Risolvere i seguenti esercizi 1.

Analisi Matematica 1- 2014-2015- Canali 2 e 3 F. Albertini, G. Colombo

Risolvere i seguenti esercizi 1.

Z 2

−2 |t + 1| arctan(|t|)dt.

2.

Z 1 0

1

1 + ^q (4x ² + 1) dx.

3.

Z 4

−4

q

(x ² − |2x| + 2x + 4)dx.

4.

Z π/4 π/6

1

tan x log(sin x) dx.

5.

Z 1 0

e ^t

q (1 + e ^2t ) dt.

6.

Z ( √ x − √

x) ( √

x + 1) dx

x . 7. Data la funzione:

f (x) = |x| ^q (x ² − 3x + |3x| + 9) + e ^x , calcolare l’area della regione di piano

R = {(x, y) | − 1 ≤ x ≤ 1, 1

e ≤ y ≤ f (x)}.

1

8. Data la funzione:

f (x) = 1

(1 + x)[1 + log ² (1 + x)] , calcolare l’area delle seguenti regioni:

R ₁ = {(x, y) | 2 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ f (x)}, R ₂ = {(x, y) | 2 ≤ x ≤ 3, f (x) ≤ y ≤ f (2)}.

9. Data la funzione:

f (x) = log ^ (|t| + 1) ^{(t+3) }

i) Trovare una sua primitiva nell’intervallo [0, +∞), ii) Trovare una sua primitiva nell’intervallo [−2, 0], ii) Trovare una sua primitiva nell’intervallo [−2, +∞).

10. Calcolare tutte le primitive di

f (x) = |x ² − x − 2|.

11. Data la funzione:

F (x) = 2 +

Z x 1

e ^t 1 + t ² dt i) determinare il dominio di F ,

ii) calcolare il limite per x → +∞ di F (x),

iii) dimostrare che F ` e strettamente crescente, e detta G la sua inversa (sull’immagine), calcolare G ⁰ (2) e G ⁰⁰ (2),

iv) dimostrare che F ` e inferiormente limitata.

12. Data la funzione:

F (x) = log(3) +

Z x 0

log(e ² + t ² ) 2 + t ² dt i) dimostrare che F ` e invertibile sull’immagine,

ii) detta G(y) la sua inversa, calcolare il polinomio di Taylor di G di punto iniziale y 0 = log(3) con il resto di ordine 2 (cio` e infinitesimo di ordine non inferiore a 2)

2

Integrali Impropri 1. Dato l’integrale:

Z +∞

0

1

(e ^x + 1) ² dx.

• Dimostare che converge.

• Calcolarne il valore.

2. Determinare per quali α ∈ IR esiste finito:

Z +∞

1

log(x ² ) + 3

x ^{α } 1 + 7 log ² (x) + 12 log ⁴ (x) ^ dx.

Calcolare l’integrale per α = 1.

3. Determinare per quali α ∈ IR esiste finito:

Z +∞

1

| cos ((2 − α)x) + 3|

(3 ^αx + 1) dx.

Calcolare l’integrale per α = 2.

4. Determinare per quali α ∈ IR esiste finito:

Z 1 0

| sin x|

log (1 + √

x) (e ^x

− 1) dx.

5. Determinare per quali α > 0 esiste finito:

Z 4 3

sin[(x − 3) ^α ](x − 4) (x − 3) ² e ^x log[(x − 3) ² ] dx.

6. Determinare per quali α ∈ IR esiste finito:

Z +∞

0

x arctan(x) x ^α (1 + x) ^2α dx.

Calcolare l’integrale per α = 1.

Nota: Negli esercizi 5 e 6 fare attenzione ad entrambi gli estremi di integrazione.

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