• Non ci sono risultati.

Equazioni, disequazioni, sistemi

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Condividi "Equazioni, disequazioni, sistemi"

Copied!
26
0
0

Testo completo

(1)

LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

1

Prof. Francesco Marchi

2

Appunti ed esercizi su:

equazioni, disequazioni, sistemi

18 ottobre 2011

1Questi appunti sono ancora in una fase di bozza, perci`o pu`o capitare che: un paragrafo sia lasciato a met`a, non sia

affatto trattato o sia presente solo il titolo; siano presenti errori tipografici o di calcolo; i numeri dei riferimenti alle figure o agli esercizi non siano corretti. In ogni caso, credo che possano essere di una qualche utilit`a: in attesa di una prossima revisione, cerca di prendere il pi`u che puoi da questi materiali!

2 Per altri materiali didattici o per informazioni:

Blog personale: http://francescomarchi.wordpress.com/

(2)

Indice

I

Equazioni

3

1 Introduzione, definizioni preliminari e prime generalizzazioni 5

1.1 Alcuni problemi, per cominciare. . . 5

1.1.1 Problema I . . . 5

1.2 Prime definizioni . . . 5

1.2.1 Le equazioni di II grado . . . e poi? . . . 5

1.2.2 Definizioni preliminari . . . 6

1.3 Le equazioni: problemi e metodi . . . 6

1.4 Il concetto di funzione . . . 7

1.4.1 Operazioni, funzioni, equazioni . . . 7

1.4.2 Definizione di funzione e rappresentazione cartesiana delle funzioni . . . 8

1.4.3 Funzioni elementari e loro classificazione . . . 8

2 Equazioni algebriche: alcuni approfondimenti 9 2.1 Equazioni di grado superiore al secondo . . . 9

2.2 Equazioni irrazionali . . . 9

2.3 Equazioni contenenti valori assoluti. . . 9

3 Esercizi 11 3.1 Introduzione ed equazioni algebriche: esercizi teorici . . . 11

3.1.1 Questioni di carattere teorico . . . 11

3.1.2 Verifica di soluzioni . . . 11

3.1.3 Determinazione di soluzioni e di non-soluzioni. . . 11

II

Disequazioni

13

4 Intermezzo: alcune tecniche di soluzione 15 4.1 La discussione grafica . . . 15 4.1.1 Le disequazioni di II grado . . . 15 4.1.2 Il caso generale . . . 19 4.2 Le disequazioni fattorizzabili . . . 19 4.3 Il cambiamento di variabile . . . 19 5 Esercizi 21 5.1 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi teorici . . . 21

5.1.1 Questioni di carattere teorico . . . 21

5.1.2 Intuire soluzioni . . . 21

5.1.3 Determinazione di una soluzione . . . 21

5.2 Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi calcolativi . . . 21

5.2.1 Risoluzione di disequazioni . . . 21

5.3 Intermezzo: tecniche di soluzione . . . 22 1

(3)

2 INDICE

(4)

Parte I

Equazioni

(5)
(6)

Capitolo 1

Introduzione, definizioni preliminari

e prime generalizzazioni

1.1

Alcuni problemi, per cominciare

Porre problemi concreti che portino all’impostazione di un’equazione

1.1.1

Problema I

1.2

Prime definizioni

1.2.1

Le equazioni di II grado . . . e poi?

Risolvere le seguenti equazioni:

x + 3 = 11 (1.1) x2− 3x − 5 = 0 (1.2) Beh, vi sar`a sembrato molto facile. Risolvete adesso le seguenti:

2x= 16 (1.3) x7= 1 (1.4) Se ancora vi sembra facile, risolvete le seguenti:

4x3+ 5x − 7 = 0 (1.5) 2x+5= 17 (1.6) A questo punto, avrete qualche difficolt`a. Ma, innanzitutto, avete ben chiaro cosa significa risolvere un’equazione? Se siete riusciti a risolvere le equazioni1.3, forse un’idea ce l’avete. Provate a spiegarla a parole.

Domanda 1. Cosa significa risolvere un’equazione? 5

(7)

6 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE, DEFINIZIONI PRELIMINARI E PRIME GENERALIZZAZIONI

1.2.2

Definizioni preliminari

Definizione 1. Si dice equazione un’espressione matematica in cui compare il segno di uguaglianza ed almeno un’incognita.

Definizione 2. Risolvere un’equazione significa trovare tutte le sue eventuali soluzioni.

