Corso di Superfici di Riemann e curve algebriche Programma

Corso di Superfici di Riemann e curve algebriche Programma

(1) Carta complessa, compatibilit`a di carte complesse, atlante complesso.

Definizione di superficie di Riemann. Primi esempi di superfici di Rie- mann: il piano complesso C, la sfera S

. Propriet` a topologiche di una superficie di Riemann: connessione, orientabilit` a, genere topologico.

Esempi di superfici di Riemann: la retta proiettiva complessa P

, il toro complesso T , i grafici di funzioni olomorfe. Definizione di curva piana affine complessa non singolare. Teorema: una curva piana affine non singolare `e una superficie di Riemann. Definizione di curva piana proiettiva complessa non singolare. Teorema: una curva piana proiet- tiva complessa non singolare `e una superficie di Riemann compatta.

(2) Funzioni olomorfe su una superficie di Riemann. Esempi di funzioni olomorfe su superfici di Riemann. Funzioni meromorfe su una super- ficie di Riemann e loro caratterizzazione. Gli spazi O(W ) e M(W ), per un aperto W di una superifice di Riemann. Esempi: funzioni meromorfe su S

, P

, sul toro complesso e su una curva proiettiva non singolare. Definizione di ordine di una funzione meromorfa f in un punto: ord

(f ). Teorema: gli zeri e i poli di una funzione mero- morfa non nulla su una superficie di Riemann sono un sottoinsieme discreto. Teorema: una funzione olomorfa su una superficie di Rie- mann compatta `e costante. Applicazioni olomorfe tra superfici di Rie- mann. Biolomorfismi e superfici di Riemann biolomorfe. Esempio: S

`e biolomorfa a P

. Teorema: sia F : X → Y un’ applicazione olomorfa non costante, se X `e compatta, F `e suriettiva e Y `e compatta. Cor- rispondenza tra le funzioni meromorfe su una superficie compatta X e le applicazioni olomorfe di X in P

. Descrizione della fibra di un’

applicazione olomorfa non costante tra superfici di Riemann compatte.

Teorema della forma locale normale per un’applicazione olomorfa non costante tra superfici di Riemann compatte. Definizione di molteplicit` a di un’ applicazione F in un punto: mult

(F ). Definizione di punto di ramificazione e di punto di diramazione. Teorema del rivestimento e definizione del grado di un’applicazione olomorfa tra superfici di Rie- mann compatte. Formula di Hurwitz.

(3) Lo spazio E(U ) delle funzioni derivabili infinite volte in x e y, z = x+iy, coordinata locale in U . Lo spazio cotangente T

ad una superficie di Riemann in un punto a. Il differenziale di una funzione f ∈ E(U ).

Basi per lo spazio T

. Vettori cotangenti di tipo (1, 0) e di tipo (0, 1).

Definizione di 1-forma differenziale definita su un aperto W di una su- perficie di Riemann, forme differenziali C

, olomorfe e merofomorfe:

1

E

(W ), Ω

(W ), M

(W ). Forme differenziali assegnate su un ri- coprimento e regola di incollamento. Lo spazio T

= ∧

T

. Basi per T

. Definizione di 2-forma differenziale definita su un aperto W di una superficie di Riemann, 2-forme C

: E

(W ). Regola di in- collamento per 2-forme differenziali assegnate su un ricoprimento. Gli operatori di derivazione ∂, ¯ ∂, d e le regole di derivazione. Definizione di 1-forma esatta e chiusa. Esempi: una forma esatta `e chiusa, una forma olomorfa `e chiusa. Teorema di Poincar´e e lemma di Dolbeault (solo enunciati). Pull back di una forma differenziale ω: F

(ω), per un ’aplicazione olomorfa F . Definizione di ordine di una 1-forma meromorfa ω in un punto: ord

(ω). Calcolo dell’ordine di F

(ω).

Definizione di cammino su una superficie di Riemann. Integrale di una 1−forma ω ∈ E

(X) lungo un cammino γ. Propriet` a elementari dell’integrale. Definizione di residuo di una 1−forma ω ∈ M

(U ) in un punto: Res

(ω). Relazione tra il residuo e l’integrale di ω lungo cammini semplici chiusi. Integrale di una 2−forma η ∈ E

(X) su un sottoinsieme chiuso D triangolabile. Teorema di Stokes (solo enunci- ato). Teorema dei residui: su una superficie compatta P

Res

(ω) = 0,

∀ ω ∈ M

(X). Omotopia tra cammini. Teorema: l’integrale di una 1-forma chiusa non dipende dal cammino scelto in una classe di omo- topia.

