Analisi 2 - funzioni di pi`u variabili

Analisi 2 - funzioni di pi` u variabili

Andrea Minetti - andrea.minetti@gmail.com

January 28, 2011

Ciao a tutti, ecco i miei riassunti, ovviamente non posso garantire la correttezza (anzi garantisco la non totale correttezza) quindi se per caso trovate un errore se me le segnalate mi fate un favore.

Buono studio Andrea

Chapter 1

Introduzione

Consideriamo Rⁿ := R × R × · · · × R = (x¹, x2, · · · , xn) xi∈ R f : D ⊆ Rⁿ→ R^m

funzioni reali di n-variabili con m = 1

f : D ⊆ Rⁿ → R

(x1, x2, · · · , xn) 7→ f (x1, x2, · · · , xn) = y

funzioni vettoriali con m > 1 f `e funzione vettoriale: f ≡ (f1, f2, · · · , fn)

| {z }

componenti

1 ≤ j ≤ m; f_j= f_j(x₁, · · · , x_n) ∈ R caso particolare n = 2, m = 1 definisce i grafici in tre dimenzioni

f : D ⊆ R²→ R

Grafico(f ) = {(x, y, z) ∈ R³, z = f (x, y), (x, y) ∈ D(f )}

1 Curve di livello

c = f (x, y), c = cost sono le curve sul piano x,y che risolvono l’equazione.

Chapter 2

Limiti

1 Definizione

Sia (X, d) uno spazio metrico {x_n}^∞_n=1⊆ (X, d) diciamo che xn→ x per n → ∞ con n=m=1 definizione del limite sfruttando la metrica

x→xlim₀f (x) = l ⇔ |f (x) − l|

| {z }

d(f (x),l)

→ 0, per |x − x0|

| {z }

d(x,x₀)

→ 0

in generale f : (X, dx) 7→ (Y, dy) lim

x→x0

f (x) = y ⇔ d_y(f (x), y) → 0 se d_x(x, x₀) → 0 definizione metrica di limite.

2 Propriet` a

Proposizione Sia f : Rⁿ→ R^m

Allora lim_x→x0f (x) = y ⇔ ∀{x_n} ⊂ Rⁿ tale che x_n→ x0si ha f (x_n) → y, n → ∞

Osservazione tutte le propriet`a dei limiti in n = m = 1 si trasportano al caso di pi`u variabili, in particolare il teorema di Weierstrass ovvero:

Tesi Weierstrass f continuo su un chiuso e limitato ammette massimo e minimo (assoluti).

Definizione limitato E ⊆ Rⁿ `e limitato se ∃BRpalla di raggio R ovvero BR= {x ∈ R<sup>n</sup>| |x|n= dn(x, 0) < R} tale che BR> E Definizione aperto A ⊂ R<sup>n</sup> `e aperto se ∀x0∈ A∃B(x0) ovvero

B_(x₀) = {x ∈ Rⁿ|d(x, x₀) < } tale che B_(x₀) 6⊆ A Definizione chiuso C ⊂ Rⁿ `e chiuso se C<sup>C</sup>`e aperto

Chapter 3

Funzioni continue

1 Th. Weisestrass

f ∈ C⁰(x) x chiuso e limitato

⇒ f ammette massimi e minimi assoluti in X

2 Th. Zeri

f continua in E ≤ Rⁿ ( e connesso) siano x, y ∈ E tale che f (x) > 0, f (y) < 0

⇒ ∃x ∈ E|f (z) = 0

3 Th.

Le applicazioni continue preservano gli insiemi aperti

f → y continua ⇒A ⊆ y aperto ⇒ f⁻1(A) `e aperto in X

4 Propriet` a

Oss. Il teorema 3 pu`o essere preso come definizione di continuit`a

Definizione connesso E `e un insieme connesso se non pu`o essere espresso come unione disgiunta E = E₁∪ E2 E₁∩ E2= ∅ E₁, E₂aperti non vuoti

Corollario Th 3

1. Sia f continua in Rⁿ a valori in R Allora:

{x ∈ Rⁿ|f (x) > 0} `e aperto f<sup>−1</sup>(0, +∞) aperto in R 2. f continua ⇒ f<sup>−1</sup>(C) con C chiuso `e chiuso

{x ∈ Rⁿ|f (x) ≥ 0} `e chiuso f⁻¹[0, +∞) chiuso in R

Definizione frontiera E ⊆ Rⁿ, x0 ∈ Rⁿ `e di frontiera per E se comunque preso un intorno contenente x0, I(x0) si ha che I(x0) contiene punti di E (interni) e punti di E^C (esterni)