Si dice eventuali soluzioni, perch´e non `e detto che un’equazione ne abbia, come ad esempio la seguente: x2= −5

Un’equazione che non ha soluzioni si dice impossibile. Un’equazione pu`o avere anche infinite soluzioni, come la seguente:

3x + 2 = 4 + 3x − 2

In tal caso l’equazione si dice indeterminata. Questi sono due casi un po’ estremi, che riassumiamo nelle seguenti:

Definizione 3. Un’equazione si dice impossibile se non ha soluzioni; indeterminata se ha infinite soluzioni; determinata negli altri casi (ovvero quando ha un numero finito di soluzioni).

Definizione 4. Si dice soluzione di un’equazione un valore che, sostituito ad ogni occorrenza dell’in-cognita, rende l’equazione un’identit`a.

Definizione 5. Si dice identit`a un’espressione matematica vera per ogni valore delle eventuali incognite in essa presenti.

Ad esempio, sono identit`a le seguenti:

4 = 4; 1 < 190; x = x; (x + t)2= x2+ t2+ 2tx

Allora, avremo che x = 1 `e soluzione dell’equazione1.4, visto che, sostituendo tale valore nell’equazione, otterremo la seguente identit`a:

17= 1 ⇒ 1 = 1

In questo caso, ci siamo limitati a verificare che un valore dato fosse soluzione. Ma come facciamo noi a determinare tale valore?

1.3

Le equazioni: problemi e metodi

Quello che generalmente vogliamo `e una formula o un metodo che permetta di trovare il valore o i valori che risolvono un’equazione. Pi`u in generale, vorremmo trovare un metodo che consenta di risolvere tutte le equazioni di un certo tipo. Ad esempio, abbiamo risolto l’equazione

2x= 16

perch´e sostanzialmente la soluzione non era difficile da intuire; ma se volessimo risolvere la seguente? 2x= 17 (1.7) Apparentemente non ha niente di pi`u complicato della precedente, eppure non sembra altrettanto facile da risolvere.

(8)

1.4. IL CONCETTO DI FUNZIONE 7 Alla ricerca di soluzioni approssimate

Domanda 2. Innanzitutto, secondo voi, ha soluzione?

Beh, sicuramente s`ı; inoltre, potrete dire che la soluzione sta fra 4 e 5. Ok, non abbiamo detto il valore preciso della soluzione; ma non `e andata cos`ı male: pressappoco, l’abbiamo localizzata. Anzi, possiamo fare di meglio:

Esercizio 1. Trovare un valore esatto, alla prima cifra decimale, dell’equazione precedente.

Con questa tecnica, `e chiaro, possiamo avvicinarci quanto vogliamo alla soluzione, ma non avremo mai il valore esatto. Possiamo perci`o dire che la soluzione della precedente equazione `e un numero:

α ∈ (4, 5); α = 4, ...

E’ possibile/utile avere il valore esatto? Risponderemo nelle prossime sezioni. Operazioni elementari, numeri razionali e non & co

Consideriamo ora l’equazione

x2= 7

Cosa significa che la sua soluzione `e √7? Beh, secondo la definizione 4, significa che tale numero, sostituito nell’equazione la rende un’identit`a. E perch´e tale numero la rende un’identit`a? Perch´e la radice `e l’operazione inversa del quadrato e quindi si annullano. Vedremo meglio questo pi`u avanti.

1.4

Il concetto di funzione

1.4.1

Operazioni, funzioni, equazioni

La tecnica anticipata nella sezione precedente si basa sul concatto di operazione inversa.

Teorema 1. Per risolvere un’equazione, di qualsiasi tipo, si applicano ad entrambi i membri una succes-sione di operazioni in grado di liberare la x

Alla luce di questo procedimento, possiamo vedere la risoluzione di equazioni note:

x + 4 = 5 ⇒ x + 4 − 4 = 5 − 4 ⇒ x = 1 (1.8) O ancora: 7x = 10 ⇒ 7x 7 = 10 7 ⇒ x = 10 7 (1.9)

In generale, si individua quali operazioni vengono svolte sulla x e si applicano le loro inverse. In base allo stesso ragionamento, sapremo risolvere la seguente:

x2= 13 (1.10)

Alcuni limiti

La tecnica enunciata nel teorema 1, non `e per`o sempre applicabile. Si consideri infatti la seguente equazione:

(9)

8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE, DEFINIZIONI PRELIMINARI E PRIME GENERALIZZAZIONI

Tabella 1.1: Tabella relativa all’esercizio 1

Operazione Operazione inversa somma sottrazione moltiplicazione divisione

quadrato radicequadrata

Tabella 1.2: Classificazione delle funzioni elementari.