(4) Definizione di divisore su una superficie di Riemann. Il gruppo Div(X) su una superficie di Riemann X. Grado di un divisore per una superfi- cie compatta. Divisore principale associato ad una funzione meromorfa non nulla f : div(f ). Il grado di un divisore principale. Divisori effet- tivi. Relazione di equivalenza lineare tra divisori. Esempio: due punti p e q su P

sono linearmente equivalenti. Il gruppo di Picard di una superficie di Riemann X: P ic(X). Divisore canonico associato ad una 1-forma meromorfa ω non nulla: div(ω). Esempio: trovare un divi- sore canonico su P

. Propriet` a: due divisori canonici su una superficie di Riemann sono linearmente equivalenti. Pull back di un divisore D: F

(D), per un’applicazione non costante olomorfa F . Propriet` a elementari del pull back. Definizione del divisore di ramificazione e del divisore di diramazione per un’applicazione olomorfa non costante F : X → Y tra superfici compatte. Teorema di Riemann-Hurwitz.

Esempio: calcolo del grado del divisore canonico per una superficie di Riemann compatta X (nell’ipotesi dell’esistenza di una funzione mero- morfa f ∈ M(X)). Definizione del divisore di intersezione tagliato da una forma omogenea G su una curva piana proiettiva non singolare:

div(G) e relative propriet`a. Teorema di Bezout. Formula di Plcker. Lo

spazio vettoriale L(D) delle funzioni meromorfe limitate dal divisore

D. Propriet` a: L(D

) isomorfo a L(D

) se D

e D

sono linearmente

equivalenti, L(D) = {0} se degD < 0. Teorema: se X `e una super-

ficie di Riemann compatta L(D) `e finitamente generato. Lo spazio

vettoriale L

(D) delle 1−forme meromorfe limitate dal divisore D.

Propriet` a: L

(D) `e isomorfo a L(D + K

), dove K

`e un divisore canonico sulla superficie X. Definizione di sistema lineare completo

|D| associato ad un divisore D. Relazione tra |D| e P(L(D)) per una superficie compatta. Definizione di sistema lineare W di grado d e dimensione r su una superficie compatta. Definizione di punto base per un sistema lineare. Condizioni necessarie e sufficienti affinch`e un sistema lineare sia privo di punti base.

(5) Prefasci di gruppi anelli campi. Assioma di fascio. Esempi di fasci:

fasci di funzioni, fasci di forme, fascio associato ad un divisore, fasci localmente costanti, fasci grattacielo, fasci di divisori, fasci totalmente discontinui. Esempi di prefasci che non soddisfano l’assioma di fascio:

prefasci costanti, prefasci di di forme esatte. Spiga di un prefascio, esempi: fascio delle funzioni olomorfe e fascio localmente costante.

Fascio delle sezioni discontinue di F. Fascificazione di un prefas- cio.Esempio: fascificazione del prefascio delle funzioni costanti, e del prefascio delle forme esatte. Morfismi di fasci, esempi: inclusione, op- eratori differenziali. Fascio nucleo e prefascio immagine. Iniettivit` a e suriettivit` a di un morfismo. Fascio immagine come fascificazione del prefascio immagine.

(6) Coomologia di Cech. Nozione di co-catene di un fascio subordinate ad un ricoprimento. Operatore di cobordo δ : C

(U, F) → C

(U, F) Propriet` a del cobordo: δ

= 0. Nozione astratta di complessi di co- catene e coomologia del complesso. Coomologia di Cech del fascio F subordinata ad un ricoprimento. Iosomorfismo canonico tra H

(U, F) e F(X). Relazione di pre-ordinamento sull’insieme dei ricoprimenti:

mappa di raffinamento. Se V ≺ U, ogni mappa di raffinamento induce un morfismo σ : H

(U, F) → H

(V, F). La mappa σ non dipende dal raffinamento. Sistemi diretti di gruppi e limite diretto. Definizione di coomologia del fascio. Fasci aciclici. Morfismi dei gruppi di coomologia associati a morfismi di fasci. Successione esatta lunga in coomologia associata ad una successione esatta corta di fasci: morfismo di connes- sione. Data una successione esatat corta di fasci 0 → K → F → G → 0, se H

(X, K) = 0 allora la mappa indotta F(X) → G(X) `e suriettiva.

Calcolo dei gruppi di coomologia. Teorema di Serre (solo enunciato):

dato un ricoprimento U, se le restrizioni di F alle intersezioni finite degli aperti di U sono tutti fasci aciclici, allora H

(X, F) = H

(U, F).

Fasci fini: partizione dell’unit`a. Esempi: fasci di funzioni e forme C

, fasci grattacielo, il fascio dei divisori. I fasci fini sono aciclici.

