1) Si cerchi una trasformazione canonica

Corso di Istituzioni di Fisica Matematica

Secondo compito parziale 18 Dicembre 2014

(usare fogli diversi per esercizi diversi)

Esercizio 1. Si consideri il sistema hamiltoniano con funzione di Hamilton H(p 1 , p 2 , q 1 , q 2 ) = H 2 H 1 (p 1 , q 1 + q 2 ), p 2 − p 1 , q 2
, p 1 , p 2 ∈ R, q ¹ , q 2 ∈ R ⁺ , con H 1 : R ² → R, H ² : R ³ → R funzioni assegnate.

1) Si cerchi una trasformazione canonica

R ² × (R ⁺ ) ² ∋ (p 1 , p 2 , q 1 , q 2 ) ^Ψ → (P

1 , P 2 , Q 1 , Q 2 ) ∈ R ² × (R ⁺ ) ² per cui il sistema nelle nuove variabili abbia una hamiltoniana della forma

K(P 1 , P 2 , Q 1 , Q 2 ) = K 2 (K 1 (P 1 , Q 1 ), P 2 , Q 2 ) con K 1 : R ² → R, K ² : R ³ → R da determinare.

2) Assumendo

H 1 (x, y) = y p

x ² + y ² , H 2 (x, y, z) = x + z p y ² + z ²

si utilizzi il metodo di Hamilton-Jacobi per trovare una funzione generatrice di una trasformazione canonica

(P 1 , P 2 , Q 1 , Q 2 ) ^Ψ → (η

1 , η 2 , ξ 1 , ξ 2 )

tale che i nuovi momenti η 1 , η 2 siano costanti del moto della forma η j = F (P j , Q j ), j = 1, 2

per una stessa funzione F : R ² → R.

Esercizio 2. Si consideri il sistema hamiltoniano con funzione di Hamilton H ǫ (I, φ) = h(I) + ǫf (I, φ), I ∈ R ⁿ , φ ∈ T ⁿ

con

h(I) = 1

2 |I| ² , f (I, φ) =

n

X

j=1

I j cos(jφ j ) + |I| ² cos ² (

n

X

j=1

φ j ).

Determinare una funzione generatrice di una trasformazione canonica vicina all’identit` a

(I, φ) 7→ ( ˜ ^Ψ I, ˜ φ)

tale che la hamiltoniana del sistema nelle variabili ( ˜ I, ˜ φ) non dipenda da ˜ φ al primo ordine in ǫ.

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