Corsi di Probabilit` a, Statistica e Processi stocastici per Ing. dell’Automazione, Informatica e Inf. Gest. Azienda

Corsi di Probabilit` a, Statistica e Processi stocastici per Ing. dell’Automazione, Informatica e Inf. Gest. Azienda

20/12/2011 Esercizio 1

Una compagnia di assicurazioni classifica i propri clienti in tre fasce: basso rischio di incidente, medio rischio e alto rischio. Da rilevamenti statistici, si sa che le probabilit`a di avere un incidente in un anno sono l’1%, il 3% e il 6%

rispettivamente.

i) Assumendo che il 30% dei clienti siano a basso rischio, il 50% a medio rischio e il 20% ad alto rischio, qual `e la probabilit`a che un cliente abbia incidenti nel corso di un anno?

ii) Sapendo che un cliente non ha avuto incidenti nell’anno scorso, qual `e la probabilit`a che esso appartenga a ciascuna delle tre fasce?

Esercizio 2 Un’azienda produce componenti per auto.

i) Un suo reparto produce 30 pezzi al giorno. Supponiamo che ciascun pezzo abbia probabilit`a 0.05 di essere scadente (si impongano inoltre le ipotesi di indipendenza che si ritiene comodo e ragionevole supporre). Che probabilit`a abbiamo di trovare almeno due pezzi scadenti, in un generico giorno? Descrivere dettagliatamente le v.a. che si utilizzano ed evitare approssimazioni non necessarie.

ii) Una macchina produce 40 pezzi al giorno. Molti dei pezzi prodotti, ma non tutti, hanno bisogno di rifiniture a mano. La probabilit`a che un pezzo necessiti di rifiniture `e 0.5. Che probabilit`a c’`e si debbano rifinire pi` u di 25 pezzi?

Esercizio 3 Si consideri la funzione “triangolare” f (x) cos`ı definita: nulla per x < −1 e x > 1, uguale ad M per x = 0, continua, lineare sia su [−1, 0] che su [0, 1] (ma definita usando rette differenti).

i) Trovare per quali valori di M la funzione f `e una densit`a di probabilit`a e scrivere l’espressione matematica di f . ii) Calcolare E [|X| ⁿ ] per ogni n intero positivo.

iii) Calcolare la densit`a di probabilit`a della v.a. Y = p

|X|, riassumendo alla fine la sua espressione a seconda dell’intervallo del dominio. ` E continua?

iv) Calcolare P (|X| ≤ Z), dove Z `e una v.a. di Bernoulli simmetrica (p = ¹ ₂ ), indipendente da X.

Esercizio 4 Si consideri una catena di Markov con stati {1, 2, 3, 4, 5} e matrice di transizione P indicata a fianco.

i) Classificare gli stati e dedurne la struttura generale di tutte le misure invarianti.

ii) Calcolare le misure invarianti.

iii) Supponiamo di partire al tempo zero dallo stato 5 e sia p ⁽ⁿ⁾ _i la probabilit`a di

P =



 

 



1/2 1/4 0 1/4 0

1/4 0 0 3/4 0

0 0 1 0 0

0 1/2 0 1/2 0

1/3 0 2/3 0 0



 

 



trovarsi nello stato i al tempo n. Calcolare lim n →∞ p ⁽ⁿ⁾ _i , fin dove si riesce e per gli stati i per cui si riesce,

accontentandosi di un risultato intuitivo per i pi` u difficili.

• x = ^x

¹

^+...+x _n

ⁿ

, S ² = _{n −1} ¹ P n

i=1 (x i − x) ² , d Cov = _{n −1} ¹ P n

i=1 (x i − x) (y ⁱ − y), r = _S

x

^{Cov d}

`ıX

S

Y

= ^P

n

i=1

(x

ⁱ

−x)(y

ⁱ

−y)

√ P

n

i=1

(x

ⁱ

−x)

²

P

n

i=1

(y

ⁱ

−y)

²

. P n

i=1 (x i − x) ² = P n i=1 x ² _i

− nx ² , P n

i=1 (x i − x) (y ⁱ − y) = ( P n

i=1 x i y i ) − nxy.

• n! = n · (n − 1) · · · 2 · 1, 0! = 1. ⁿ k

= _{k !(n−k)!} ^n! = ⁿ ·(n−1)···(n−k+1)

k! .

• P (A|B) = ^P _P ^(A∩B) _(B) , P (A ∩ B) = P (A|B) P (B). A, B indipendenti: P (A ∩ B) = P (A) P (B), P (A|B) = P (A), P (B|A) = P (B). P (A) = P

k P (A|B ^k ) P (B k ). P (B|A) = ^{P (A|B)P (B)} _P(A) .

• X discreta, valori a ^j , P (X = a j ) = p j , allora E [X] = P

j a j p j , E [g (X)] = P

j g (a j ) p j , E  X ² 

= P

j a ² _j p j . P (X ∈ A) = P

i:a

i

∈A P (X = a i ) = P

i:a

i

∈A p i . X ∈ N, P (X ≤ n) = P n

i=0 p i , P (X ≥ n) = P _∞

i=n p i .

