dN dN
dE dE d
d
θ θ
∗
∗
=
1 cos
2 2
MZ
Eπ + θ∗
= cos 4
dE MZ
d
π
θ∗
→ = 4
cos 1
Z
E M θ∗ = π − e inoltre
La misura fatta a LEP 1 cos
dNL
dxL = −1 cosθ∗ 2 1( )
dN x
dx = − θ∗ = −
1 cos dNR
dxR = +1 cosθ∗ 2
dN x
dx = + θ∗ =
15.49 1.01%
℘ = − ±
4 1 cos 2
RL
Z
dN
dE M
θ∗
= ± 2
Z
x E
M
= π
Introduciamo la variabile cosθ∗ = 2x −1
Decadimenti deboli
y Abbiamo visto che l’interazione di Fermi (interazione corrente-corrente) può essere utilizzata con successo per descrivere i decadimenti deboli
y Assumendo l’universalità l’Hamiltoniana può essere scritta come
y La corrente Jα(x) è fatta da due pezzi: Jα(x) = lα(x) + hα(x)
y La corrente leptonica lα(x) contiene i campi delle tre famiglie di leptoni
y I leptoni sono soggetti solo all’interazione elettrodebole e la loro descrizione mediante campi liberi di Dirac è adeguata
y Notiamo che la presenza nell’Hamiltoniana sia della corrente J che della corrente J† permette di descrivere processi “coniugati”
y Ad esempio
( ) † ( ) ( )
2
x G α x α x
′ =
H J J
( )
( ) ( ) ( )
† 1 5 1 5 1 5
e e
l α x = ψ γα −γ ψν +ψ γμ α −γ ψνμ +ψ γτ α −γ ψντ
e e
μ− → νμ − ν e e
μ+ → νμ + ν
richiede i campi richiede i campi
ψμ
νμ
ψ ψe
νe
ψ lα ψμ
νμ
ψ lα ψe
νe
ψ l†α l†α
G ≡Gμ
La corrente adronica
y La corrente adronica hα(x) è più complicata
y Non può essere scritta in termini di campi liberi
y Deve descrivere fenomeni per un gran numero di decadimenti di adroni y Decadimenti di bosoni ad esempio decadimento dei mesoni π o K
y Decadimenti di fermioni, ad esempio del neutrone n o della Λ
y Nel seguito dedurremo alcune proprietà e parametrizzazioni della corrente adronica utilizzando le sue simmetrie dedotte dai dati sperimentali
y Innanzitutto ricordiamo che l’interazione debole viola la parità y La corrente è la somma di due termini: hα(x) = Vα(x) − Aα(x)
y Una componente vettoriale-polare Vα(x) y Una componente vettoriale-assiale Aα(x)
y Inoltre i decadimenti deboli adronici sono classificabili in due grandi famiglie y Decadimenti adronici senza violazione di stranezza per i quali ΔS = 0
y Ad esempio i decadimenti
y Decadimenti adronici con violazione di stranezza per i quali ΔS ≠ 0 y Ad esempio i decadimenti
n → p e ν− e π− → π0e− νe π− → μ ν− μ
n e νe
− −
Σ → K− → π0e− νe K− → μ ν− μ
0 p π−
Λ → Ξ → Λ− 0 π−
La corrente adronica
y La corrente adronica contiene pertanto y Un termine che conserva la stranezza
y Un termine che viola la conservazione della stranezza
y Studiamo dapprima le proprietà della corrente , la parte ΔS = 0
y I processi deboli studiati fino ad ora hanno tutti la proprietà che la carica elettrica dello stato adronico (o leptonico) cambia di una unità: ΔQ = ±1 y Questa proprietà fissa delle regole di commutazione fra le correnti e
l’operatore carica elettrica Q
y Infatti dati due stati |i> e |f>
y Verifichiamo che la regola di commutazione implica che ΔQ = ±1
y Pertanto, se l’elemento di matrice è diverso da zero y Analogamente per la corrente Jα abbiamo
y Pertanto le interazioni deboli (correnti cariche) hanno la regola di selezione
0 †
hΔ =αS ≡J α
0 †
hΔ ≠αS ≡ S α
Q i =q ii Q f = q ff
