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Corso di Introduzione alla Topologia Algebrica - a.a. 2005-2006

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Corso di Introduzione alla Topologia Algebrica - a.a. 2005-2006 Prova scritta del 3.3.2006

1. Sia f : Y → X un rivestimento.

(a) Mostrare che, se Y ` e una variet` a topologica, anche X ` e una variet` a topologica.

(b) Mostrare che, se Y = S

2

, allora f ` e un omeomorfismo oppure f ha grado 2 e X ` e omeomorfo a P

2R

.

2. Siano D

1

, D

2

copie del disco D

2

, siano S

1

, S

2

copie di S

1

, sia A l’anello {z ∈ C : 1 ≤ |z| ≤ 2}, e sia T il toro bidimensionale. Per i = 1, 2, siano h

i

: D

i

→ S

3

e k

i

: S

i

→ S

3

immersioni (omeomorfismi sull’immagine); supponiamo che h

1

(D

1

) ∩ h

2

(D

2

) = ∅ e k

1

(S

1

) ∩ k

2

(S

2

) = ∅.

Siano ϕ : A → S

3

e χ : T → S

3

immersioni.

(a) Calcolare i gruppi di omologia di S

3

− (h

1

(D

1

) ∪ h

2

(D

2

)).

(b) Calcolare i gruppi di omologia di S

3

− ϕ(A).

(c) Calcolare i gruppi di omologia di S

3

− (k

1

(S

1

) ∪ k

2

(S

2

)).

(d) Mostrare che S

3

− χ(T ) ha esattemente due componenti connesse. Pi` u in generale,

calcolarne i gruppi di omologia.

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