Proposizione - chiusura di E Se E ⊆ Rⁿ `e chiuso ⇔ E ≡ ¯E := E ∪ ∂E Corollario Sia xn|_n∈N⊂ E chiuso ⇒ se xn→ ¯x ∈ E per n → ∞

Chapter 4

Derivate parziali

N=1

f : R → R f⁰(x₀) := lim

n→0

f (x₀− h) − f (x0) h

| {z }

∃ finito

⇒ `e derivabile in x0⇒ f `e continua in x0

f (x) = f (x0) + f⁰(x0)(x − x0)

| {z }

approssimazione lineare

+o(|x − x0|), x → x0

N=2 In R²ci sono ∞-direzioni lungo cui considerare rapporti incrementali. Tuttavia le direzioni parallele agli assi sono ”privilegiate” e definiamo

Definizione

f : D(f ) ⊆ R²→ R, (x0, y0) ∈ D(f ) Definiamo derivate parziali risepetto a

x: ∂f

∂x(x0, y0) := lim

h→0

f (x₀+ h, y₀) − f (x₀, y₀) h

y:

∂f

∂y(x₀, y₀) := lim

k→0

f (x0, y0+ k) − f (x0, y0) h

Se esistono i limiti precedenti e sono finiti

⇒ f ammette derivate parziali in x0, y0

Dire che f ammette derivata parziale rispetto ad x in (x0, y0) ⇔ g(x) sia derivabile in x0

Osservazione Se ∃^∂f_∂x,^∂f_∂y non fornisce n`e un approssimazione lineare n`e garantisce che la fun- zione sia continua

Osservazione Il piano per (x0, y0) generato da ^∂f_∂x(x0, y0),^∂f_∂y(x0, y0) ha equazione:

z = f (x0, y0) +∂f

∂x(x0, y0)(x − x0) +∂f

∂y(x0, y0)(y0− y)

Imponiamo che tale piano approssimi linearmente f (x, y) in (x0, y0) (incremento di z = f (x, y) = incremento lungo il piano + errore lineare)

(∗) f (x0+h, y0+k)−f (x0, y0) = ∂f

∂x(x0, y0) (x0− x)

| {z }

h

+∂f

∂x(x0, y0) (y0− y)

| {z }

k

+ op

(x − x0)²+ (y − y0)²

| {z }

errore lineare

1 Definizione differenziale

f si dice differenziabile in (x0, y0) se vale (∗) Osservazioni

1. f differenziabile ⇒ approssimabile linearmente (per costruzione) 2. f differenziabile ⇒ f `e continua in (x0, y0)

Per funzioni f : D(f ) ⊂ R^N → R cambia solo la notazione

f `e differenziabile in ¯x ∈ D(f ), ¯x = (x1, x2, ..., xN) se esiste a ∈ R^N tale che f (¯x + h) − f (¯x) = a h

|{z}

incremento lineare

+ o(|h|)

| {z } errore lineare

, h → 0, h = (h₁, ..., h_N)

Se f `differenziabile allora:

a = ∇f (¯x) := ∂f

∂x1

(¯x), ∂f

∂x2

(¯x), ..., ∂f

∂xN

(¯x)



| {z }

vettore gradiente Si chiama differenziale di f in (¯x):

df (¯x) : h 7→ ∇f (¯x)h

∇f (¯x)h: indica l’incremento di f sul piano tangente

Analogamente al caso N=2 si definisce per una funzione f : R^N → R differenziabile in ¯x ∈ D(f ), l’iperpiano tangente in ¯x:

z = f (¯x) +

N

X

i=1

∂f

∂x₁(¯x)(xi− ¯xi)

| {z }

∇f (¯x)h

2 Teorema differenziabilit` a

Sia f : D(f ) ⊂ R^N → R tale che esistono _∂x^∂f_i(¯x), i = 1, ..., N dove ¯x ∈ D(f ) e sono continue in ¯x

⇒ f `e differenziabile in ¯x

Osservazione Se le derivate parziali sono continue in un aperto A ⊆ D(f ) scriviamo f ∈ C¹(A) (⇒ f differenziabile in A)

Osservazione Il teorema `e un criterio solo sufficiente per la differenziabilit`a

3 Derivate direzionali

Definizione Sia v = (v1, v2, ..., vN) ∈ R^N versore, |v|N = 1 allora v `e detta direzione D_vf (¯x) := lim

h→0

f (¯x + h v) − f (¯x)

|h|N

, h = (h₁, h₂, ..., h_N) Nel caso N=2:

