ESERCIZI DI ANALISI UNO

4 marzo 2009

0.1 Esercizi sulle successioni di numeri reali

Definizione 1 Una successione di numeri reali a _n si dice convergente al limite `, e si scrive lim <sub>n</sub> a <sub>n</sub> = ` se per ogni numero reale ε > 0 esiste un intero positivo N tale che, per ogni n > N si verifica la disuguaglianza |a _n − `| < ε.

Una successione a _n si dice convergente se esiste un numero reale ` tale che lim <sub>n</sub> a <sub>n</sub> = `.

Definizione 2 Sia a n una successione di numeri reali. Un numero reale x si dice punto di accumulazione di a _n , se per ogni ε > 0, la disuguaglianza

|a _n − x| < ε si verifica per infiniti indici della successione.

L’esercizio che segue ha lo scopo di chiarire un piccolo equivoco terminologico, dovuto al fatto che il termine ”punto di accumulazione” si usa anche, per gli insiemi. Questo stesso esercizio serve anche a chiarire che quando si parla di successioni non si ha solo a mente l’insieme {a _n : n ∈ N}, ma anche e soprattutto la corrispondenza n 7→ a n il cui dominio di definizione `e l’insieme dei numeri naturali, ma la cui immagine potrebbe essere qualsiasi sottoinsieme non vuoto dei numeri reali.

Esercizio 1 Osservare che un punto di accumulazione della successione a _n potrebbe non essere un punto di accumulazione dell’insieme {a _n : n ∈ N}, secondo la Definizione 3.5 a pag. 93 del libro di testo. Infatti quest’ulti- mo insieme, ad esempio, potrebbe essere finito e non avere punti di accu- mulazione. Un esempio concreto `e la successione a n = (−1) ⁿ che ha due punti di accumulazione. Il corrispondente insieme {a _n : n ∈ N} = {−1, 1}

consiste esattamente dei due punti di accumulazione della successione ed es- sendo finito non ha punti di accumulazione. Osservare anche che tutti i punti di accumulazione (secondo la Definizione 3.5 del libro di testo) dell’insieme {a _n : n ∈ N} sono anche punti di accumulazione della successione a _n

Esercizio 2 Dimostrare o confutare:

1. Se lim _n a _n = `, allora ` `e un punto di accumulazione di a <sub>n</sub> 2. Se ` `e un punto di accumulazione di a <sub>n</sub> allora lim <sub>n</sub> a <sub>n</sub> = `.

3. Se una successione di numeri reali `e convergente, il suo limite `e unico.

4. Una successione di numeri reali non pu`o avere pi`u di un punto di accumulazione

Esercizio 3 Dare un esempio di:

1. Una successione di numeri reali convergente 2. Una successione di numeri reali non convergente

3. Una successione di numeri reali che non ha nessuna sottosuccessione convergente

4. Una successione di numeri reali limitata superiormente, ma non infe- riormente

5. Una successione di numeri reali limitata inferiormente ma non superi- ormente

6. Una successione di numeri reali limitata superiormente ed inferior- mente

7. Una successione che non converge a zero, ma per la quale zero `e un punto di accumulazione.

8. Una successione di numeri reali che non ha alcun punto di accumu- lazione

9. Una successione di numeri reali con esattamente due punti di accumu- lazione distinti

10. Una successione di numeri reali con esattamente tre punti di accumu- lazione distinti.

11. Una successione di numeri reali con infiniti punti di accumulazione distinti

12. Una successione di numeri reali i cui punti di accumulazione formano un insieme denso

13. Una successione di numeri reali i cui punti di accumulazione costituis- cono l’intero intervallo chiuso [0, 1].

14. Una successione di numeri reali monotona non decrescente e limitata superiormente

15. Una successione di numeri reali non decrescente e non limitata superi- ormente.

Esercizio 4 Dimostrare o confutare i seguenti enunciati.

1. Se una sucessione di numeri reali converge tutte le sue sottosuccessioni convergono allo stesso limite

2. Se una successione di numeri reali non converge allora tutte le sue sottosuccessioni non convergono

3. Se una successione di numeri reali ha un solo punto di accumulazione, allora converge

4. Se una successione di numeri reali ha pi`u di un punto di accumulazione, allora non `e convergente.

5. Se una successione di numeri reali non ha alcun punto di accumu- lazione, allora `e convergente.

6. Se ` `e un punto di accumulazione della successione a _n allora esiste una sottosuccessione di a _n che converge ad `.

7. Ogni sottosuccessione convergente di a _n converge ad un punto di accu- mulazione di a _n .

8. Se una successione di numeri reali non ha alcun punto di accumulazione allora non `e convergente.

9. Se una successione di numeri reali `e di Cauchy, allora `e limitata 10. Esiste una successione di Cauchy con esattamente due punti di accu-

mulazione distinti.

11. Se una successione di numeri reali `e limitata, allora `e di Cauchy 12. Il prodotto di una successione limitata ed una successione che converge

a zero, converge a zero.

13. Il prodotto di una successione limitata ed una successione convergente

`e convergente.

14. Ogni successione limitata ammette almeno un punto di accumulazione (cfr. Teorema 6.1 del libro di testo, pag. 177)

Definizione 3 Un sottoinsieme E ⊂ N dei numeri naturali si dice cofinito se `e il complemento di un insieme finito (o vuoto).

