Compito di Matematica Discreta e Algebra Lineare 31 ottobre 2018

(1)

Compito di Matematica Discreta e Algebra Lineare 31 ottobre 2018

Cognome e nome: . . . . Numero di matricola: . . . Corso e Aula: . . . . IMPORTANTE: Scrivere il nome su ogni foglio. Mettere TASSATIVAMENTE nei riquadri le risposte, e nel resto del foglio lo svolgimento.

Esercizio 1. (1) Dire per quali valori del parametro intero a la congruenza ax ≡ 6 (mod 8)

`

e risolubile.

(2) Determinare le soluzioni del sistema

( 3x ≡ 6 (mod 8)

5

^x

≡ 4 (mod 11)

(2)

Esercizio 2. a) Quante sono le funzioni da {1, ...., 30} a {1, ..., 30} che assumono almeno un valore maggiore di 11?

b) Quante sono quelle che assumono esattamente un valore maggiore di 11?

c) Quanti sono i sottoinsiemi di {1, ...., 30} che contengono esattamente tre numeri pari?

(3)

Esercizio 3. Consideriamo lo spazio vettoriale R

⁴

e denotiamo V il sottospazio di R

⁴

generato

dai vettori





 1 0

−1 1





 e





 3

−1

−1 3





 .

(1) Determinare equazioni cartesiane per il sottospazio V

^⊥

.

(2) Determinare una base di ortogonale di V

^⊥

.

(4)

Esercizio 4. Consideriamo lo spazio vettoriale V = Mat

3×3

(R). Sia A =





1 −2 −1

−1 1 2

1 −3 0



.

(1) Scrivere una base del nucleo dell’applicazione lineare f : R

³

→ R

³

che, rispetto alle basi standard, ` e rappresentata dalla matrice A.

(2) Sia W ⊆ V il sottospazio di V dato dalle matrici M ∈ V tali che AM = 0. Qual ` e la

dimensione di W ?