D(v₁,v₂)f (x0, y0) = lim

(h₁,h₂)→(0,0)

f (x₀+ h₁v₁, y₀+ h₂v₂) − f (x₀, y₀) ph²₁+ h²₂

Se f `e differenziabile in ¯x allora:

(∗∗) Dvf (¯x) = ∇f (¯x) · v viene chiamata formula del gradiente

Dimostrazione Per ipotesi f (x + h) − f (x) = ∇f (¯x)h + o(|h|), |h| → 0 Consideriamo h = tv =, t ∈ R

f (¯x + tv) − f (¯x) = ∇f (¯x)tv + o(|tv|), |tv| → 0 Allora per t → 0

f (¯x + tv) − f (¯x)

t = ∇f (¯x)v +o|t|

t 

Conseguenza di (∗∗)

|Dvf| = |∇f · v| ≤ |∇f | · |v| = |∇f |

|∇f |: massima variazione di f.

La direzione di massima variazione `e data da

∇f

|∇f |

Osservazione La (∗∗) `e valida solo se f `e differenziabile e se |v| = 1

4 Regole di calcolo

Osservazione Le regole di calcolo delle derivate parziali valgono come nel caso ordinario 1. ∇(αf + βg) = α∇f + β∇g

2. ∇(f · g) = (∇f ) · g + f · (∇g) 3. ∇(^f_g) =(∇f )·g−f ·(∇g)

g²

Proposizione (derivazione funzioni composte) i) Consideriamo:

f : D(f ) ⊆ R^N → R g : I(g) ⊆ R → R

h(¯x) = g(f (¯x)) : D(f ) → R

Se f `e differenziabile in ¯x e g `e derivabile in f (¯x) allora h `e differenziabile in ¯x e vale

∇h(¯x) = g⁰(f (¯x))∇f (¯x) ii) Secondo caso, consideriamo: r : I ⊆ R → R^N

f : Rⁿ→ R

Sia r derivabile in t0e f differenziabile nel punto r(t0) allora g(t) = f (r(t)) `e dervabile in t0e vale:

g⁰(t0) = ∇f (r(t0)) · r⁰(t0)

Chapter 5

Ottimizzazione

Definizione f : D(f ) ⊆ R^N → R

xm`e punto di minimo per f se f (x) ≤ f (xm), ∀x ∈ Br(xm)

xM `e punto di massimo per f se f (x) ≥ f (xM), ∀x ∈ Br(xM) (Brpalla di raggio r) ovvero il segno di

f (x + r) − f (x)

≥ minimo

≤ massimo cambia segno → sella Definizione Sia f : D(f ) ⊆ R^N → R tale che ∃∇f(x0), x₀∈ D(f ) Allora x0 `e punto critico (o punto stazionario per f se

∇f (x0) = 0

1 Teorema (Fermat)

Sia f tale che ∃∇f (x₀) se x₀`e punto di massimo, minimo, sella per

∇f (x0) = 0

Dimostrazione Consideriamo g(t) = f (x₀+ tv), v ∈ R^N direzione fissata

Per il teorema di derivazione della funzione composta g `e derivabile in t = 0. Inoltre la natura del punto t = 0 per g `e la stessa di x0per f .Per il teorema di Femat (N = 1)

g⁰(0) = 0 ⇔ g⁰(t) = ∇f (x₀+ tv) · v^t=0= 0 ∀v ∈ R^N

⇒ ∇f (x0) = 0 

2 Insieme delle derivate di ordine k

Sia f ∈ C^k in x0∈ D(f ) se esistono tutte le derivate parziali di ordine k in x0 e sono continue.

Chiamiamo multindice α, (α1, α2, ..., αN) ∈ R^N, αi∈ N la cui lungheza |α| := α1+ α2+ ... + αN

Sia |α| = k

D^αf := ∂^|α|f

∂x^α_N^N...∂x^α₂²∂x^α₁¹

D^|α|f = insieme di tutte le derivate di ordine k = |α|

3 Teorema di Schwarz

Sia f : D ⊆ R^N → R e supponiamo che _∂x^∂_i²_∂x^f_j, _∂x^∂2f

j∂xi esistono e sono continue. Allora

∂²f

∂x_i∂x_j = ∂²f

∂x_j∂x_i

corollario Sia f ∈ C²(A), A

aperto

⊆ R^N ⇒ le derivate seconde miste coincidono osservazione Il Teorema di Schwarz `e solo un criterio sufficiente

