ESERCIZI SULLE CURVE
E.M. & N.P.
May 5, 2013
1. Scrivere le equazioni parametriche della curva con sostegno il segmento di estremi P1(3,3,3) e P2(-2,0,7)
2. Scrivere una parametrizzazione dell'arco del I, II e IV quadrante avente estremi A(0,-1) e B(-1,0).
3. Scrivere una parametrizzazione regolare a tratti del triangolo di vertici A(1,0) B(1,1) e C(0,0).
4. Calcolare la lunghezza della curva −→γ (t) = (t − 1, 1 − t2, 2 +23t3), t[0, 1]
5. Calcolare la lunghezza della curva −→γ (t) = (t, log(1 − t2)), t[−12,12]
6. Calcolare la lunghezza della curva −→γ (t) = (t, t32), t[−12,12]
7. Calcolare la lunghezza della curva −→γ (t) = (t, ), t[−12,12]
Calcolare i seguenti integrali curvilinei´
γf ds:
8. f(x, y, z) = x + 3y2− z2+ 1 −→γ (t) = (t2, t, 2t + 1),t[0, 1]
9. f(x, y) = p1 − y2 −→γ (t) = (sint, cost),t[0, π]
10. f(x, y) = y2−→γ (t) = (t, et),t[0, log2]
1
11. f(x, y) = 1x −→γ (t) = (t, tlogt),t[0, π]
12. f(x, y) = xy dove la curva è una parametrizzazione del quarto di ellisse del I quadrante di semiassi a e b centrata nell'origine.
13. f(x, y, z) = x2+ y2 dove la curva è una parametrizzazione del segmento di estremi A(1,-1.2) e B(0,0,0)
Calcolare il baricentro delle seguenti curve omogenee (N.B. OMOGENEO ==
densità costante):
14. −→γ (t) = (1 + t, 4t),t[0, 1]
15. −→γ (t) = (cost, sint),t[0, π/2]
16. −→γ (t) = (1 + t, 4t, 3t),t[0, 1]
17. −→γ (t) = (3cost, 3sint, 4t),t[0, π]
Calcolare le rette tangenti (esprimerle in forma cartesiana) alle curve nei punti assegnati:
18. −→γ (t) = (cost, 1 − t),t[−1, 1], P = (1, 1) 19.−→γ (t) = (ett + t2),t[−1, 1], P = (1, 10)
20. −→γ (t) = (log(1 − t), t − t2),t[−1,12], P = (0, 0) 21. −→γ (t) = (t, t2,t13),t[12, 2], P = (1, 1, 1)
Calcolare le ascisse curvilinee delle seguenti curve a partire dai t0 assegnati:
2
22. −→γ (t) = (1+t22− 1,1+t2t2),t[−1, 1],t0= 0
23. −→γ (t) = (2t, t2,13t3),t[−1, 1],t0= 0
24. −→γ (t) = (acost, asint),t[0, 2π],t0= 0
3
