Compito Parziale di Geometria 1
15/11/2018 tempo 2h 00m
Dr. Matteo Penegini, Prof. Arvid Perego
Si risolvano gli esercizi 1 e 2 su un foglio a protocollo e gli esercizi 3 e 4 su un altro foglio.
Esercizio 1. Sia (X, d) uno spazio metrico.
(1) Dimostrare che la famiglia
B1 = {B(x)|x ∈ X, < 1}
delle palle aperte di raggio minore di 1 e centro arbitrario `e una base per la topologia indotta dalla distanza.
(2) Poniamo
e(x, y) = min{1, d(x, y)}.
Dimostrare che e(x, y) `e una distanza su X.
(3) Dimostrare che le distanze d ed e sono topologicamente equivalenti ma non equivalenti.
Esercizio 2. Sia Y = R2 e consideriamo la seguente famiglia T di sottoinsiemi di Y
A ∈ T ⇔ [(x, y) ∈ A ⇒ (−x, y) ∈ A]
(1) Dimostrare che T `e una topologia su Y . (2) Sia
A = {(x, y) ∈ Y |x = 0}.
Determinare la topologia indotta da T su A.
(3) Sia
B = {(x, y) ∈ Y |y = 0}.
Dimostrare che la topologia indotta da T sul sottospazio B non `e la topologia discreta. `E B uno spazio di Hausdorff?
(4) Sia
C := {(x, y) ∈ Y |y = 0 e − 1 < x < 2}.
Determinare la chiusura, la parte interna e il bordo di C in Y .
Esercizio 3. Sia R3dotato della topologia euclidea e si denoti con O := (0, 0, 0) ∈ R3. Sia S2 ⊂ R3 la sfera di raggio unitario centrata nell’origine O dotata della topologia indotta. Sia G il gruppo delle rotazioni di R3 attorno ad una retta fissata passante per O. Si provi che
S2/G ∼=hom[−1, 1].
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Esercizio 4. Si consideri R2con la topologia euclidea e sia d la distanza euclidea.
Siano
P = {(x, y) ∈ R2|x 6= 0} e L = {(0, y) ∈ R2}.
Per ogni z ∈ R2 e per ogni r > 0 poiniamo Br(x) la -bolla di raggio r centrata in x
Si considerino le seguenti famiglie di sottoinsiemi di R2:
• B1 := {B(z)|z ∈ P, 0 < ≤ d(z, L)} e
• B2 := {{z} ∪ (B(z) ∩ P )|z ∈ L, > 0}.
Si consideri, infine, la seguente famiglia B := B1∪ B2 di sottoinsiemi di R2. (1) Si provi che B `e una base per una topologia su R2. Da qui in poi denote-
remo con X = R2 con la topologia τ .
(2) Determinare la topologia indotta da X su L.
(3) Determinare la chiusura di L \ {(0, 0)} in L con la topologia indotta.
(4) Determinare quali assiomi di separazione Ti soddisfa X con i = 0, . . . , 4.
(5) `E X connesso o connesso per archi?
(6) `E X compatto?