4 Differenziale secondo

Definizione Sia f ∈ C²(A), A

aperto

⊆ R^N e x0∈ A. Chiamiamo differenziale secondo di f in x0: d²f (x0) : R^N → R

h = (h₁, h₂, .., h_N) 7→

N

X

i=1 N

X

j=1

∂²f

∂xi∂xj

(x₀)h_ih_j

5 Teorema (Taylor)

Sia f ∈ C²(A) Allora ∀x₀∈ A vale la formula:

f (x0+ h) − f (x0) =

N

X

i=1

∂f

∂xi

(x0)hi+1 2

N

X

i,j=1

∂²f

∂xj∂xi

(x0)hihj+ o(|h|²), |h| → 0

6 Matrice Heissiana

La matrice Heissiana `e definita come segue Hessf (x, y) =

 fxx fxy

fyx fyy



• det(Hess(x0, y0)) > 0 e tr(Hess(x0, y0)) > 0 → punto di minimo

• det(Hess(x₀, y₀)) > 0 e tr(Hess(x₀, y₀)) < 0 → punto di massimo

• det(Hess(x0, y0)) < 0 → punto sella

7 Riassumendo, criteri

Criteri per stabilire la natura di punti critici Sia (x0∈ Rⁿ|∇f (x0) = 0)

7.1 Punti critici liberi

1. via definizione i.e. studiando il segno di (f (x − f (x0))

unico strumento in dimensione n ≥ 3 se l’Hessiana `e semidefinita 2. Metodo di monotinia in n = 2 z = f (x, y) i.r. {^∂f_∂x ≥ 0 e ^∂f_∂y ≥ 0}

3. Criterio dell’Hessiana:

in n ≥ 3

H `e definita positiva ⇔ detHk> 0, ∀k ≥ 1 H `e definita negativa ⇔ (−1)^kdetHk > 0, ∀k ≥ 1 H `e semidefinita positiva ⇔ detHk≥ 0

H `e semidefinita positiva ⇔ (−1)<sup>k</sup>detHk≥ 0 H `e indefinita in tutti gli altri casi

7.2 Punti critici vincolati

1. Metodo delle restrizioni, in ”n = 2” quando il vincolo `e facilmente esplicitabile 2. Lagrange: sempre

Chapter 6

Integrali doppi

Consideriamo

[a, b] × [c, d] = R ⊂ R² I_kj quadrato infinitesimale nell’area R

Hkj= max_(x,y)∈Ikjf (x, y) hkj= min_(x,y)∈Ikjf (x, y)

V (n, m) =

n

X

k=0 m

X

j=0

|Ikj|Hkj v(n, m) =

n

X

k=0 m

X

j=0

|Ikj|hkj

Se f ∈ C⁰([a, b] × [c, d]

| {z }

R

) allora:

∃ lim

m,n→∞V (m, n) = lim

m,n→∞V (m, n) =:

Z Z

R

f (x, y)dxdy

1 Principio del Cavalieri

Se f ∈ C⁰(R) e sia f (¯x, y) = A(y) allora:

Z Z

R

f (x, y)dxdy = Z b

a

"

Z d c

A(y)dy

# dx

integrali iterati

2 Integrali iterati

2.1 Teorema

f ∈ C⁰([a, b] × [c, d]

| {z }

D

)

Z Z

D

f (x, y)dxdy = Z d

c

Z b a

f (x, y)dxdy = Z d

c

"

Z b a

f (x, y)dx

# dy =

Z b a

Z c d

f (x, y)dy

 dx

2.2 Osservazione

Sia Ω ⊂ R² dominio (connesso) limitato e pertanto ∃R rettangolo tale che Ω ⊂ R

2.3 Definizione

sia

Z Z

Ω

f (x, y) :=

Z Z

R

f (x, y)dxdye

Con

f (x, y) =e

 f (x, y), (x, y) ∈ Ω 0, (x, y) ∈ R \ Ω

2.4 Teorema

Sia f : [a, b] × [c, d] → R limitata e continua a meno di ”insiemi di misure nulla”. Allora:

f `e integrabile e valgono le formule di iterazione per il calcolo di R R

Rf (x, y)dxdy

3 Insiemi di misura nulla

3.1 Definizione

Diciamo che un insieme Ω ⊂ R `e misurabile se f (x, y) ≡ 1 `e integrabile su Ω e in tal caso

|Ω| :=

Z Z

Ω

1dxdy

Proposizione (caratterizzazione degli insiemi di misura nulla)

Ω ⊂ R² limitato `e misurabile ed ha misura nulla se e solo se incluso Rn, dove R ⊇ Ω, si ha che Ω ∩ An→ 0, n → +∞

