Tema d’Esame del 15 luglio 2009 – Geometria I (Unità 2)

Geometria I Gianluca Ferrari Spazi Vettoriali Metrici

Tema d’Esame del 15 luglio 2009 – Geometria I (Unità 2)

1. 𝑘 = ? t.c. 𝑏_𝑘 è un prodotto scalare;

Affinché la forma bilineare assegnata sia un prodotto scalare (ossia una forma bilineare simmetrica) è necessario e sufficiente che la matrice della sua rappresentazione sia simmetrica. In riferimento alla generica matrice 𝐴_𝑘 di rappresentazione della forma bilineare, affinché sia simmetrica, si ha che

𝑘(𝑘 − 2) = 3 ⟹ 𝑘²− 2𝑘 − 3 = 0 ⟹ (𝑘 − 3)(𝑘 + 1) = 0 da cui

𝑘 = −1 ∨ 𝑘 = 3 ⟹ 𝑘 ∈ {−1; 3}

2. Determinare la dimensione del radicale di 𝑏_𝑘 per ciascuno dei valori determinati nel punto precedente e, se esiste, una sua base;

Ricordiamo dalla teoria che la dimensione del radicale di 𝑉_𝑘^⊥ è data da dim 𝑉_𝑘^⊥ = 𝑛 − rg 𝐴_𝑘

dove 𝑛 è la dimensione dello spazio vettoriale 𝑉_𝑛(ℝ) – nel nostro caso 3 –, mentre rg 𝐴_𝑘 è il rango della matrice 𝐴_𝑘 di rappresentazione della forma bilineare.

Consideriamo il caso 𝑘 = −1.

𝐴₋₁ = (5 2 3

2 −1 3

3 3 0

)

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Siccome det 𝐴_𝑘 = 0, allora la matrice non ha rango massimo. Tuttavia è possibile notare la presenza di un minore di ordine due non singolare (evidenziato nella matrice), per il quale si ha rg 𝐴_𝑘 = 2. Di conseguenza la dimensione del radicale di 𝑏₋₁ sarà

dim 𝑉₋₁^⊥ = 3 − 1 = 1

Calcoliamo quindi una sua base, considerando il nucleo dell’endomorfismo 𝑇 di 𝑉₃(ℝ) rappresentato dalla matrice 𝐴₋₁, che possiamo denotare con ker 𝑇. Esso si determina risolvendo il seguente sistema lineare omogeneo

{2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0 3𝑥 + 3𝑦 = 0 ⟹ {

𝑧 = 𝑦 − 2𝑥 = 3𝑦 → 𝑧 = 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 0 → 𝑥 = −𝑦 Il radicale 𝑉₋₁^⊥ sarà dato dal sottospazio

𝑉₋₁^⊥ = 〈(−1; 1; 1)〉

ossia una sua possibile base può essere data da

𝔅₋₁^⊥ = ((−1; 1; 1)) Consideriamo ora il caso 𝑘 = 3, nonché la matrice

𝐴₃ = (5 2 3 2 3 3 3 3 0

)

È possibile notare che det 𝐴₃ = 18 + 18 − 27 − 45 ≠ 0, quindi il rango di 𝐴₃è massimo (rg 𝐴₃ = 3). Per questo motivo la dimensione del radicale sarà zero, nonché il radicale sarà banale.

𝑉₃^⊥ = {0⃗ } Non è quindi possibile scrivere una base per 𝑉₃^⊥.

3. Sia 𝑘 = −1; 𝑣 = (1; 0; −1); 〈𝑣 〉^⊥ = ?;

Consideriamo il sottospazio vettoriale

〈𝑣 〉 = 〈(1; 0; −1)〉

e determiniamone il suo complemento ortogonale 〈𝑣 〉^⊥ inteso come l’insieme dei vettori di dello spazio vettoriale 𝑉₃ il cui prodotto scalare con 𝑣 dà come risultato 0. In formule

〈𝑣 〉^⊥ ≔ {𝑤⃗⃗ ∈ 𝑉₃ ∶ 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ = 0 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎 𝑏₋₁}

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Considerando il generico vettore 𝑤⃗⃗ = (𝑥; 𝑦; 𝑧) e imponiamo che il prodotto scalare 𝑣 ⋅ 𝑤⃗⃗ sia 0 rispetto alla 𝑏₋₁.

〈𝑣 〉^⊥ ∶ (1 0 −1) (5 2 3 2 −1 3

3 3 0

) (𝑥 𝑦

𝑧) = 0 (2 −1 3) (𝑥

𝑦

𝑧) = 0 ⟹ 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0 ⟹ 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑧

Abbiamo così determinato un sottospazio di dimensione 2 che rappresenta il complemento ortogonale di 〈𝑣 〉.

〈𝑣 〉^⊥ = 〈(1; 2; 0); (0; 3; 1)〉