Algebriche Razionali Intere f (x) = 4x73 8x 3 Fratte g(x) =2x3+5x9−5x12 Irrazionali Intere r(x) =√4 3x7− 2x6+ 4x5 Fratte w(x) = √ 4x+2 2x+7x2

Trascendenti Circolari Seno a(x) = sin x Coseno k(x) = cos x Tangente l(x) = tan x Esponenziale d(x) = ax

1.4.2

Definizione di funzione e rappresentazione cartesiana delle funzioni

Pi`u che di operazione, dovremo cominciare a parlare, d’ora un poi, di funzione. Domanda 3. Cos’`e, infatti, un’operazione?

Anche se la risposta non `e semplice, direte qualcosa come l’operazione riguarda due numeri. Infatti, il concetto di operazione, `e pi`u adatto al caso in cui si parla di numeri. Nel momento in cui si parla di quantit`a algebriche e variabili, come la x, `e pi`u opportuno parlare di funzione. Una funzione `e sostan-zialmente un’operazione fatta sulla x. Ad esempio sono funzioni l’elevamento al quadrato; l’elevamento alla terza potenza; l’aggiungere 6; il moltiplicare per 12; e cos`ı via.

Fin qui si tratta di funzioni algebriche, cio`e, in un certo senso tutte basate sulle operazioni elementari. Ma d’ora in poi vorremo iniziare a parlare di funzioni pi`u generali, definite attraverso operazioni pi`u complicate.

1.4.3

Funzioni elementari e loro classificazione

A questo punto rimandiamo al file sulle funzioni.

Tabella 1.3: Principali funzioni elementari e relative funzioni inverse.

Funzione Funzione inversa In formule Potenza Radice xn ←→ √nx

(10)

Capitolo 2

Equazioni algebriche: alcuni

approfondimenti

2.1

Equazioni di grado superiore al secondo

2.2

Equazioni irrazionali

2.3

Equazioni contenenti valori assoluti

(11)
(12)

Capitolo 3

Esercizi

3.1

Introduzione ed equazioni algebriche: esercizi teorici

3.1.1

Questioni di carattere teorico

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: • Un’equazione di quarto grado `e impossibile.

• Un’equazione di secondo grado ha al massimo due soluzioni. • Un’equazione ha sempre almeno una soluzione.

3.1.2

Verifica di soluzioni

Dire se quelle proposte sono effettivamente soluzioni delle seguenti equazioni: 1. Equazione: x2+ 3 = 0. Soluzioni proposte: x = 4; x =√−3; x = −√3. 2. Equazione: y4− y3= 8. Soluzioni proposte: y = 0; y = −1; y = 2.

3.1.3

Determinazione di soluzioni e di non-soluzioni

Esercizio 1

Completa la tabella3.1, seguendo l’esempio che ti viene fornito nella prima riga, gi`a compilata.

Per ciascuna equazione indica il numero delle incognite, il grado per ciascuna incognita e fornisci l’esempio di una soluzione (o riempi il campo con una sbarra, nel caso non esistano soluzioni) e di una non soluzione. Esercizio 2

Risolvi le seguenti equazioni rispetto a ciascuna delle variabili che in essa compaiono, come indicato nell’esempio qua sotto:

Equazione: 42+ α = 4ψ + x Soluzioni: 4 = ±√4ψ + x − α; α = 4ψ + x − 42; ψ = ...; x = ... 1. 97 + 6f = 2− ?2 2. δ − 3 + 5y =√5 +√2y + 6 − 3δ 3. 4ηtu + 2y = 3y − 5 11

(13)

12 CAPITOLO 3. ESERCIZI

Tabella 3.1: Tabella relativa all’esercizio 1

Equazione Grado Soluzione Non-soluzione x3+ 5y = 7y + 2 (x, y) = (3, 1) (√32, 1) (1, 1) 42+ 44 = −34 + 5 a + b2= c + 1 4ψ − 5y + 4 + 3ψ = 3y − 6 + 2x + y2− 5ψ 7 9u + 2 5u 2− x3+ 2 = 0 xy + t − 1 = 4 +6 5t 4. s = 12at2+ v0t + s0 5. F = ilb 6. F = kq1q2 d2

(14)

Parte II

Disequazioni

(15)
(16)