3.2 Esempi

• grafici di funzioni continue

• insiemi finiti di punti

• Sm

n=1E_n, |E_n| ∀n = 1, ..., m

• ∂Ω ha misura nulla (se Ω-regolare)

4 x-semplice, y-semplice

4.1 Definizione

Ω ⊂ R²`e detto x-semplice su ∃h1, h2[c, d] → R continue tale che:

Ω =(x, y) ∈ R²|y ∈ [c, d] e h1(y) ≤ x ≤ h2(y) Analogamente Ω `e detto y-semplice se

Ω =(x, y) ∈ R²|x ∈ [a, b] e g1(x) ≤ y ≤ g₂(x)

4.2 Definizione omega-regolare

Ω `e detto regolare se `e unione di un numero finito di domini semplici (x-semplice o y-semplice) Osservazione Nel corso ci occuperemo solo diR R

Ωf dxdy, Ω-regolare

5 Propriet` a dell’integrale doppio

1. lineare

Z Z

Ω

(αf + βy)dxdy = α Z Z

Ω

f dxdy + β Z Z

Ω

gdxdy 2. oss.

Z Z

dxdy = |Ω| insieme di Ω

3.

f ≥ 0 ⇒ Z Z

Ω

f (x, y)dxdy ≥ 0

4. 

Z Z

Ω

f (x, y)dxdy    

≥ Z Z

Ω

|f (x, y)|dxdy ≥ sup_(x,y)∈Ω|f (x, y)| · |Ω|

5. Ω⁰⊂ Ω e f (x, y) ≥ 0

Z Z

Ω⁰

f (x, y)dxdy ≤ Z Z

Ω

f (x, y)dxdy 6. se Ω1∩ Ω2= ∅

Z Z

Ω₁∪Ω2

f (x, y)dxdy = Z Z

Ω₁

f (x, y)dxdy = Z Z

Ω₂

f (x, y)dxdy

7. |Ω| = 0 allora

Z Z

Ω

f dxdy = 0

|Ω| > 0 e f ≥ 0 allora:

Z Z

Ω

f (x, y)dxdy = 0 ⇔ f ≡ 0

infΩf |Ω| ≤ Z Z

Ω

f (x, y)dxdy ≤ sup_Ωf |Ω|

8. Se f (x, y) = h₁(x)h₂(y) = 0 allora Z b

a

Z d c

f (x, y)dxdy = Z d

c

h₁(x)dx Z b

a

h₂(y)dy

Chapter 7

Integrali tripli

Analogamente al caso 2-dimenzionale si definisce (con f continua) Z Z Z

Ω

f (x, y, z)dxdydz, Ω ⊂ R³ dominio limitato Dato R ⊇ Ω definiamo

f^∗(x, y, z) =

 f (x, y, z) (x, y, z) ∈ Ω 0 (x, y, z) ∈ R − Ω

1 Metodi di calcolo

1.1 Integrazione per fili

Sia Ω ⊂ R³ un dominio limitato

Ω =(x, y, z) ∈ R³|g1(x, y) ≤ z ≤ g2(x, y), (x, y) ∈ D dove g1, g2: D → R continue, allora:

Z Z Z

Ω

f (x, y, z)dxdydz = Z Z

D

"

Z g2(x,y) g₁(x,y)

f (x, y, z)dz

# dxdy

1.2 Integrazione per strati

Sia Ω ⊂ R³ un dominio limitato

Ω =(x, y, z) ∈ R³|h1≤ z ≤ h2, (x, y) ∈ Ω(z) dove

Ω(z) = {(x, y, z) ∈ Ω|z = z₀} allora

Z Z Z

Ω

f (x, y, z)dxdydz = Z h₂

h1

"

Z Z

Ω(z)

f (x, y, z)dxdy

# dz

Chapter 8

Integrali curvilinei

Problema Data una curva γ ⊂ R³”definire” e calcolare la lunghezza di γ.

Sia ~r : [a, b] → Rⁿ una parametrizzazione di un arco di curva γ.

Sia P = {a = t₀, t₁, ..., t_n = b} una partizione di [a, b]

l(P) :=

n

X

k=1

|r(t_j) − r(t_j−1)|

lunghezza della poligonale sottesa da γ

osservazione l(P) approssima per difetto la ”lunghezza” di γ

definizione γ si dice rettificabile se sup_P l(P) < ∞ e l(γ) definisce la lunghezza di γ

1 Teorema (Calcolo della lunghezza)

Sia ~r : [a, b] → Rⁿ parametrizzazione di γ regolare (r ∈ C¹[a, b], r⁰(t) 6= 0 ∀[a, b]).

