Programma di ANALISI MATEMATICA B (CdL Matematica) Anno accademico 2014-2015
Docente: D. Donatelli
1- SPAZI METRICI E NORMATI
Spazi metrici e normati. Insiemi chiusi, aperti, punti di accumulazione, frontiera di un insieme. Esempi di norme in R^n e norme equivalenti, norme in spazi vettoriali di dimensione finita. Limiti di successioni in R^n. Proprietà di completezza e compattezza in spazi metrici e normati. Teorema del punto fisso in spazi metrici completi.
2- CONTINUITA' e DIFFERENZIABILITA'
Limiti di funzioni in R^n. Funzioni di più variabili. Limite di una funzione di più variabili.
Continuità. Insiemi di livello. Derivate di funzioni a valori vettoriali. Derivate parziali e direzionali, gradienti. Differenziale di applicazioni da R^n in R^m. Teorema del Differenziale totale. Determinante Jacobiano. Derivate e differenziali di funzioni composte.
Esempi: coordinate polari, sferiche, cilindriche. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Operatore di Laplace. Derivazioni di campi vettoriali: divergenza, rotore in 2-D e 3-D e loro proprietà formali. Legame tra rotore e parte antisimmetrica della matrice Jacobiana. Significato fisico e geometrico del rotore. Campi di forze centrali.
Sviluppo di Taylor con resto di Peano e Lagrange fino allʼordine n per funzioni più variabili a valori scalari.
3- FUNZIONI IMPLICITE E INVERSIONE LOCALE
Il Teorema di Dini per funzioni a valori scalari (dim. nel caso R^2). Funzioni implicite nel caso generale R^(n+m), R^m. Tecniche di linearizzazione. Teorema di invertibilità locale.
4- OTTIMIZZAZIONE DELLE FUNZIONI DI PIUʼ VARIABILI
Punti stazionari, condizioni necessarie. Massimi e minimi locali, selle, condizioni sufficienti sugli invarianti ortogonali della matrice Hessiana. Massimi e minimi vincolati. Significato geometrico delle ipotesi. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
5- MISURA E INTEGRAZIONE
Misura dei parallelepipedi, insiemi di misura nulla. Misura di Peano-Jordan. Somme integrali, integrabilità secondo Riemann, integrabilità delle funzioni continue. Integrale doppio e triplo. Formule di riduzione per l'integrale doppio e triplo. Cambiamento di variabili (senza dim.). Calcolo delle aree e dei volumi. Calcolo della massa e dei momenti di inerzia e del baricentro.
6- CURVE, INTEGRALI CURVILINEI E FORME DIFFERENZIALI
Curve parametriche regolari in R^n. Curve regolari a tratti. Versori tangenti, Lunghezza di una curva. Parametrizzazioni, orientamento. Ascissa cirvilinea. Integrale curvilinei di funzioni scalari. Forme differenziali come funzioni a valori nel duale. Integrazione di forme differenziali su cammini regolari. Campo vettoriali associato a una forma differenziale e lavoro compiuto su un cammino. Integrazione su cammini chiusi (circuitazione). Forme chiuse, forme esatte, esattezza implica chiusura. Campi conservativi e irrotazionali.
Rapporto con le nozioni di campo di forze irrotazionale e conservativo. Circuitazione nulla come condizione necessaria e sufficiente di esattezza. Domini stellati e semplicemente connessi, esattezza di forme chiuse in R^2 e R^3.
7- SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE
Superfici in forma parametrica, vettori tangenti alle curve coordinate, versore normale.
Parametrizzazioni, orientazione. Elemento di area. Integrali di superficie. Flusso di un campo vettoriale lungo una superficie.
8- TEOREMI DI GAUSS-GREEN, STOKES E DIVERGENZA
Formule di Gauss-Green e di Stokes nel piano. Teorema di Stokes in R^3. Teorema della divergenza in R^3
9- SUCCESSIONI DI FUNZIONI
Completezza degli spazi metrici delle funzioni limitate e delle funzioni limitate e continue.
Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Limite uniforme di funzioni continue.
Passaggio al limite sotto al segno di integrale. Passaggio al limite sotto al segno di derivata.
LIBRO DI TESTO:
C.D.Pagani, S.Salsa - Analisi Matematica - volumi 1 e 2 – Edizioni Zanichelli