Esercizio 5 Dimostrare o confutare le seguenti affermazioni concernenti sot-

toinsiemi dei numeri naturali:

1. Ogni insieme cofinito `e infinito 2. Ogni insieme infinito `e cofinito

3. L’unione di due insiemi cofiniti `e un insieme cofinito 4. L’intersezione di due insiemi cofiniti `e un insieme cofinito 5. L’unione di due insiemi infiniti `e un insieme infinito 6. L’intersezione di due insiemi infiniti `e un insieme infinito

Esercizio 6 Dimostrare che lim _n a _n = ` se e solo se per ogni ε > 0 esiste un sottoinsieme cofinito E ⊂ N tale che la disuguaglianza |a n − `| < ² si verifica per tutti gli elementi n ∈ E.

Esercizio 7 Osservare che ` `e un punto di accumulazione di a n se e so- lo se per ogni ε > 0 esiste un sottoinsieme infinito E ⊂ N tale che la disuguaglianza |a _n − `| < ε si verifica per tutti gli elementi n ∈ E.

I precedenti due esercizi mostrano che la distinzione tra punti di accumu- lazione e limiti di una successione pu`o essere basata sulla distinzione tra sottoinsiemi infiniti e sottoinsiemi cofiniti dei numeri naturali.

Definizione 4 Se a _n `e una successione limitata superiormente, l’estremo superiore della successione, indicato con sup <sub>n</sub> a n `e il pi`u piccolo numero reale che `e un maggiorante di tutti i termini della successione. Se a _n `e limitata in- feriormente, l’estremo inferiore della successione, indicato con inf <sub>n</sub> a <sub>n</sub> `e il pi`u grande numero reale che `e un minorante di tutti i termini della successsione.

Osservare che l’esistenza di sup _n a _n per le successioni limitate superior- mente e di inf n a n per le successioni limitate inferiormente `e assicurata dal Teorema 2.2 pag. 59 del libro di testo. Osservare che in questo caso l’estremo superiore della successione a <sub>n</sub> `e esattamente l’estremo superiore dell’insieme {a n : n ∈ N}, e analogamente l’estremo inferiore della successione `e l’estremo inferiore dello stesso insieme.

Esercizio 8 Dimostrare che sup _n a n = − inf n (−a n ).

Esercizio 9 Dimostrare che se a _n `e una successione non decrescente e lim-

itata superiormente allora lim n a n = sup _n a n , e che se a n `e una successione

non crescente e limitata inferiormente allora lim _n a _n = inf _n a _n . Concludere

che le successioni monotone e limitate sono sempre convergenti.

Esercizio 10 . Sia a n una successione limitata superiormente e sia b n = sup{a _k : k ≥ n}. Dimostrare che b _n `e una successione non crescente e limitata inferiormente.

Definizione 5 Sia a _n una successione limitata superiormente e sia b _n la successione definita in relazione ad a _n nell’esercizio precedente. Il massimo limite della successione a n `e definito come lim sup _n a n = lim n b n .

Esercizio 11 Sia a n una successione limitata inferiormente e sia c n = inf{a k : k ≥ n}. Dimostrare che c _n `e una successione non decrescente e limitata su- periormente. Utilizzare c _n per definire il minimo limite della successione a _n che si indica con lim inf n a n .

Esercizio 12 Sia a _n = 1/n. In relazione ad a _n determinare le succes- sioni b _n e c _n definite nella definizione e nell’esercizio che precede e calcolare lim sup _n a _n e lim inf _n a _n .

Esercizio 13 Dimostrare che se a _n `e una successione limitata superior- mente, allora lim sup <sub>n</sub> a <sub>n</sub> `e il pi`u grande dei suoi punti di accumulazione, e che se a n `e limitata inferiormente, allora lim inf n a n `e il pi`u piccolo dei suoi punti di accumulazione.

Esercizio 14 Dimostrare che una successione limitata (superiormente ed in- feriormente) `e convergente se e solo se lim sup _n a _n = lim inf _n a _n , ed il limite

`e il comune valore.

Esercizio 15 Trovare il massimo e minimo limite delle seguenti successioni:

a n = (−1) ⁿ , a n = (−1) ⁿ (1− _n ¹ ), a n = (−1) ^{n n} _n+1 , a n = ⁿ⁺¹ _n

, a n = ⁿ⁺¹ _n+3 . Esercizio 16 Sia r n una numerazione dei numeri razionali contenuti nel- l’intervallo [0, 1]. Calcolare il massimo e minimo limite della successione r _n .

Esercizio 17 . Dimostrare che se a _n `e una successione limitata superior- mente, ed E = {λ ∈ R : λ > a _n , per un insieme cofinito di indici n}, allora lim sup _n a n = inf E. Formulare e dimostrare un enunciato analogo per lim inf _n a _n .

Esercizio 18 Dimostrare che un sottoinsieme U ⊂ R `e aperto se e solo per ogni successione a _n che converge ad un elemento di U, esiste un intero positivo N tale che a n ∈ U, per ogni n ≥ N.

Esercizio 19 Dimostrare che un sottoinsieme F ⊂ R `e chiuso se per ogni

successione convergente e tale che a _n ∈ F , risulta lim _n a _n ∈ F .