Serie di funzioni

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Serie di funzioni

Sia {f n } n∈N una successione di funzioni definite in un comune intervallo [a, b] di R e a valori in R. Si dice che la serie di funzioni _∞

X

n=1

f n (1)

`e convergente in [a, b] alla funzione limite f se per ogni x ∈ [a, b] la serie numerica X ∞ n=1

f n (x) converge ad f (x). La serie di funzioni `e uniformemente convergente in [a, b] se la successione delle somme parziali S n (x) =

X n i=1

f i (x) `e uniformemente convergente, ossia se, fissato ad arbitrio un ε > 0, `e possibile determinare in corrispondenza un n ε > 0 tale che ∀n > n ε e ∀x ∈ [a, b] risulti |R n (x)| < ε, essendo R n (x) := S(x) − S n (x) il resto n-esimo della serie. Negli esercizi `e spesso pi` u comodo utilizzare la seguente caratterizzazione:

la serie di funzioni (1) `e uniformemente convergente alla funzione somma S(x) nell’insieme E

se 

n→∞ lim sup

x∈E |S(x) − S n (x)| = 0.

Poich`e la funzione limite f `e la somma della serie, viene talvolta indicata anche con il simbolo S.

Un utile criterio di convergenza dovuto a Weierstrass `e il seguente:

Teorema 1 Se per i termini della serie (1) valgono le maggiorazioni

|f _n (x)| 6 a _n ∀n ∈ N, ∀x ∈ [a, b],

con a n costanti positive, e se la serie X ∞ n=1

a n `e convergente, la (1) `e uniformemente convergente in [a, b].

Come gi`a nel caso delle successioni di funzioni, valgono le seguenti propriet`a di continuit`a, di passaggio al limite e di derivabilit`a sotto il segno di sommatoria:

• Se tutte le funzioni f n sono continue in [a, b] e se X ∞ n=1

f n converge uniformemente, allora 

f (x) = X ∞ n=1

f n (x) `e continua.

• Se la serie (1) `e uniformemente convergente in (a, b) e se esistono finiti i limiti lim

x→x

f n (x) per ogni n ∈ N, x

∈ [a, b], allora la serie

X ∞ n=1

x→x lim

f n (x) `e convergente e si ha

x→x lim

X ∞ n=1

f n (x) = X ∞ n=1

x→x lim

f n (x).

Da questo si pu`o ritrovare come caso particolare la precedente propriet`a di continuit`a della funzione somma.

• Se la serie X ∞ n=1

f n converge e se la serie delle sue derivate X ∞ n=1

f _n ⁰ converge uniformemente,

allora X ∞ n=1

f _n ⁰ (x) = µ X ∞

n=1

f n (x)

¶ 0

1

Serie di potenze

Una serie della forma _∞

X

n=0

a n (x − x

) ⁿ (2)

si dice serie di potenze di punto iniziale x

e di coefficienti a n . La serie (2) si pu`o ricondurre ad una serie di punto iniziale x

= 0 tramite il cambiamento di variabile x − x

= t. Particolarmente utile

`e il teorema di Cauchy-Hadamard, che enunciamo nella forma a noi conveniente per risolvere gli esercizi:

Teorema 2 Se lim

n→∞

p

|a n | = l ∈ (0, +∞), il raggio di convergenza `e r =

_l , mentre se il limite `e  +∞ o zero, il raggio di convergenza rispettivamente zero o +∞.

Il significato del raggio di convergenza `e il seguente: se il limite di cui sopra `e un numero l ∈ (0, +∞), la serie di potenze (2) converge per |x − x

| <

_l e non converge per |x − x

| >

_l ; se il limite `e +∞, la (2) converge solo per x = x

; se il limite `e zero, la (2) converge per ogni x ∈ R. Il teorema di Cauchy-Hadamard non fornisce alcuna informazione sul comportamento della serie (2) negli estremi dell’intervallo di convergenza, cio´e nei due punti x tali che |x − x

| =

_l .

Nel caso in cui il limite da determinare nel teorema di Cauchy-Hadamard non esista, risulta particolarmente utile la seguente

Proposizione 1 Se esistono due costanti posititve m, M tali che per tutti gli indici (o almeno per tutti gli n ∈ N maggiori di un certo ¯ n ∈ N) risulti

m 6 |a n | 6 M, il raggio di convergenza `e uguale a 1.

Ricordiamo che nell’applicazione del teorema di Cauchy-Hadamard risulta spesso pi` u comodo

calcolare il limite ricordando che 

n→∞ lim p

|a n | = lim

n→∞

¯ ¯

¯ ¯ a n+1

a _n

¯ ¯

¯ ¯.