| , † | f Q J⎡ α⎤ i
= ⎢⎣ ⎥⎦
| † |
f J α i = f QJ| †α −J Q i†α | =
(
qf −qi)
f J| †α |i† †
,
Q J α J α
⎡ ⎤ = +
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎡⎢⎣Q J, α⎤ = −⎥⎦ Jα
f i 1 Q q q
Δ = − = +
f i 1 Q q q
Δ = − = −
Q 1
Δ =
J†α
Proprietà isotopiche della corrente adronica
y Sappiamo che l’isospin è una simmetria delle interazioni forti
y Ad esempio per nucleoni e pioni se si trascurano le differenze di massa y Anche se l’interazione debole viola la conservazione dell’isospin tuttavia lo
utilizziamo per descrivere gli stati adronici iniziali e finali
y Introduciamo pertanto il formalismo dell’isospin per i campi del protone e del neutrone
y Se utilizziamo il formalismo dell’isospin il protone e il neutrone sono un’unica particella di Isospin T = ½ con due stati caratterizzati da T3 = ±½
y Il campo Ψ del nucleone è un isospinore
y Il campo Ψ è una quantità a due componenti
y Ciascuna delle due componenti è a sua volta uno spinore di Dirac a 4 componenti
y La Lagrangiana del nucleone si riscrive tramite il campo Ψ
y Espandendo la notazione compatta
p n
ψ ψ
⎛ ⎞⎟
Ψ = ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠
(
γμ μ m)
= Ψ ∂ + Ψ
L
(
p n)
0 0 pn
m
m
μ μ
μ μ
γ ψ
ψ ψ
γ ψ
⎛ ∂ + ⎞⎛⎟ ⎞⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎜
= ⎜⎜⎜⎝ ∂ + ⎟⎟⎟⎜⎟⎝⎠⎜⎜ ⎟⎟⎟⎠ L
Proprietà isotopiche della corrente adronica
y La simmetria dell’isospin si introduce richiedendo l’invarianza (globale) della Lagrangiana rispetto al gruppo SU(2) nello spazio isospinoriale
y Una trasformazione di SU(2) è funzione di 4 parametri (α, Λ1, Λ2, Λ3) y Si può scrivere
y La trasformazione che si ottiene per Λ = 0 è l’invarianza per trasformazioni globali di fase già vista
y L’applicazione del teorema di Noether porta alla corrente conservata
y La carica conservata associata è
y La conservazione di questa carica esprime la conservazione del numero barionico
1 0 0 1 eiα α α⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ Ψ → Ψ = ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠
(
p n)
0 0 pn
J
μ
μ μ
μ
γ ψ
γ ψ ψ
γ ψ
⎛ ⎞
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
= Ψ Ψ = ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎜⎟⎟⎜⎠⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎟⎠
( )
† 3 ˆ†ˆ ˆ†ˆ 3
p p n n
B =
∫
Ψ Ψd r =∫
ψ ψ + ψ ψ d r B = Np + Nn −Np −Nn U = exp⎡⎢⎣iA⎤⎥⎦ A = αI + ⋅Λ τ2
τi matrici di Pauli A† = A
Proprietà isotopiche della corrente adronica
y L’invarianza rispetto ad una trasformazione con Λ ≠ 0 porta alla corrente (di Isospin) conservata
y La corrente definita è un oggetto complicato
y È un operatore vettoriale (nel senso di Lorentz) rispetto all’indice μ y È un operatore vettoriale (nello spazio dell’isospin) rispetto
all’indice i degli operatori di Pauli τi
y J
μ è conservata: per ogni componente i si definiscono le cariche isotopichey Gli operatori Ti appena definiti
y Sono operatori come gli operatori di campo Ψ
y Agiscono sugli stati dello spazio di Fock (in particolare sul vuoto) y Gli stati hanno adesso anche il grado di libertà isospin
