ESERCIZI sulle CURVE, parte 1

ESERCIZI sulle CURVE, parte 1

1. Data la curva '(t) = (3 cos t cos(3t), 3 sin t sin(3t), t 2 [0, 2⇡], stabilire se risulta regolare e chiusa. Determinare vettore tangente ed equazione della retta tangente nel punto '(

). (Facoltativo, dopo aver studiato il grafico delle funzioni x(t) = 3 cos t cos(3t) e y(t) = 3 sin t sin(3t), provare a disegnarne il sostegno).

2. Data la curva '(t) = (t

| sin t|, sin t cos t), t 2 [

,

], stabilire se regolare e chiusa.

Determinarne vettore tangente ed equazione della retta tangente nel punto '(0). Dopo aver studiato il grafico delle funzioni x(t) = t

| sin t| e y(t) = cos t sin t, provare a disegnare il sostegno della curva. (Facoltativo: provare che la curva `e semplice).

3. Data la curva di equazione cartesiana y = x

(1 x

), x 2 [ 1, 1], stabilire se rego- lare, determinarne vettore tangente ed equazione della retta tangente nei punti O(0, 0) e P (

,

).

4. Data la curva di equazione cartesiana y = arctan((x + 1)

), x 2 [ 1, 1], stabilire per quali valori di ↵ > 0 risulta regolare. Determinarne vettore tangente ed equazione della retta tangente nel punto (0,

).

5. Data la curva di equazione polare ⇢(✓) = 1 + cos ✓, ✓ 2 [0, 2⇡] (cardioide), stabilire se risulta regolare, semplice e chiusa. Determinarne vettore tangente ed equazione della retta tangente nel punto '(

). Provare a disegnarne il sostegno.

6. Data la curva di equazione polare ⇢(✓) = sin(2✓), ✓ 2 [0, ⇡], stabilire se risulta regolare, semplice e chiusa. Determinarne vettore tangente ed equazione della retta tangente nel punto '(

). Provare a disegnarne il sostegno.

7. Data la curva '(t) = (1 t, t t

1, t) con t 2 [0, 2], stabilire se risulta regolare, chiusa e semplice.

8. Data la curva '(t) = (2t, t

, e

) con t 2 [0, 2], stabilire se `e regolare, semplice e chiusa.

Determinarne vettore tangente ed equazione della retta tangente nel punto '(

).

9. Data la curva di equazioni parametriche '(t) = (e

, p

2t, e

), t 2 [ 1, 1], stabilire se la curva `e regolare, chiusa e semplice. Determinarne vettore tangente ed equazione della retta tangente nel punto '(0).

10. Data la curva '(t) = (2 cos t, sin t, 2 sin t 2 cos t 1) con t 2 [0, 2⇡], provare che la curva

`e regolare, semplice e chiusa. Determinarne vettore tangente ed equazione della retta

tangente nel punto ( 2, 0, 1).