4.93 Esercizio. E convessa la seguente funzione f : ` R

(1)

4.93 Esercizio. E convessa la seguente funzione f : ` R

²

→ R?:

f (x, y) :=

 



+∞ se x

²

+ y

²

> 1

−∞ se x

²

+ y

²

< 1 valori arbitrari se x

²

+ y

²

= 1

Soluzione. L’epigrafo di f `e dato da

(x, y, z) : (x

²

+ y

²

< 1) ∨ (x

²

+ y

²

= 1 ∧ z ≥ f(x, y))

si considerino due punti arbitrari dell’epigrafo, siano (x

1

, y

1

, z

1

) e (x

2

, y

2

, z

2

) e una loro combinazione convessa

(α x

₁

+ (1 − α) x

2

, α y

₁

+ (1 − α) y

2

, α z

₁

+ (1 − α) z

2

) Preliminarmente dimostriamo che per ogni a e b reale e 0 ≤ α ≤ 1 vale

(α a + (1 − α) b)

²

≤ α a

²

+ (1 − α) b

²

e che se a = b e 0 < α < 1

(α a + (1 − α) b)

²

< α a

²

+ (1 − α) b

²

Infatti

(α a + (1 − α) b)

²

= α

²

a

²

+ (1 − α)

²

b

²

+ 2 α (1 − α) a b =

α

²

a

²

+ (1 − α)

²

b

²

+ 2 α (1 − α) a b − α a

²

− (1 − α) b

²

+ α a

²

+ (1 − α) b

²

= α (α − 1) a

²

+ (1 − α)(−α) b

²

+ 2 α (1 − α) a b + α a

²

+ (1 − α) b

²

=

−α (1 − α) (a

²

+ b

²

− 2 a b) = −α (1 − α) (a − b)

²

+ α a

²

+ (1 − α) b

²

≤ α a

²

+ (1 − α) b

²

Consideriamo adesso separatamente i tre casi (due sono simmetrici):

(x

₁

, y

₁

, z

₁

) : x

²₁

+ y

₁²

< 1, (x

₂

, y

₂

, z

₂

) : x

²₂

+ y

²₂

< 1, = ⇒

(α x

1

+(1−α) x

2

)

²

+(α y

1

+(1−α) y

2

)

²

≤ α x

²₁

+(1−α) x

²₂

+α y

²₁

+(1−α) y

₂²

< α+(1−α) = 1 (x

1

, y

1

, z

1

) : x

²₁

+ y

₁²

< 1, (x

2

, y

2

, z

2

) : x

²₂

+ y

₂²

= 1 ∧ z

2

≥ f(x

2

, y

2

), = ⇒ (α x

₁

+(1 −α) x

2

)

²

+(α y

₁

+(1 −α) y

2

)

²

≤ α x

²1

+(1 −α) x

²2

+α y

²₁

+(1 −α) y

2²

< α+(1 −α) = 1 Essendo (α x

₁

+(1 −α) x

2

)

²

+(α y

₁

+(1 −α) y

2

)

²

< 1 il valore di α z

₁

+(1 −α) z

2

`e irrilevante.

(x

1

, y

1

, z

1

) : x

²₁

+ y

²₁

= 1 ∧ z

1

≥ f(x

1

, y

1

), (x

2

, y

2

, z

2

) : x

²₂

+ y

²₂

= 1 ∧ z

2

≥ f(x

2

, y

2

), = ⇒ Anche in questo caso, per 0 < α < 1 si ha

(α x

1

+(1−α) x

2

)

²

+(α y

1

+(1−α) y

2

)

²

< α x

²₁

+(1−α) x

²₂

+α y

²₁

+(1−α) y

₂²

= α+(1−α) = 1 e quindi il valore di α z

₁

+ (1 − α) z

2

`e irrilevante.

La funzione `e pertanto convessa.

1

4.93 Esercizio. E convessa la seguente funzione f : ` R