Esercizi 1. Calcolare le lunghezze delle seguenti curve parametriche (talora in forma di grafico di funzione):

ESERCIZI DI AUTOVALUTAZIONE

2019 – ANALISI II

Integrazione curvilinea

Esercizi 1. Calcolare le lunghezze delle seguenti curve parametriche (talora in forma di grafico di funzione):

(1)

γ(t) = t

³

t

²



, t ∈ [0, 1] , (R = 1 27 (13 √

13 − 8)) . (2)

γ(t) = arccos t log t



, t ∈ [ 1

2 , 1] , (R = − log π 12 ) . (3)

γ(t) =





√ t 8t log t



 , t ∈ [1, 2] , (R = 1 + log 2) . (4)

γ(t) =





1 4

cos 2t

cos

³

t sin

³

t



 , t ∈ [− π 2 , π

2 ] , (R = √ 10) .

(5)

γ(t) = 4 cos t − cos 4t 4 sin t − sin 4t



, t ∈ [0, 2π] , (R = 32) . (6)

γ(t) =





cosh t cos t cosh t sin t

t



 , t ∈ [0, 1] , (R = e

²

− 1 e √

2 ) . (7)

y = log cos x , x ∈ [0, π

3 ] , (R = log(2 + √ 3)) . (8)

y = r x

³

6 − x , x ∈ [0, 5] , (R = 6 + 3 √

3 log(2 + √ 3)) . (9)

y = x

²

, x ∈ [1, 2] , (R = √ 17 −

√ 5 2 + 1

4 log( 4 + √ 17 2 + √

5 ) . (10)

y = x + 2

3 x

^3/2

, x ∈ [0, 1] , (R = 4 3

√ 5 − 1

3

√

2 − log( 2 + √ 5 1 + √

2 ) .

Esercizi 2. Calcolare gli integrali curvilinei R

γ

f ds seguenti:

(1)

f x y



= cos x + sin y e γ(t) =  πt 2πt



, t ∈ [0, 1] , (R = 2 √ 5) . (2)

f x y



= p

1 − y

²

e γ(t) = cos t sin t



, t ∈ [0, π] , (R = 2) . (3)

f



 x y z



 = √

z e γ(t) =



 cos t sin t t

²



 , t ∈ [0, 1] , (R = 1 12 (5 √

5 − 1) .

2

(4)

f x y



= y , e γ ` e la curva grafico della funzione [0, 1] 3 x 7→ f (x) = p

1 + x

²

,

(R =

√ 3 2 + 1

2 √ 2 log( √

2 + √ 3)) .

Esercizi 3. Calcolare gli integrali curvilinei R

γ

ω seguenti:

(1)

ω x y



= y

²

dx + e

^x

dy ,

con γ il segmento congiungente i punti 1 0

 e 2

2



, (R =

⁴₃

+ 2e(e − 1)).

(2)

ω x y



= x log y dx − y arctan x dy ,

con γ il segmento congiungente i punti 1 1

 e 3

3



, (R =

^π₄

− 1 +

⁹₂

log 3 − 5 arctan 3) . (3)

ω x y



= 1

(1 + x)

²

dx − 1 (1 + y)

²

dy , con γ la spezzata congiungente i punti, nell’ordine, 1

0

 , 0

0

 , 0

1



(R = 0) . (4)

ω x y



= x sin √

y dx + y sin x dy ,

con γ la curva γ(t) =  t t

²



, t ∈ [0, π] , (R = 2π

³

− 11π) . (5)

ω



 x y z



 = zdx + xdy + ydz ,

con γ la spezzata congiungente i punti, nell’ordine,



 0 0 0



 ,



 0 0 1



 ,



 0 1 1



 ,



 1 1 1



 , (R = 1) .

Esercizi 4. Verificare se le seguenti forme differenziali lineari sono esatte nel loro dominio di definizione ed eventualmente calcolarne una primitiva (potenziale):

(1)

ω x y



= x

x + y dx + y

x + y y dy . (2)

ω x y



= x log(1 + xy) dx + y log(1 + xy) dy . (3)

ω x y



= 2xy

²

(1 + x

²

y

²

)

²

dx + 2yx

²

(1 + x

²

y

²

)

²

dy . (4)

ω x y



= ( √

y − 2xy) dx +

 x 2 √

y − x

²

 dy . (5)

ω x y



= 1 + y

1 + x dx + log(1 + x) dy .

3

(6)

ω x y



= e

^x/y

dx + e

^x/y

 1 − x

y



dy .