Capitolo 4

Intermezzo: alcune tecniche di

soluzione

4.1

La discussione grafica

4.1.1

Le disequazioni di II grado

Le disequazioni di II grado sono spesso un argomento “mal digerito” e sono frequentemente oggetto di errori, che hanno origini profonde. Vediamo nel prossimo paragrafo alcuni errori tipici e come superarli. Il problema: un errore frequente

Uno degli errori pi`u frequenti (e pi`u gravi) nella risoluzione di disequazioni di II grado `e il seguente: x2> 3 =⇒ x > ±√3 (4.1) La scrittura appena proposta `e una vera e propria “mostruosit`a” matematica e dimostra che non si capisce ci`o che si sta scrivendo: cosa significherebbe infatti x > ±√3? Potremmo esser tentati di dare due interpretazioni:

1. La scrittura sta a significare x > +√3 ∧ x > −√3.

In tal caso, ci`o significa semplicemente x > +√3; ma allora, nel nostro risultato non contemple-remmo valori come x = −10, che pure `e soluzione della disequazione data.

2. La scrittura sta a significare x > +√3 ∨ x > −√3.

In tal caso, ci`o significa x > −√3. In questo caso, staremmo facendo due errori: da un lato escludiamo soluzioni, come x = −10; dall’altro includiamo soluzioni che in realt`a tali non sono (ad esempio x = 0).

Diagnosi n.1: una mancata analogia

La causa di simili errori nella soluzione di disequazioni di II grado sta forse nella non completa analogia tra i metodi risolutivi delle equazioni e disequazioni di II grado, diversamente da quanto avviene per quelle di primo grado, come illustrato nella seguente tabella4.1.

La rappresentazione grafica del trinomio di II grado

Per poter comprendere il corretto metodo di risoluzione delle disequazioni di II grado (e di altri tipi di disequazioni) `e necessario mettere da parte un approccio puramente algebrico; pu`o essere, per contro,

(17)

16 CAPITOLO 4. INTERMEZZO: ALCUNE TECNICHE DI SOLUZIONE

Tabella 4.1: Confronto tra tecniche di soluzione di equazioni e disequazioni di I e II grado. L’ultima casella, quella relativa alla soluzione della disequazione x2> 5 `e volutamente errata, per illustrare un errore frequente.

Grado Equazione Disequazione I 3x = 5 ⇒ x = 53 3x > 5 ⇒ x > 53 II x2= 5 x = ±5 x2> 5 x > ±5

molto utile considerare la questione anche da un punto di vista grafico. Da un punto di vista grafico, risolvere una disequazione come la seguente:

2x2− 5x + 1 < 0 (4.2) significa determinare per quali valori della x la quantit`a 2x2− 5x + 1 `e negativa; ad esempio avremo:

x = −1 =⇒ 2 · (−1)2− 5 · (−1) + 1 = 2 + 5 + 1 > 0 x = 0 =⇒ 2 · 02− 5 · 0 + 1 = 1 > 0 x = 1 =⇒ 2 · (1)2− 5 · 1 + 1 = 2 − 5 + 1 = −2 < 0 e perci`o x = 1 `e soluzione della disequazione, mentre x = −1 e x = 0 non lo sono.

Per poter capire quali sono tutte le soluzioni della disequazione, rappresentiamo graficamente la parabola y = 2x2− 5x + 1 (vedi fig. 4.1).

(18)

4.1. LA DISCUSSIONE GRAFICA 17 Diagnosi n.2: un problema di linguaggio

Un’altra possibile causa di difficolt`a nel comprendere questo tipo di problema, nasce in realt`a da una sorta di pigrizia nell’articolare verbalmente l’obiettivo dell’esercizio e le operazioni necessarie per raggiungerlo. Per quanto riguarda la soluzione di una disequazione tipo quella considerata, generalmente, si ritrovano tre modi in cui si espone il problema:

1. Livello I: “Dobbiamo vedere quando `e maggiore di zero”. Qui non `e ben chiaro chi `e il soggetto della frase.

2. Livello II: “Dobbiamo vedere quando 2x2− 5x + 1 `e maggiore di zero”.

Qui, ad esser criticabile, `e l’avverbio quando; ed `e proprio dall’utilizzo di tale avverbio che nascono molti errori.

3. Livello III (dicitura corretta): “Dobbiamo vedere per quali valori della x la quantit`a 2x2− 5x + 1

`

e maggiore di zero”.

In questo caso abbiamo sostituito il quando con un’espressione pi`u articolata, che permette di capire veramente cosa richiede la soluzione di una disequazione.