y Ti possono essere espressi tramite operatori di creazione e distruzione y Si possono verificare le seguenti regole di commutazione
μ = Ψγμ Ψ
J τ2
( )
0 x d3
=
∫
T J r = Ψγ0 Ψd3
∫
τ2 r T =∫
Ψγ0τ2 Ψd3ri, j ijk k
T T iε T
⎡ ⎤ =
⎢ ⎥
⎣ ⎦ , , † †
2 2
⎡ Ψ = − Ψ⎤ ⎡ Ψ = Ψ⎤
⎣T ⎦ τ ⎣T ⎦ τ
1 2 3
τ τ τ
⎛ ⎞⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟⎟⎟⎟ τ
y Consideriamo adesso la corrente di isospin
y Dall’ultima relazione della diapositiva precedente si può ricavare
y In analogia a quanto si fa nella teoria del momento angolare (o dello spin isotopico) si possono definire gli operatori
y Utilizzando le regole di commutazione precedenti si ottiene
y Notiamo che le ultime relazioni trovate sono formalmente identiche a quelle della diapositiva
y La differenza è la sostituzione dell’operatore carica elettrica Q con l’operatore T3
y Questa circostanza suggerisce una relazione fra la corrente debole carica J† e la corrente di isospin J+
4621798
Proprietà isotopiche della corrente adronica
2
m m
Jμ μ τ
ψγ ψ
=
[T Jl, mμ ] = iεlmk kJμ
1 2
J+μ = Jμ + iJμ J−μ = J1μ −iJ2μ J−μ = J+†μ
[
T J3, +μ]
= +J+μ [T J3, −μ ] = −J−μProprietà isotopiche della corrente adronica
y Gli operatori dello spazio isotopico sono classificati secondo le loro proprietà di trasformazione sotto l’azione di un operatore U di SU(2)
y Operatori isoscalari: ad esempio il numero barionico y Infatti
y Operatori isospinoriali: ad esempio il campo Ψ
y Si può dimostrare che Ψ si trasforma come un isospinore
y Operatori isovettoriali: ad esempio la corrente
y La verifica che sia un isovettore è più complicata y Si può verificare† che per Λ infinitesimo
y †Bernstein, Elementary Particles and their currents,W.H. Freeman & Company (1968)
[ ]
exp
U = iΛ⋅ T
† 3
B =
∫
Ψ Ψd ri i
B′ = e Λ⋅TBe− ⋅Λ T =
∫
eiΛ⋅TΨ†e− ⋅iΛT eiΛ⋅TΨe− ⋅iΛ Td3r†e− ⋅i ei ⋅ d3
=
∫
Ψ Λ τ/2 Λ τ/2Ψ r =∫
Ψ Ψ† d3r = Bi i
e ⋅ e− ⋅ Ψ =′ Λ TΨ Λ T
μ μ τ
γ
= Ψ Ψ
J 2
p n
ψψ
⎛ ⎞⎟
Ψ = ⎜⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟
i i
e ⋅ μe− ⋅
Ψ =′ Λ TJ Λ T μ τ μ τ
γ γ
≈ Ψ Ψ + × Ψ Ψ
2 Λ 2
ei ⋅
= Λ τ/2Ψ Ψ =′ eiΛ τ/2⋅ Ψ
i i i
e Λ⋅TΨe− ⋅Λ T = e Λ τ/2⋅ Ψ
Proprietà isotopiche della corrente adronica
y Discutiamo adesso l’importante relazione
y Consideriamo l’operatore B
y Consideriamo adesso l’operatore T3
y In definitiva
2 3
Q B
e = +T
† 3
B =
∫
Ψ Ψd r(
p† n†)
1 00 1 np 3B =
∫
ψ ψ ⎛⎜⎜⎜⎝ ⎞⎛⎟⎟⎟⎠⎜⎜⎜⎝ψψ ⎞⎟⎟⎟⎠d r =∫ (
ψ ψp p† + ψ ψn n†)
d3r B =(
Np −Np + Nn −Nn)
0 d3
γ
= Ψ Ψ
∫
2T τ r
0 3
3 12
1 0 0 1
T =
∫
Ψγ ⎛⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎞⎟⎟⎠Ψd r = 12∫
Ψ†⎛⎜⎜⎜⎝1 00 − ⎟1⎞⎟⎟⎠Ψd3r = 12∫ (
ψp† ψn†)
⎛⎜⎜⎜⎝1 00 − ⎟1⎞⎟⎜⎟⎜⎠⎝⎛⎜ψψnp ⎞⎟⎟⎟⎠d3r(
† †)
312 ψ ψp p ψ ψn n d
=
∫
− r3 2 2
p p n n
N N N N
T − −
= −
Proprietà isotopiche della corrente adronica
y Per finire possiamo definire la carica elettrica del sistema (in unità di e) come il numero di protoni
y Abbiamo utilizzato le seguenti matrici 2×2
y Ovviamente si ha
y Utilizzando la relazione precedente si trova
0 1 0 3
Q 0 0
e =
∫
Ψγ ⎛⎜⎜⎜⎝ ⎞⎟⎟⎟⎠Ψd r12
1
3 2
0 T → ⎛⎜⎜⎜⎜⎝0 − ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ 1 0
B → ⎛⎜⎜⎜⎝0 1⎞⎟⎟⎟⎠ 1 0
Q → ⎛⎜⎜⎜⎝0 0⎞⎟⎟⎟⎠
12
