Geometria I Gianluca Ferrari Geometria Proiettiva
Tema d’Esame del 15 luglio 2019 – Geometria I
Riscriviamo l’equazione della conica utilizzando le coordinate proiettive, ossia rendendola omogenea, come di seguito.
𝒞 ∶ 𝑥$%+ 𝑥%%− 6𝑥$𝑥)+ 5𝑥)% = 0 Scriviamo quindi la matrice di rappresentazione della conica.
𝑀 = . 1 0 −3
0 1 0
−3 0 5
1
È possibile notare che questa ha determinante
det 𝑀 = 5 − 9 ≠ 0
quindi dal punto di vista proiettivo si tratta di una conica generale, che non presenta punti singolari. Dal punto di vista affine, invece, considerando il minore di ordine due in alto a sinistra si ha
det 71 0
0 18 = 1 > 0
quindi la conica in questione è un’ellisse e, più nello specifico, una circonferenza, dato che il minore è multiplo della matrice identità 𝐼%.
Determiniamo ora il centro della conica, risolvendo il sistema
;𝑥$ − 3𝑥) = 0
𝑥% = 0 ⟹ ;𝑥$ = 3𝑥) 𝑥% = 0
da cui si trova il punto 𝐶 = [(3; 0; 1)] nel piano proiettivo, ossia 𝐶(3; 0) nel piano affine.
Ricordiamo che per l’ellisse gli asintoti sono immaginari e coniugati. Determiniamo infine gli assi, che passano per il centro e hanno direzioni date da
0𝑙%+ (1 − 1)𝑚𝑙 − 0𝑚% = 0
Geometria I Gianluca Ferrari Geometria Proiettiva Essendo l’equazione soddisfatta per ogni direzione 𝑣⃗ = (𝑙; 𝑚) si ha che gli assi sono tutte le rette passanti per il centro della circonferenza.
Anzitutto, è possibile notare che il punto 𝐴 appartiene alla conica, quindi, per il teorema di reciprocità, la sua retta polare 𝜋(𝐴) sarà proprio la retta tangente alla conica.
Quest’ultima si determina sviluppando l’equazione 𝜋(𝐴) ∶ (2 √3 1) . 1 0 −3
0 1 0
−3 0 5
1 . 𝑥$ 𝑥%
𝑥)1 = 0 𝜋(𝐴) ∶ (−1 √3 −1) .
𝑥$ 𝑥%
𝑥)1 = 0 𝜋(𝐴) ∶ −𝑥$ + √3𝑥% − 𝑥) = 0
𝜋(𝐴) ∶ 𝑥 − √3𝑦 + 1 = 0
Banalmente, per trovare l’equazione del fascio generato dalle due coniche, è sufficiente farne la combinazione lineare, ossia si ha
𝔉 ∶ 𝜇𝒞 + 𝜆Γ = 0 , o più concretamente
𝔉 ∶ 𝑥% + 𝑦% + 2𝑥 − 2𝑦 + 1 + 𝑘(𝑥%+ 𝑦% − 6𝑥 + 5) = 0 , da cui
𝔉 ∶ (𝑘 + 1)𝑥%+ (𝑘 + 1)𝑦% + 2(1 − 3𝑘)𝑥 − 2𝑦 + (1 + 5𝑘) = 0 .
Consideriamo la matrice di rappresentazione del fascio.
𝑀𝔉 = . 𝑘 + 1 0 1 − 3𝑘
0 𝑘 + 1 −1
1 − 3𝑘 −1 1 + 5𝑘 1
Geometria I Gianluca Ferrari Geometria Proiettiva I centri del fascio saranno dati dalle soluzioni del sistema
;(𝑘 + 1)𝑥$+ (1 − 3𝑘)𝑥) = 0
(𝑘 + 1)𝑥%− 𝑥) = 0 ⟹ ;(𝑘 + 1)𝑥 + (1 − 3𝑘) = 0 (𝑘 + 1)𝑦 − 1 = 0 Eliminando il parametro, si ha
T
(𝑘 + 1)𝑥 + (1 − 3𝑘) = 0 𝑘 = 1 − 𝑦
𝑦
⟹ U1 − 𝑦
𝑦 + 1V 𝑥 + U1 − 31 − 𝑦
𝑦 V = 0
U1
𝑦− 1 + 1V 𝑥 + U1 − 3
𝑦+ 3V = 0 𝑥 − 3
𝑦 + 4 = 0 ⟹ 𝑥 + 4𝑦 − 3 = 0
Studiamo il segno del determinante del minore di ordine due in alto a sinistra della matrice 𝑀𝔉. Capita che
det 7𝑘 + 1 0
0 𝑘 + 18 = (𝑘 + 1)% ≥ 0 ∀𝑘 ∈ ℝ
In particolare abbiamo che il determinante è strettamente positivo ∀𝑘 ≠ 1, quindi in tal caso le coniche sono ellissi e, più nello specifico, delle circonferenze, dato che il minore è multiplo della matrice identità 𝐼%, mentre nel caso 𝑘 = −1 si ha che il determinante è nullo.
Per 𝑘 = −1 abbiamo
𝑀𝔉\] = .0 0 4
0 0 −1
4 −1 −4 1
il cui determinante è
det .0 0 4
0 0 −1
4 −1 −4
1 = 0
perciò si tratta di una conica degenere. In tal caso la conica del fascio è data da 𝔉^$ ∶ 8𝑥 − 2𝑦 − 4 = 0 ⟹ 4𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
Geometria I Gianluca Ferrari Geometria Proiettiva ossia, passando in coordinate polari,
𝔉^$ ∶ 𝑥)(4𝑥$− 𝑥%− 2𝑥)) = 0 .
Tale conica rappresenta l’unione della retta impropria 𝑟a ∶ 𝑥) = 0 con la retta 4𝑥$− 𝑥% − 2𝑥) = 0.
