Programma di ANALISI MATEMATICA 2 (CdL Fisica) Anno accademico 2014-2015
Docente: D. Donatelli
1- CONTINUITA' e DIFFERENZIABILITA'
Spazi normati. Insiemi chiusi, aperti, punti di accumulazione, frontiera di un insieme.
Esempi di norme in R^n e norme equivalenti. Limiti di successioni e di funzioni in R^n.
Funzioni di più variabili. Limite di una funzione di più variabili. Continuità. Insiemi di livello.
Derivate di funzioni a valori vettoriali. Derivate parziali e direzionali, gradienti. Differenziale di applicazioni da R^n in R^m. Teorema del Differenziale totale. Determinante Jacobiano.
Derivate e differenziali di funzioni composte. Esempi: coordinate polari, sferiche, cilindriche. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Operatore di Laplace.
Derivazioni di campi vettoriali: divergenza, rotore in 2-D e 3-D e loro proprietà formali.
Legame tra rotore e parte antisimmetrica della matrice Jacobiana. Significato fisico e geometrico del rotore. Campi di forze centrali.
Sviluppo di Taylor con resto di Peano e Lagrange fino al secondo ordine per funzioni di due e più variabili.
2- FUNZIONI IMPLICITE E INVERSIONE LOCALE
Il Teorema di Dini per funzioni a valori scalari (dim nel caso R^2). Teorema di inversione locale (senza dim.)
3- OTTIMIZZAZIONE DELLE FUNZIONI DI PIUʼ VARIABILI
Punti stazionari, condizioni necessarie. Massimi e minimi locali, selle, condizioni sufficienti sugli invarianti ortogonali della matrice Hessiana. Massimi e minimi vincolati. Significato geometrico delle ipotesi. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (dim. nel caso di un solo vincolo).
4- MISURA E INTEGRAZIONE
Misura dei parallelepipedi, insiemi di misura nulla. Misura di Peano-Jordan. Somme integrali, integrabilità secondo Riemann, integrabilità delle funzioni continue. Integrale doppio e triplo. Formule di riduzione per l'integrale doppio e triplo. Cambiamento di variabili (senza dim.). Calcolo delle aree e dei volumi. Calcolo della massa e dei momenti di inerzia e del baricentro.
5- CURVE, INTEGRALI CURVILINEI E FORME DIFFERENZIALI
Curve parametriche regolari in R^n. Curve regolari a tratti. Versori tangenti, Lunghezza di una curva. Parametrizzazioni, orientamento. Ascissa cirvilinea. Integrale curvilinei di funzioni scalari. Formes differenziali come funzioni a valori nel duale. Integrazione di forme differenziali su cammini regolari. Campo vettoriali associato a una forma differenziale e lavoro compiuto su un cammino. Integrazione su cammini chiusi (circuitazione). Forme
chiuse, forme esatte, esattezza implica chiusura. Campi conservativi e irrotazionali.
Rapporto con le nozioni di campo di forze irrotazionale e conservativo. Circuitazione nulla come condizione necessaria e sufficiente di esattezza. Domini stellati e semplicemente connessi, esattezza di forme chiuse in R^2 e R^3.
6- SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE
Superfici in forma parametrica, vettori tangenti alle curve coordinate, versore normale.
Parametrizzazioni, orientazione. Elemento di area. Integrali di superficie. Flusso di un campo vettoriale lungo una superficie.
7- TEOREMI DI GAUSS-GREEN, STOKES E DIVERGENZA
Formule di Gauss-Green e di Stokes nel piano. Teorema di Stokes in R^3. Teorema della divergenza in R^3
8- SUCCESSIONI DI FUNZIONI
Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Criterio di convergenza di Cauchy per la convergenza uniforme. Limite uniforme di funzioni continue. Passaggio al limite sotto al segno di derivata. Passaggio al limite sotto al segno di integrale.
9- SERIE DI FUNZIONI
Convergenza puntuale totale e uniforme. Scambio tra derivate e serie e tra integrale e serie. Serie di potenze nel campo complesso: convergenza puntuale e uniforme. Cerchio di convergenza, determinazione del raggio. Comportamento della serie sul bordo del cerchio di convergenza. Criterio di Abel-Dirichlet (senza dim.). Teorema di Abel (senza dim.). Derivata e integrale di serie di potenze. Cenno alle serie di Taylor.
10- EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Definizioni principali: equazioni differenziali ordinarie in forma normale; ordine di un’equazione; equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine. Il problema di Cauchy: Teorema di esistenza e unicità locale (senza dim.). Prolungamento di soluzioni: teorema di esistenza globale.
Sistemi lineari del primo ordine in forma normale. Principio di sovrapposizione. Sistemi lineari omogenei. Determinante wronskiano. Matrice esponenziale. Sistemi omogenei del primo ordine a coefficienti costanti.
Equazione lineare di ordine n e sistema del primo ordine equivalente. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie e metodo di somiglianza
Sistemi autonomi. Punti critici, stabilità e instabilità. Stabilità dell’origine per sistemi lineari autonomi e classificazione dei punti critici nel caso n = 2. Integrali primi, analisi delle orbite nel piano delle fasi. Piano delle fasi e ritratto di fase qualitativo. Metodo di Liapunov, teorema di stabilità di Liapunov (senza dim.). Metodo di linearizzazione (senza dim.).
LIBRO DI TESTO:
C.D.Pagani, S.Salsa - Analisi Matematica - volumi 1 e 2 – Edizioni Zanichellli