Discussione di uno specifico caso ∆ > 0, a > 0

Vediamo adesso nel dettaglio la procedura di risoluzione di una disequazione di II grado; consideriamo anche l’equazione associata:

ax2+ bx + c = 0; ∆ = b2− 4ac

Consideriamo il caso specifico ∆ > 0, a > 0; l’esempio proposto in4.2rientra in questo caso. Ricordandoci le formule relative alla parabola, avremo:

yV = −

∆ 4a < 0

Perci`o, la parabola avr`a vertice sotto l’asse x, ed essendo rivolta verso l’alto, lo intersecher`a in due punti distinti, x1e x2. Ci`o `e confermato dal fatto che ∆ > 0: x1 e x2sono le soluzioni dell’equazione associata;

nel caso specifico:

x1=

5 +√17

4 ; x2=

5 −√17 4

Sempre facendo riferimento al grafico4.1, possiamo capire che la soluzione della disequazione sar`a: x < x1∨ x > x2

che possiamo scrivere anche cos`ı:  − ∞,5 + √ 17 4  ∪5 − √ 17 4 , +∞  Discussione degli altri casi

In generale, la disequazione pu`o presentarsi con ciascuno dei seguenti segni: >; ≥; ≤; <

In tal caso, l’interpretazione grafica della disequazione `e proposta nella tabella 4.2e nei grafici di figura

4.2.

Pi`u in generale, saranno possibili, a seconda del segno di ∆ e di a, i casi sintetizzati nella tabella4.3. Come esercizio, discutere i vari casi possibili, come fatto nel paragrafo precedente.

(19)

18 CAPITOLO 4. INTERMEZZO: ALCUNE TECNICHE DI SOLUZIONE

Tabella 4.2: Tabella relativa al caso ∆ > 0, a > 0.

disequazione soluzione intervalli grafico ax2+ bx + c > 0 x < x 1∨ x > x2 (−∞, x1) ∪ (x2, +∞) 4.2(a) ax2+ bx + c ≥ 0 x ≤ x 1∨ x ≥ x2 (−∞, x1] ∪ [x2, +∞) 4.2(b) ax2+ bx + c = 0 x = x 1∨ x = x2 {x1, x2} 4.2(b) ax2+ bx + c ≤ 0 x 1≤ x ≤ x2 [x1, x2] 4.2(b) ax2+ bx + c < 0 x1< x < x2 (x1, x2) 4.2(b) (a) (b) (c) (d) (e)

(20)

4.2. LE DISEQUAZIONI FATTORIZZABILI 19

Tabella 4.3: Sintesi dei vari casi possibili per una disequazione di II grado.

sgn(∆) sgn(a) sgn(yV) + + − + − + 0 + 0 0 − 0 − + + − − −

4.1.2

Il caso generale

Disequazioni nella forma f (x) ≶ 0

La tecnica vista nella sezione precedente, relativamente alle disequazioni di II grado, pu`o essere applicata in generale. In generale, infatti, si consideri una disequazione del tipo:

f (x) ≶ 0

Nel caso in cui si sappia tracciare il grafico della funzione f (x), la soluzione della disequazione richieder`a due passaggi:

1. Determinare le coordinate dei punti di intersezione della funzione con l’asse x: per determinare tali punti si dovr`a risolvere l’equazione associata f (x) = 0.

2. Dedurre dal grafico quando la funzione `e positiva e quando `e invece negativa. Disequazioni nella forma f (x) ≶ a

In altri casi, invece, pu`o essere pi`u comodo riportare la disequazione data nella seguente forma: f (x) ≶ a

4.2

Le disequazioni fattorizzabili

4.3

Il cambiamento di variabile

(21)
(22)

Capitolo 5

Esercizi

5.1

Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi teorici

5.1.1

Questioni di carattere teorico

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false: 1. Una disequazione pu`o avere infinite soluzioni. 2. Una disequazione pu`o essere impossibile.

5.1.2

Intuire soluzioni

Esercizio 1

Si consideri la disequazione seguente:

x23+ 2 sin x + 3 > 0 Proporre almeno due sue soluzioni.

5.1.3

Determinazione di una soluzione

Completa la tabella5.1, seguendo l’esempio che ti viene fornito nella prima riga, gi`a compilata.

Per ciascuna disequazione indica il numero delle incognite, il grado per ciascuna incognita e fornisci l’esempio di una soluzione (o riempi il campo con una sbarra, nel caso non esistano soluzioni) e di una non soluzione.