Allora γ `e rettificabile e vale:

l(γ) = Z b

a

|r⁰(t)|dt

2 Parametro arco

Il parametro arco s `e privilegiato in quanto ha il significato intrinseco di lunghezza dell’arco di curva tra 0 e s ed `e definito da:

s(t) :=

Z t t₀

|r⁰(τ )|dτ

2.1 Versore tangente

definito da:

T := r~ ⁰(s) e

|r⁰(s)| = 1

3 Cambiamento di parametrizzazione

Sia ~r(t) : [a, b] → R curva e pensiamo di cambiare parametrizzazione mediante t = f (u); f : [c, d] → [a, b] (f ∈ C¹[c, d] e invertibile (”monotona”)) allora:

~

r(t) = ~r(f (u))

´e una nuova parametrizzazione della stessa curva, (percorsa nello stesso verso se f⁰> 0, o nel verso opposto se f⁰< 0).

Se f ´e crescente diciamo che le due parametrizzazioni sono equivalenti (se f⁰ < 0 ⇒ la curva cambia orientamento)

Chapter 9

Campi vettoriali

Sia F : Ω ⊆ Rⁿ→ Rⁿ

F = (F1, .., Fn) 1 ≤ i ≤ n : F_i: Ω → R funzioni (campi) scalari

Per n = 3: F pu`o rappresentare un campo di velocit`a, campo di forze,...

1 Definizione

Dato F : Ω ⊆ R³→ R³, F ∈ C¹(Ω), definiamo ”linea di flusso” una curva regolare che sia tangente al campo ~F in ogni punto.

Ovvero se

~

r(t) = (x)t_,y(t), z(t))

`e parametrizzazione di una linea di flusso Linee di

flusso

~r⁰(t)|| ~F ⇔ r⁰(t) = λ(t) ~F (r(t)) sono le soluzioni di







x⁰(t) = λ(t)F1(x(t), y(t), z(t)) y⁰(t) = λ(t)F2(x(t), y(t), z(t)) z⁰(t) = λ(t)F3(x(t), y(t), z(t))





 sistema di eq. differenziali di 1 ordine

Osservazione Se F : R²→ R `e ”campo” scalare, F ∈ C¹(R²) allora

−−→∇F = ∂F

∂x,∂F

∂y



: R²→ R²

`e campo vettoriale e le linee di flusso sono parallele a−−→

∇F ⊥ curve di livello di ~F

2 Operatori differenziali

2.1 Gradiente

∇ :=~ ∂

∂xi + ∂

∂yj + ∂

∂zk ∇ : C¹(R³) → C⁰(R³)

2.2 Laplaciano

∆ := ∂²

∂x² + ∂²

∂y²+ ∂²

∂z² ∆ : C¹(R³) → C⁰(R³)

2.3 Divergenza

div ~F := ∂F₁∂x + ∂F₂

∂y +∂F₃

∂z div ~F : C¹(R³) → C⁰(R³)

2.4 Rotore

rot ~F :=

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

F1 F2 F3

rot ~F : C¹(R³) → C⁰(R³)

3 Lavoro

Sia ~F un campo di forze allora:

dL_γ( ~F ) = Z

γ

F · d~~ r = Z b

a

F (~~ r(t))~r⁰(t)dt

`e il lavoro compiuto da F lungo γ

4 Campi conservativi

4.1 Definizione

F :~ Ω ⊆ R³→ R³, F ∈ C¹(Ω)

si dice conservativo in Ω se ∃U : Ω → R (funzione scalare), U ∈ C²(Ω) tale che:

F =~ −−→

∇U U `e detto potenziale

4.2 Teorema 1

Sia F un campo conservativo: Ω ⊆ R³ e γ una curva regolare parametrizzata da ~r(t), t ∈ [a, b].

Allora

Lγ( ~F ) = Z

γ

F · d ~~ R = Z b

a

F (~~ r(t))~r⁰(t)dt = U (b) − U (a)

Osservazione Il potenziale associato a un campo conservativo ~F non `e unico, U +cost `e ovunque un potenziale

4.3 Teorema 2

Le seguenti sono equivalenti 1. il campo ~F `e conservativo 2. R

γF · d~~ r = 0, ∀γ regolare CHIUSA (~r(a) = ~r(b)) 3. R

γ₁F · d~~ r =R

γ₂F · d~~ r, ∀γ1, γ2che congiungono A,B osservazioni

• Ω ⊆ R³ `e connesso

• La 2. `e utilizzata per mostrare che un campo non `e conservativo.

