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6.18 Esercizio. Sia dato il seguente problema: min x1

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Academic year: 2021

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6.18 Esercizio. Sia dato il seguente problema:

min x

1

+ 3 x

2

− x

3

− x

4

x

1

+ x

2

+ 2 x

3

− x

4

= 2 2 x

1

− x

2

− x

3

+ x

4

= 2

x

i

≥ 0

Lo si risolva costruendo dapprima il duale, risolvendo questo per via grafica e infine ricavando l’ottimo primale dalle relazioni di complementarit` a.

Soluzione. Il duale del problema dato ` e:

max 2 u

1

+ 2 u

2

u

1

+ 2 u

2

≤ 1 u

1

− u

2

≤ 3 2 u

1

− u

2

≤ − 1

− u

1

+ u

2

≤ − 1

a cui corrisponde l’insieme ammissibile segnato in tratto grosso (con due vertici ed illimitato).

Data la funzione obiettivo l’ottimo ` e dato dall’intersezione del terzo e quarto vincolo.

2 u

1

− u

2

= − 1

− u

1

+ u

2

= − 1 = ⇒ u ˆ

1

= −2 ˆu

2

= −3

Siccome il primo e il secondo vincolo sono non attivi in ottimalit` a deve essere ˆ x

1

= ˆ x

2

= 0 (per complementarit` a). Bisogna allora risolvere

2 x

3

− x

4

= 2

− x

3

+ x

4

= 2 = ⇒ x ˆ

3

= 4, x ˆ

4

= 6

1

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