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Università degli Studi di Camerino
Corso di Laurea in Tecnologie per l’Innovazione III parziale di CALCOLO
4 ottobre 2007
SOLUZIONI
1) Facendo uso del polinomio di Taylor delle funzioni senx, cosx ed ex si calcolino i primi tre termini del polinomio di Taylor dei seguenti prodotti:
a) e senxx b) e cos xx
Consideriamo i primi termini del polinomio di Taylor delle funzioni assegnate:
3 5
6 120 n
x x
senx= −x + +R
2 4
1 2 24 n
x x
cos x= − + +R
2 3
1 2 6
x
n
x x
e = + +x + +R Si ha:
2 3 3 5 3
1 2
2 6 6 120 3
x
n n n
x x x x x
e senx x R x R x x R
= + + + + − + + = + + +
2 3 2 4 3
1 1 1
2 6 2 24 3
x
n n n
x x x x x
e cos x x R R x R
= + + + + − + + = + − +
2) Calcolare la primitiva della funzione ( )
3 2
2
6 12 18 7
2 2
x x x
f x x x
+ + +
= + + .
Dividendo si ottiene ( ) 6 26 7
2 2
f x x x
x x
= + +
+ + che può ulteriormente scomposta in
( ) 6 3 22 2 2 1
2 2 2 2
f x x x
x x x x
= + + +
+ + + + .
Integrando i singoli termini si ha: F x( )=3x2+3ln x( 2+2x+2)+arctg x( +1)+ c
3) Si calcoli la seguente funzione integrale: ( )
2
3
x
F x =∫ te dt−t
Integrando per parti si ottiene: ( ) ( ) ( ) 2
3 t 1 2x 3 x 1 9 F x = − e− t+ = − e− x+ + e− 4) Se f x, y( ) xy
x y
= − , mostrare che
2 2 2
2 2
2 2 2 0
f f f
x xy y
x x y y
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂ ∂
Si devono calcolare le derivate seconde della funzione. Per prima cosa calcoliamo le derivate prime, si ha:
( )
2
2
f y
x x y
∂ = −
∂ − e
( )
2
2
f x
y x y
∂ =
∂ − ,
quindi le derivate seconde, si ha:
2
( )
2 2
3 2
2
f y
x x y
∂ =
∂ − ,
( )
2 2
3 2
2
f x
y x y
∂ = −
∂ − e
( )
2
3
2
f xy
x y x y
∂ =
∂ ∂ − .
Segue quindi che
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 3 3
2 2
2 2 2
2 2 0
f f f y xy x
x xy y x xy y
x x y y x y x y x y
∂ ∂ ∂
+ + = − + =
∂ ∂ ∂ ∂ − − −
5) Determinare il dominio della seguente funzione: ( )
2 2
2 2 1
6 9 4
y x y
f x, y ln
x y x
= + − −
+ − .
Si deve risolvere il sistema di disequazioni:
2 2
2 2
6 0
1 0
9 4
y
x y x
x y
≥
+ −
− − >
.
La prima disequazione è soddisfatta quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno. Il denominatore è la circonferenza di centro (3,0) e raggio 3 (passa quindi per l’origine) ed è positivo all’esterno della circonferenza. Il grafico di figura 1 ci mostra la soluzione (la parte in chiaro) dove sono compresi tutti i punti dell’asse x ad eccezione dell’origine e del punto di coordinate (6,0) in cui la circonferenza incontra l’asse. La seconda disequazione viene risolta riconoscendo che l’equazione
2 2
9 4 1
x y
+ = ad essa associata, è una ellisse di centro l’origine , semiasse maggiore 3 e semiasse minore 2; inoltre la disequazione può essere messa nella forma
2 2
9 4 1
x y
+ < la cui soluzione sono i punti del piano interni all’ellisse (figura 2). Nella figura 3, in bianco, viene quindi rappresentato il dominio della funzione dato dall’intersezione delle soluzioni delle due disequazioni: ne fanno parte anche i punti dell’asse x che non stanno sull’ellisse o sulla circonferenza [(–3,0); (0,0); (3,0); (6,0)].
Figura 1 Figura 2 Figura 3
6) Determinare e classificare i punti stazionari della funzione f x, y( )=x3+y3−3xy.
Per determinare i punti stazionari della funzione data si deve risolvere il sistema 0 0
x y
f f
=
=
.
Essendo fx =3x2−3y, fy =3y2−3x, si ha
2
2
3 3 0
3 3 0
x y
y x
− =
− =
le cui soluzioni sono O(0,0) e P(1,1). Per studiare la natura di tali punti bisogna calcolare l’hessiano della funzione; essendo
3
xx 6
f = x, fyy =6y e fxy = − si ha 3 ( ) 6 3 36 9
3 6
H x, y x xy
y
−
= = −
− . Essendo H(0,0) = –9 < 0 l’origine è un punto di sella; essendo H(1,1) = 27 > 0 e fxx(1,1) = 6 > 0, il punto P è un minimo f(1,1)=–1.