5.2

Introduzione e disequazioni algebriche: esercizi calcolativi

5.2.1

Risoluzione di disequazioni

Risolvi le seguenti disequazioni: 1. −x + 6 ≤ −2x − 8 2. x23−1+56 ≥1 4x − x2−2 4 3. −2y2− 9 < 0 21

(23)

22 CAPITOLO 5. ESERCIZI

Tabella 5.1: Tabella relativa all’esercizio 1

Equazione Grado Soluzione Non-soluzione x3+ 5y ≥ 7y + 2 (x, y) = (3, 1) (2, 0) (0, 0) α2+ 4α < −3α + 5 a + b2≤ c + 1 4ψ + 4 + 3ψ ≤ 3y − 6 + 2x − 5ψ 2x +52α − 3 + α ≤ 4 + x − α4 2t2+ 6t ≤ 3t2− 4 + t 3t3− 4η + 2µ > 3 + η2

5.3

Intermezzo: tecniche di soluzione

5.3.1

Discussione grafica

Esercizio 1

Completare la tabella 5.2, completando le parti mancanti (a seconda dei casi grafico, soluzione, . . . ). Nota: alcuni esempi sono svolti.

(a) (b)

(24)

5.3. INTERMEZZO: TECNICHE DI SOLUZIONE 23

Tabella 5.2: Tabella relativa all’esercizio 1 della sezione5.3.1.

disequazione ∆ a yV grafico soluzione

−3x2+ 2x − 3 < 0 5.1(a) (−∞, +∞) −x2+ 5x + 2 > 0 −x2+ 8x − 16 < 0 −x2+ 8x − 16 ≤ 0 −x2+ 8x − 16 ≥ 0 −x2+ 8x − 16 > 0 x2− 8x + 16 > 0 x2− 8x + 16 ≤ 0 5.1(b) x2+ 5 < 0 + + ∅ x2+ 5 ≥ 0 x2− 5 > 0 (−∞, −5) ∪ (+5, +∞) x2− 5 ≤ 0 −x2− 3 ≤ 0 −x2+ 6 ≥ 0 −x2+ 6 < 0 7x2+ 5x < 0 7x2− 5x ≥ 0

(25)

24 CAPITOLO 5. ESERCIZI

Tabella 5.3: Tabella relativa all’esercizio 2 della sezione5.3.1.

disequazione ∆ a yV grafico soluzione

ax2+ bx + c ≥ 0 + ax2+ bx + c ≥ 0 0 − ax2+ bx + c ≤ 0 − ∅ ax2+ bx + c ≤ 0 − (x1, x2) ax2+ bx + c ≤ 0 + + 5.2(a) (−∞, x 1] ∪ [x2, +∞) ax2+ bx > 0 + + ax2+ c > 0 + 5.2(b) ax2+ c > 0 + ax2+ c > 0 R ax2+ c ≤ 0 [x1, x2] Esercizio 2

Completare la tabella 5.3, completando le parti mancanti (a seconda dei casi grafico, soluzione, . . . ). Nota: alcuni esempi sono svolti.

(26)

5.3. INTERMEZZO: TECNICHE DI SOLUZIONE 25

(a) (b)

Figura

Tabella 1.2: Classificazione delle funzioni elementari.
Figura 4.1: Rappresentazione cartesiana della parabola di equazione y = 2x 2 − 5x + 1.
Figura 4.2: Grafici relativi al caso ∆ &gt; 0, a &gt; 0.
Tabella 4.3: Sintesi dei vari casi possibili per una disequazione di II grado.
+5

Riferimenti

Documenti correlati

La formula che daremo per la matrice inversa coinvolge l’operazione di prodotto di uno scalare per una matrice, la trasposizione di matrici e soprattutto i complementi algebrici di

Ricordiamo che una matrice quadrata A `e non singolare se e solo se soddisfa una delle condizioni equivalenti: (1) le colonne di A son linearmente indipendenti; (2) le righe di A

Informalmente, il primo passo dell’algoritmo fa in modo che il pivot della prima riga compaia prima dei pivot delle righe dalla seconda in poi, il secondo passo dell’algoritmo fa

Esempio Nella disequazione x+3 2x &lt; 1 4 invece occorre fare attenzione. Oltre alla presenza di un denominatore che pu` o annullarsi, non possiamo semplicemente moltiplicare,

[r]

ultima modifica 14/10/2014 I SISTEMI LINEARI..

Risolvere i seguenti sistemi di primo grado nelle incognite x

[r]