12
1 0 0
1 0 1
0 0 2 0 1 0
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜ ⎜⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 3
Q B
e = +T
† 3
p p p
N =
∫
ψ ψ d r =∫ (
ψ ψp† n†)
⎛⎜⎜⎜⎝1 00 0⎞⎟⎜⎟⎜⎟⎠⎝⎛⎜ψψnp ⎞⎟⎟⎟⎠Ψd3rProprietà isotopiche della corrente adronica
y Ritorniamo adesso alle considerazioni fatte nella diapositiva y Avevamo visto le regole di commutazione
y Abbiamo appena visto che
y Dato che la corrente conserva il numero barionico, B commuta con la corrente e quindi possiamo sostituire Q a T3 nelle regole di commutazione
y Tutto ciò ci permette di dire che la corrente adronica carica J†α ha evidenti somiglianze con un operatore nello spazio di isospin con le proprietà di un operatore di innalzamento o di abbassamento
y La corrente che induce, ad esempio, transizioni n → p y La corrente che induce, ad esempio, transizioni p → n
y Assumiamo pertanto che gli stati iniziale e finale siano elementi di un spazio isotopico
[
T J3, +μ]
= +J+μ [T J3, −μ ] = −J−μ2 3
Q B
e = +T
[
Q J, +μ]
= +J+μ [Q J, −μ ] = −J−μ1 12 2,
p = n = 12,−12 J†α ≡ J+α
Jα ≡ J−α
4661802
Confrontare con diapositiva 466
La corrente adronica
y Studiamo ora il comportamento generale della corrente adronica in relazione alle sue proprietà di trasformazione per il gruppo di Lorentz
y Consideriamo un elemento di matrice della corrente fra uno stato iniziale e uno stato finale |i> ed |f>
y Ad esempio nel decadimento β del neutrone i = n f = p y Oppure nel decadimento β del pione i = π− f = π0 y Innanzitutto la teoria deve essere invariante per traslazioni
y L’invarianza per traslazioni (Pμ generatori delle traslazioni) implica che si possa scrivere
y Consideriamo adesso l’elemento di matrice
y Abbiamo già notato che ha una componente polare e una assiale
| ( )| f hα x i
| ( )| p hα x n
0 |hα ( )x |
π π−
( ) iP x ( )0 iP x
hα x =e+ ⋅ hα e− ⋅ f h| α ( )x |i =eiq x⋅ f h| α ( )0 |i qμ = pfμ −piμ
| ( )0 | f hα i
( ) ( ) ( )
| 0 | | 0 | | 0 |
f hα i = f Vα i − f Aα i
La corrente adronica: Fattori di Forma
y Nella trattazione del decadimento β abbiamo utilizzato il risultato (diap. )
y Questo risultato vale solo per particelle puntiformi (senza struttura) y Non è adeguato per calcoli precisi con adroni
y Nel caso degli adroni occorre ricorrere a parametrizzazioni che superino la nostra incapacità di calcolare esattamente gli elementi di matrice in
presenza dell’interazione forte
y Sulla base di considerazioni di invarianza relativistica si può scrivere la forma più generale che devono avere gli elementi di matrice
y Nel caso di fermioni (ad esempio neutrone → protone)
y Le quantità gX, fX, hX sono funzioni scalari dell’unica quantità cinematica scalare non banale: q2 = ( pf − pi )2
y Notiamo che per particelle senza struttura fX = hX = 0 e gX = 1
p n
p n p p iq x
p ψ Γμψ n = u Γμu e ⋅
n p
pi pf
( )
( )| † |
2 2
f V V V i
i q q
p V n u p g f h u p
m m
μν ν μ
μ μ
γ σ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( )
( )† 5 5 5
| |
2 2
f A A A i
i q q
p A n u p g f h u p
m m
μν ν μ
μ μ
γ γ σ γ γ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= + +