4.4 Proposizione

Sia ~F conservativo. Allora rot ~F = 0, si dice ~F `e irrotazionale

4.5 Semplicemente connesso

Ω `e semplicemente connesso se ”non contiene buchi”. Es R<sup>2</sup> `e semplicemente connesso, R²\{0}

4.6 Teorema 3

Sia ~F irrotazionale in Ω semplicemente connesso. Allora ~F `e conservativo

5 Osservazioni finali

• Se ~F `e irrotazionale ma su Ω NON semplicemente connesso allora NON possiamo dedurre che F `e conservativo. (Bisogna esibire un potenziale o usare il teorema 2)

• H

γF d~~ r =R

γF d~~ r con γ chiuse, i.e (~r(b) = ~r(a))

Chapter 10

Equazioni differenziali

Sia F : Rⁿ⁺²→ R e consideriamo

F (t, y(t), y⁰(t), .., y⁽ⁿ⁾(t)) = 0 t ∈ I ⊆ R

equazione differenziale di ordine ”n” dove l’incognita `e la funzione y(t) (incluso il suo dominio)

1 Equazioni differenziali del I ordine

F (t, y(t), y⁰(t)) = 0 t ∈ I ⊆ R l’equazione si dice in ”forma normale” se

y⁰(t) = f (t, y) f ∈ C⁰(Ω), Ω ⊆ R² per soluzione intendiamo y(t), t ∈ I ⊂ R che soddisfi l’equazione.

Cauchy Chiamiamo codizione di Cauchy l’ulteriore informazione y(t0) = y0

(condizione iniziale)

1.1 Teorema di esistenza e unicit` a locale

Sia f ∈ C¹(Ω), (t₀, y₀) ∈ Ω allora esiste ed `e unica la soluzione del problema di Cauchy in I(t₀)

 y⁰(t) = f (t, y) y(t0) = y0

2 Equazioni differenziali lineari del I ordine

Forma normale:

y⁰(t) = a(t)y(t) + b(t)

2.1 Teorema di struttura delle soluzioni

Le soluzioni dell’queazione sono tutte e solo le funzioni del tipo y(t) = yh(t) + yp(t)

dove yh(t) `e l’integrale dell’omogenea (b ≡ 0) e yp(t) `e una soluzione particolare

2.2 Soluzione omogenea

Data l’equazione

y⁰(t) = a(t)y(t) + b(t) Sia A(t) una primitiva di a(t) quindi

yh(t) = Ce^−A(t)

2.3 Soluzione particolare: formula di variazione delle costanti

Data l’equazione

y⁰(t) = a(t)y(t) + b(t)

Si pu`o trovare la soluzione particolare utilizzando la formula di variazione delle costanti yp(t) = e^A(t)

Z

b(t)e^−A(t)dt

3 Equazioni differenziali lineari del II ordine

Ly:= a2(t)y⁰⁰(t) + a1(t)y⁰(t) + a0(t)y(t) = f (t) dove ai(t), i = 0, 1, 2 e f (t) sono funzioni continue in I ⊆ R

Osservazione

L : C²(I) → C⁰(I) y 7→ Ly

`e applicazione lineare

L(αy1+ βy2) = αL(y1) + βL(y2) Problema di cauchy







y⁰⁰(t) + a(t)y⁰(t) + b(t)y(t) = g(t) y(t0) = y0

y⁰(t1) = y1

3.1 Teorema di esistenza e unicit` a locale

Esiste ed `unica la soluzione

y ∈ C²(I), {t0} ∈ I del problema di Cauchy. In particolare

”linearit`a” ⇔ ∃ in grande

Osservazione Non esiste in generale una formula risolutiva per eq. di II grado lineari a coefficenti non costanti. Esiste tuttavia un metodo per le eq. di II ordine lineari a coef. costanti

3.2 Teorema: formula risolutiva per eq. di II lineari a coef. costanti.

Caso omogeneo

y⁰⁰+ ay⁰+ by = 0; a, b ∈ R Polinomio caratteristico

λ²+ aλ + b = 0 Distinguiamo i 3 casi

Due soluzioni reali la soluzione `e data da

y(t) = C1e^λ1t+ C2e^λ2t con λ_1,2 soluzioni del polinomio caratteristico

Una soluzione coincidente la soluzione `e data da

y(t) = C1e^λt+ C2te^λt con λ1,2 soluzioni del polinomio caratteristico

Due soluzioni complesse la soluzione `e data da

y(t) = e^αt(C1cos(βt) + C2sin(βt))

con α parte reale della soluzione del polinomio caratteristico, β parte immaginaria

