A) Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

A) Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

1.

Z 1

2x ² + 4x + 3 dx 2.

Z 1

31 + 36x ² − 60x dx 3.

Z

x ³ log(2x ² ) dx 4.

Z

x ² 7 ^x dx 5.

Z

(x ³ + x)e ^−2x dx 6.

Z

x ³ sinh x dx 7.

Z log x

√

x dx 8.

Z

(x ²⁰¹³ + 4x ⁷ + x + √

x + 1) log(3x) dx 9.

Z

log ² x dx 10.

Z

x sin ² x dx 11.

Z

x ² sin(5x) dx 12.

Z

x ³ cos x dx 13.

Z log( √

x + 1 − √

x − 1) dx 14.

Z x ⁵

√ x ³ − 1 dx 15.

Z 1

√ e ^x − 1 dx

16.

Z tan ³ x + tan x tan x + 4 dx 17.

Z

e ^4x sin(x/3) dx 18.

Z

e ^2x cos(3x) dx 19.

Z

(sin x)(sinh x) dx 20.

Z

arccos x dx 21.

Z

arccos ² x dx (sugg.: per parti + guardare esercizio 1 dell’appello 13/1/2012)

1

22.

Z

(x ²⁰¹³ + 3x + 1) log ² x dx 23.

Z x ²

(cos(x ³ )) ² cos ² (tan(x ³ )) dx 24.

Z

xe ^2x

sin(x ² ) dx

25.

Z e

(x + 2) ³ dx 26.

Z

x ⁵ e ^−x

dx (sugg.: x ⁵ = x ² x ³ ) 27.

Z p

5 − 9x ² − 12x dx 28.

Z p

5 + 25x ² + 10x dx 29.

Z p

40 + 14x + x ² dx 30.

Z p

x ² + 2x + 5 dx 31.

Z p

5x ² − 30x + 29 dx 32.

Z 1

√

5 − 9x ² − 12x dx 33.

Z 1

√ 5 + 25x ² + 10x dx 34.

Z 1

√ 40 + 14x + x ² dx 35.

Z 1

√ x ² + 3 − √

x ² − 3 dx 36.

Z 1

√

5x ² + 30x + 61 + √

5x ² + 30x + 29 dx

B) Calcolare i seguenti integrali definiti:

1.

Z e 1

1

x(2 + log ² x) dx 2.

Z 1 0

arctan( √ x) dx

3.

Z 2 1

e ^1/x

x ³ dx 4.

Z π/4 0

1 1 − sin x dx 5.

Z log 2 0

e ^3x sin(4e ^x ) dx

2

6.

Z π 0

x ² sin(3x) dx

7.

Z 1 0

e ^x cosh ² (e ^x ) dx

(sugg.: posto tanh t := _{cosh t} ^{sinh t} , verificare che tanh ⁰ = _cosh ¹

) 8.

Z 1 0

√ 1

12 − 4x ² dx 9.

Z 1 0

 arctan x

√

1 + x ²

 4

dx

10.

Z π/2 0

e ^x     

sin x −

√ 3 2

dx

11.

Z 1/ √ 2

−1/ √ 2

s    

arcsin x 1 − x ²

dx

C) Dimostrare che, se ∆ = p ² − 4q < 0, allora Z ax + b

x ² + px + q dx = a

2 log(x ² +px+q)+ 2 p 4q − p ²

 b − ap

2



arctan 2x + p p 4q − p ²

! +c .

D) Si consideri la funzione h : R → R definita da h(x) :=

Z x

−9x 0

arctan(t ² ) e ^t dt .

Calcolare h ⁰ (3). Studiare la monotonia di h e trovare tutti i punti di massimo e minimo relativo (sugg.: arctan y ≥ 0 ⇔ y ≥ 0). Scrivere il polinomio di Taylor di grado 2 di h(x) centrato in x = 3, cio´ e il polinomio

h(3) + h ⁰ (3)(x − 3) + h ⁰⁰ (3)

2 (x − 3) ² .

Determinare l’intervallo massimale I contenente il punto x = 3 nel quale h risulta invertibile; detta h ⁻¹ l’inversa di h _|I , si calcoli (h ⁻¹ ) ⁰ (0).

E) Si consideri la funzione h : R → R definita da h(x) :=

Z −x 1

e ^t (t ² − 4) t ² + 1 dt .

Calcolare h ⁰ (−1). Studiare la monotonia di h e trovare tutti i punti di massimo e minimo relativo. Scrivere il polinomio di Taylor di grado 2 di h(x) centrato in x = −1. Determinare l’intervallo massimale I contenente il punto x = −1 nel quale h risulta invertibile; detta h ⁻¹ l’inversa di h _|I , si calcoli (h ⁻¹ ) ⁰ (0).

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