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2911348
La corrente adronica: Fattori di Forma
y I fattori di forma possono essere estratti da misure di decadimenti deboli in funzione del momento trasferito
y In particolare abbiamo già visto alcuni risultati per il decadimento β del n y Data la piccola differenza di massa fra neutrone e protone il momento
trasferito è limitato a valori molto piccoli: q2 ≈ 0
y Nel limite di bassi momenti trasferiti sopravvivono solo i Fattori di Forma gX
y Confrontando con risultati ottenuti da transizioni di Fermi 0+ → 0+ y Utilizzando per G il valore ottenuto Gμ dalla vita media del muone
y Supponendo G = Gμ otteniamo
y Dagli studi di transizioni di Gamov−Teller si ottiene
( )
( ) ( )| † | f V 0 i
p Vμ n ≈ u p g γμu p p A| μ† | n u p
( )
f gA( )0 γ γμ 5u p( i )( ) ( )
0 1.2695 0.0029 0
A V
g
g = ±
5 2
1.166 37 0.000 01 10 GeV
Gμ = ± × − −
( )0
Gβ = GgV Gβ = 1.135 78 ± 0.000 27 10 GeV× −5 −2
( )0 0.973 77 0.000 23
gV = ±
La corrente adronica vettoriale
y La cosa più interessante del risultato precedente è che gV(0) è praticamente 1 y Significa che a basso momento trasferito la parte vettoriale della corrente
adronica si comporta come la corrente vettoriale del muone y L’interazione forte non modifica il decadimento debole y Questa affermazione merita dei commenti
y Per il decadimento del neutrone abbiamo calcolato y Poichè esiste il decadimento
y Dovremmo considerare anche contributi tipo y Il fatto che fV(0) = 1 significa che il secondo
diagramma non modifica il primo che risulta uguale a quello del decadimento del leptone μ
y Questa circostanza è analoga a quanto succede alle proprietà elettro- magnetiche del protone a basso momento trasferito
y L’interazione elettromagnetica del protone è descritta dal diagramma
y È identica a quella dell’elettrone (puntiforme) y Non è modificata da effetti del tipo indicato
dal diagramma
0e e
π− → π − ν
n p
p p
n p p
π− π0
p n p
π+ μ− νμ
Digressione: la corrente elettromagnetica
y Nel caso dello scattering elastico elettrone – protone il processo è descritto dall’interazione di due correnti tramite un fotone
y L’elemento di matrice della corrente leptonica si può calcolare esattamente perché si possono usare
i campi liberi
y Per l’elemento di matrice della corrente adronica bisogna utilizzare una parametrizzazione simile a quanto fatto per l’interazione debole
y Che l’interazione elettromagnetica a basso momento trasferito non sia sensibile alle interazioni forti è espresso dal fatto che
y La cancellazione degli effetti dovuti ai diagrammi di ordine superiore nella ridefinizione della carica elettrica (escluso la polarizzazione del vuoto) è una conseguenza della conservazione della corrente elettromagnetica
ki e− e− kf
pi pf
γ
p p
( ) 1
( )
2 2( )
2 3( )
22
f i
f em i p p iq x
i q
p J x p u F q F q F q q u e
m
μν ν
μ μ σ μ
γ ⋅
⎡ ⎤
= ⎢ + + ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
( ) ( ) ( )
em e e
Jμ x = ψ x γ ψμ x k Jf emμ (x k) i = ukf γμu eki iq x⋅ q = pf − pi
1( )0 1
F =
( ) 0
Jemμ x
∂μ =
eJ Aemμ μ
′ = L