3.3 Teorema: formula risolutiva per eq. di II lineari a coef. costanti.

Ricerca soluzione particolare

Metodo di somiglianza Se la forzante `e della forma

P_me^αtcos(βt) (oppure sin(βt))

Se α + iβ non `e soluzione del polinomio caratteristico. Allora la soluzione particolare `e data da:

y_p(t) = Q_m(t)e^αtsin(βt) + R_m(t)e^αtcos(βt)

Se α + iβ `e soluzione del polinomio caratteristico. Allora la soluzione particolare `e data da:

y_p(t) =Qm(t)e^αtsin(βt) + R_m(t)e^αtcos(βt) t^ρ

4 Sistemi di eq. differenziali lineari

4.1 Trasformazione in sistema di eq. differenziale lineare di grado n

Data l’equazione nella forma

y⁽ⁿ⁾= a1(t)y⁽ⁿ⁻¹⁾+ ... + any + b(t) Siano

z1(t) := y(t), z2(t) := z₁⁰(t) = y⁰(t) z3(t) := z₂⁰(t) = y⁰⁰(t) ... zn:= z_n−1⁰ = y⁽ⁿ⁻¹⁾ Si ottiene il sistema















z⁰₁= z2

z⁰₂= z3

...

z⁰_n−1= z_n z_n⁰ = y⁽ⁿ⁾













 Sostituendo nella y⁽ⁿ⁾gli z₁, .., z_n In forma matricale si ha:

z⁰(t) = A(t)z(t) + b(t)







 z⁰₁ ...

z_n−1⁰ z_n⁰









=









0 1 ... 0

... ... ... ...

0 0 ... 1

an(t) an−1(t) ... a1(t)















 0 ...

0 b(t)









4.2 Soluzione omogenea

La soluzione omogena di un sistema lineare di eq. differenziali `e dato da:

y(t) = C₁~v₁e^λ1t+ C₂~v₂e^λ2t+ ... + C_n~v_ne^λnt

4.3 Calcolo della matrice esponenziale

Definiamo S:

S :=

~

v₁ ~v₂ ... ~v_n  con ~v1, ..., ~vn autovettori della matrice A(t)

Siano λ₁, .., λ_n autovalori della matrice A(t) quindi la matrice esponenziale viene definita:

e^A(x)= S





e^λ1x ... 0 ... ... ...

0 ... e^λnx



S⁻¹

4.4 Soluzione particolare

La soluzione particolare `e data da:

z_p(t) = Z t

0

e^A(t−s)b(s)ds

5 Equazione differenziale di eulero

Le queazioni differenziali di eulero sono le equazioni della forma:

xⁿy⁽ⁿ⁾+ a1xⁿ⁻¹y⁽ⁿ⁻¹⁾+ ... + an−1y⁰+ any = f (x) Per trovare la soluzione omogena di questa equazione si applica la sostituzione:

x =

 e^t x > 0

−e^t x < 0 da scegliere in base alle condizioni iniziali.

Nell equazione si applicano le seguenti sostituzioni (per x > 0) z(t) = y(e^t)

z⁰(t) = y⁰(e^t)e^t

z⁰⁰(t) = y⁰⁰(e^t)e^2t+ y⁰(e^t)e^t= y⁰⁰(e^t)e^2t+ z⁰(t) ...

si ottiene cos`ı un’equazione che `e possibile trattare con gli strumenti classici

6 Osservazioni qualitative sulle equazioni differenziali

6.1 Controllare l’unicit` a locale

si ha unicit`a locale se

• f (x, y) `e derivabile su I

• ^{∂f (x,y)}_∂y esiste ed `e continua

6.2 Esistenza in grande

E verificata se esiste una k che per una striscia sul dominio x ∈ [a, b] maggiora la funzione f (x, y)`

6.3 studio delle simmetrie

Studiare se la funzione presenta simmetrie.

Osservazione y `e simmetrica rispetto a y = 0 (asse x) con y(x) = −z(x) se

 y⁰ = f (x, y) y(x0) = y0

e 

z⁰ = f (x, z) z(x0) = −y0

6.4 Soluzioni particolari

osservare se ci sono soluzioni immediate (costanti) dell’equazione

6.5 Monotonie

studiare la derivata prima per capire l’andamento della funzione

6.6 Concavit` a

studio della derivata seconda

6.7 Limiti all’infinito

accertarsi che l’equazione non esploda