Risoluzioni fini di un fascio e teorema di de Rham astratto. Esempi:

risoluzione esatta del fascio delle funzioni localmente costanti e il fas-

cio delle funzioni e delle forme olomorfe. Complessi di de Rham e

Dolbeuat. H

(X, C) = H

(X) e H

(X, Ω

) = H

(X)

(7) Divisori e fibrati lineari. Successione esatta corta 0 → O

→ M

→ Div → 0. Il problema di Mittag-Leffler. Teorema del teorema di Weierstrass: se X `e un aperto del piano ogni divisore su X `e principale.

Il gruppo H

(X, O

) dei fibrati lineari. Esempio: il fibrato canonico κ.

Dato un fibrato lineare ξ, il fascio delle sezioni (olomorfe, meromorfe, C

) di ξ. Il divisore associato ad una sezione meromorfa del fascio ξ. I divisori associati a sezioni meromorfe dello stesso fibrato solo linearmente equivalenti. Successione esatta corta 0 → Z → O → O

→ 0 e mappa di connessione δ : Div(X) → H

(X, O

). Isomorfismo canonico tra O(δ(D)) e O(−D). Se ξ = δ(D) allora ξ ammette una sezione meromorfa σ e div(σ) `e linearmente equivalente a −D. Se ξ ammette una sezione meromorfa σ e D = divσ allora ξ = δ(−D).

Forme a volori in un fibrato lineare. Fasci Ω(ξ) E

(ξ). Risoluzione di Dolbeaut di O(ξ). H

(X, O(ξ)) = 0 se p ≥ 2 e H

(X, O(ξ)) = H

(X, ξ). Teoremi di finitezza H

(X, O(ξ)) ha dimensione finita per p = 0, 1. Accoppiamento di Serre tra H

(X, O(ξ)) e H

(X, Ω(ξ

)).

Teorema di Serre (solo enunciato): H

(X, O(ξ)) = H

(X, Ω(ξ

))

. Isomorfismo canonico Ω(ξ) = O(κξ

). Riformulazione del teorema di Serre: H

(X, O(ξ)) = H

(X, O(κξ

))

.

(8) Mappe olomorfe non degeneri di una superficie di Riemann compatta in spazi proiettivi. Corrispondenza biunivoca tra i sistemi lineari privi di punti base di dimensione n su una superficie di Riemann X e le mappe olomorfe non degeneri X → P

. Nozione di embedding di una superficie di Riemann X in uno spazio proiettivo. Esempi. Definizione di divisore molto ampio. Condizione necessaria e sufficiente affinch`e un divisore sia molto ampio. Teorema: la mappa definita da un sistema lineare completo |D| `e un embedding se e solo se D `e molto ampio.

Definizione di curva algebrica proiettiva irriducibile liscia in uno spazio proiettivo. Il Lemma di Chow (solo enunciato). Esempi: la curva razionale normale di grado n in P

. Definizione di genere analitico per una superficie di Riemann compatta. Il Teorema di Riemann- Roch. Corollari del Teorema di Riemann-Roch. Il genere analitico ed il genere topologico di una superficie di Riemann compatta coincidono.

Definizione di superficie di Riemann iperellittica. Studio della mappa canonica per una superficie di Riemann non iperellittica.

(9) Classe di Chern di un fibrato lineare. Identificazione canonica H

(X, Z) = Z . Calcolo della classe di Chern. Se ξ = δ(D) allora c(ξ) = −deg(D).

Definizione di χ(ξ) = dim H

(X, O(ξ)) − dim H

(X, O(ξ)). Se η =

δ(D) allora χ(ξ) = χ(ξη). Ogni fibrato lineare ammette una sezione

meromorfa. La mappa δ : Div(X) → H

(X, O

) `e suriettiva. H

(X, M

) =

0.

(10) Teoria di Abel-Jacobi. Descrizione topologica di una superficie di

genere g attraverso l’attaccamento dei lati di un 4g-gono. Presen-

tazione del gruppo fondamentale di una superificie S e base della

omologia. Mappa dei periodi H

(X, Z) → Ω

(X)

. Sottogruppo dei

periodi Λ e Jacobiana di X. Mappa di Abel A : X → Jac(X) ed

estensione della mappa di Abel A : Div(X) → Jac(X). Dipendenza

della mappa di Abel dal punto base. La restrizione di A a Div

(X)

non dipende dal punto base. Teorema di Abel con dimostrazione. Il

reticolo dei periodi `e discreto. La mappa di Abel-Jacobi per le su-

perfici di genere 1. Il gruppo P ic

(X) e identificazione tra Jac(X)

e P ic

(X). Interpretazione della mappa di Abel in termini di fibrati

lineari. Teorema di Jacobi.