• X continua, densit`a f (x), allora E [X] = R _∞

−∞ xf (x) dx, E [g (X)] = R _∞

−∞ g (x) f (x) dx, in particolare E  X ²  R _∞ =

−∞ x ² f (x) dx. P (X ∈ A) = R

A f (x) dx.

• V ar [X] = σ X ² := E h

(X − µ X ) ² i

dove µ _X = E [X]. V ar [X] = E  X ² 

−µ ² X . Cov (X, Y ) = E [(X − µ X ) (Y − µ Y )], Cov (X, Y ) = E [XY ] − µ X µ _Y . ρ (X, Y ) = ^{Cov(X,Y )} _σ

X

σ

Y

. −1 ≤ ρ (X, Y ) ≤ 1.

• E [aX + bY + c] = aE [X]+bE [Y ]+c. V ar [X + Y ] = V ar [X]+V ar [Y ]+2Cov (X, Y ). V ar [aX] = a ² V ar [X].

Standardizzazione di X: ^{X −µ} _σ

^X

X

.

• X, Y indipendenti: P (X ∈ A, Y ∈ B) = P (X ∈ A) P (Y ∈ B). Implica E [XY ] = E [X] E [Y ], Cov (X, Y ) = 0, ρ (X, Y ) = 0, V ar [X + Y ] = V ar [X] + V ar [Y ].

• F (x) = P (X ≤ x). F (t) = R t

−∞ f (x) dx. F ^′ (t) = f (t). F (q α ) = α.

• ϕ (t) = E  e ^tX 

, ϕ ^′ (0) = E [X], ϕ ^′′ (0) = E  X ² 

; ϕ aX (t) = E  e ^taX 

= ϕ X (at). X, Y indipendenti implica ϕ X +Y (t) = ϕ X (t) ϕ Y (t).

• X ∼ B (n, p) : P (X = k) = ⁿ k

p ^k (1 − p) ^{n −k} , E [X] = np, V ar [X] = np (1 − p), σ = p

np (1 − p), ϕ (t) = q + pe ^t
n

dove q = 1 − p. X 1 , ..., X n ∼ B (1, p) indipendenti implica S = X 1 + ... + X n ∼ B (n, p).

• X ∼ipergeometrica di parametri N, M e n : P (X = k) =

N k

_M

n −k

N+M n

con k = 0, 1, · · · , n.

• X ∼ P (λ): P (X = k) = e ^{−λ λ} _k!

^k

, E [X] = λ, V ar [X] = λ, σ = √

λ, ϕ (t) = e ^λ ( ^e

^t

−1 ). Se np n = λ allora lim n →∞ n

k

p ^k _n (1 − p ⁿ ) ^{n −k} = e ^{−λ λ} _k!

^k

.

• X ∼ N µ, σ ²

: f (x) = √ ¹

2πσ

²

exp 

− ^(x−µ) _2σ

^{2 2}



. E [X] = µ, V ar [X] = σ ² , ϕ (t) = e ^µt e

^{t2 σ22}

. X, Y gaussiane indipendenti, a, b, c ∈ R implica aX + bY + c gaussiana. X ∼ N µ, σ ²

si pu`o scrivere come X = σZ + µ, con Z ∼ N (0, 1). F µ,σ

²

(x) = Φ ^{x −µ} _σ

. Φ (−x) = 1 − Φ (x). q ^α = −q 1−α . Soglie µ ± σq ^α .

• X ∼ Exp (λ): f (x) = λe ^−λx per x ≥ 0, zero per x < 0. E [X] = λ ¹ , V ar [X] = _λ ¹

2

, σ = _λ ¹ , ϕ (t) = _λ ^λ _−t per t < λ.

F (x) = 1 − e ^−λx per x ≥ 0, zero per x < 0.

• TLC: Posto S ⁿ = X 1 + ... + X n , si ha P 

S

n

√ −nµ nσ ∈ A 

≈ P (Z ∈ A), con Z ∼ N (0, 1).

Correzione di continuit` a: P (S n ≤ k) ≈ Φ 

k +0,5−nµ σ √ n



, con k ∈ N

• X = ^X

¹

^+...+X n

ⁿ

∼ N  µ, ^σ _n

²



. E  S ² 

= σ ² . ^S _σ

2²

(n − 1) ∼ χ ² n −1 .

• µ = X ± ^{σq √}

¹⁻

_n

^α2

; µ = X ± ^{S ·t}

(n−1) 1−α

√ n

2

.

•    ^{x −µ} σ

⁰

√ n    > q 1−

^α₂

.    ^{x −µ} S

⁰

√ n    > t ⁽ⁿ⁻¹⁾ ₁₋

^α₂

. P 

|Z| >    ^{x −µ} S

⁰

√ n     , P _µ 

X ∈ h

µ ₀ − ^{σq √}

¹⁻

_n

^α2

, µ ₀ + ^σq √

¹⁻

n

^α2

i . ^S _σ

₂²

(n − 1) >

χ ² _{α,n −1} . T = n P k i=1

( p b

i

−p

ⁱ

)

²

p

i

= P k

i=1

( ^{X b}

ⁱ

−np

ⁱ

)

²

np

i

> χ ² _{α,k −1} .

• y = A + Bx, B = ^{Cov d} _S

²

X

= r ^S _S

^Y

X

, y = A + Bx.