Una serie di potenze (2) a raggio di convergenza r non nullo converge uniformemente in ogni intervallo chiuso contenuto nell’intervallo di convergenza.

Osserviamo anche che la serie _∞ X

n=1

na n (x − x

) ⁿ⁻¹

ottenuta dalla (2) derivando termine a termine, ha lo stesso raggio di convergenza della (2), e quindi la funzione somma f `e indefinitamente derivabile nell’intervallo di convergenza della (2).

Serie di Taylor

Sia f una funzione avente per dominio un intervallo [a, b]. Se la f `e indefinitamente derivabile nel punto x

∈ [a, b](

), la serie

X ∞ n=0

f

(x

)

n! (x − x

) ⁿ (3)

dicesi serie di Taylor di punto iniziale x

della funzione f. In particolare, se 0 ∈ [a, b] e se x

= 0 la (3) prende il nome di serie di Mc Laurin della f. Se la (3) converge in un punto x ∈ [a, b] ed ha ivi per somma f (x), si dice che la f `e sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x

, nel punto x, vale a dire

f (x) = X ∞ n=0

f

(x

)

n! (x − x

) ⁿ . (4)

Se la (4) converge in ogni punto di un insieme E ⊆ [a, b] ed ha ivi per somma f (x), si dice che la funzione f (x) `e sviluppabile in serie di Taylor in E, cio´e

f (x) = X ∞ n=0

f

(x

)

n! (x − x

) ⁿ , ∀x ∈ E. (5)

1

Con ci` o si intende che in x

esiste finita la f

∀k ∈ N

2

Rileviamo esplicitamente che per la sviluppabilit`a della f in serie di potenze di Taylor, cio´e per la validit`a della (5) in un punto x 6= x

o in E ⊆ [a, b], non `e sufficiente la sola ipotesi che la f ammetta derivate finite di tutti gli ordini nel punto x

, e questo perch´e la (3) potrebbe anche non convergere nel punto x 6= x

o in E e, qualora fosse anche convergente in E, potrebbe non avere ivi per somma la f. Tipico esempio `e fornito dalla funzione

f (x) =

½ e ^−1/x

se x 6= 0

0 se x = 0.

Infatti, in questo caso f

(0) esiste per ogni n ∈ N e si ha f

(0) = 0, pertanto la sua serie di Mc Laurin `e identicamente nulla e quindi convergente per ogni x ∈ R, ma non ha per somma la funzione f (x).

Sussiste la seguente caratterizzazione (che NON useremo negli esercizi):

Teorema 3 Condizione necessaria e sufficiente affinch´e la f sia sviluppabile in serie di Taylor di punto iniziale x

∈ [a, b] in un insieme E ⊆ [a, b] (E potendosi ridurre ad un solo punto x 6= x

), `e che la f sia derivabile indefinitamente nel punto x

e che il resto R n della formula di Taylor della f di punto iniziale x

tenda a zero per n → ∞ qualunque sia x ∈ E.

Un notevole criterio che esprime una condizione sufficiente per la sviluppabilit`a di una funzione in serie di Taylor di punto iniziale x

`e la seguente:

Teorema 4 Se la funzione f (x) `e indefinitamente derivabile in (a,b) e se esistono due numeri reali L ed M tali che

|f

(x)| 6 M L ⁿ ∀n ∈ N, ∀x ∈ (a, b),

allora f (x) `e sviluppabile in serie di Taylor per ogni punto iniziale x

∈ (a, b) in tutto l’intervallo (a, b).

Per le applicazioni `e utile ricordare i seguenti sviluppi in serie di Mc Laurin e i relativi insiemi di validit`a degli sviluppi stessi:

e ^x = X ∞ n=0

x ⁿ

n! , x ∈ R,

sin x = X ∞ n=0

(−1) ⁿ x

(2n + 1)! , x ∈ R,

cos x = X ∞ n=0

(−1) ⁿ x

(2n)! , x ∈ R, 1

1 − x = X ∞ n=0

x ⁿ , x ∈ (−1, 1)

log(1 + x) = X ∞ n=1

(−1) ⁿ⁺¹ x ⁿ

n , x ∈ (−1, 1]

arctan x = X ∞ n=0

(−1) ⁿ x

2n + 1 , x ∈ [−1, 1].

Osserviamo che le serie di potenze (2)sono sviluppabili in serie di Taylor e si ha

a n = f

(x

) n! .

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