Numeri interi: divisione euclidea, divisibilit` a, massimo comune divisore e minimo comune multiplo, algoritmo di Euclide. Numeri primi, teorema di fattorizzazione unica. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero.

PROGRAMMA PRELIMINARE DI MATEDATICA DISCRETA (Modulo del corso di Matematica discreta ed Algebra Lineare)ARITMETICA

Roberto Dvornicich Anno Accademico 2017-2018

CONTENUTI

Propriet` a dei numeri naturali. Assioma di buon ordinamento e principio di indu- zione. Esempi di dimostrazioni per induzione. I numeri di Fibonacci e csuccessioni ricorrenti lineari.

Numeri interi: divisione euclidea, divisibilit` a, massimo comune divisore e minimo comune multiplo, algoritmo di Euclide. Numeri primi, teorema di fattorizzazione unica. Piccolo teorema di Fermat e funzione di Eulero.

Congruenze. Teorema cinese del resto. Equazioni e sistemi di congruenze, equazioni diofantee di primo grado. Relazioni di equivalenza e insiemi quoziente.

Struttura delle classi resto.

Criteri di divisibilit` a. NUmero dei divisori di un intero. Il piccolo teorema di Fermat. La funzione φ di Eulero. Congruenze di secondo grado e congruenze esponenziali. Il istema crittografico RSA.

Elementi di calcolo combinatorio: prodotti caretsiani, funzioni initrtive fra insie- mi finiti, numero dei sottoinsiemi, ccoefficienti bninomiali, permutaizoni, principio di inclusione-esclusione ed esercizi relativi.

Anelli di polinomi. Grado di un polinimio, algoritmo di euclide nei polinoiomi a coefficienti in un campo, massimo comune divisore. Teorema di Ruffini e principio di identit` a dei polinomi.

Fattorizzazione unica nei polinomi a coefficienti in un campo. Numeri comples- si: operazioni fondamentali e calcolo delle radici ennesime. Teorema fondamentale dell’algebra (senza dimostrazione). Polinomi irriducibili a coefficienti in C, R, Q.

Lemma di Gauss (senza diomostrazione) e calcolo delle radici dei polinomi a coefficienti interi. Relazione fra l’irriducibilte.i polinomi in Z e l’irriducibilit`a modulo p.

Criterio della derivata per le radici multiople di un poilnomio. Esiosteza di campi finiti di cardinalit` a p

per p primo e n ≥ 1. Polinomi a coefficienti razionali, reali e complessi, e nei campi con un numero primo di elementi. Propriet` a del grado e divisione euclidea. Teorema di Ruffini. Polinomi irriducibili e fattorizzazione unica.

Fattorizzazione di polinomi. Criterio di Eisenstein. Radici multiple dei polinomi e criterio della derivata.

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Numeri algebrici e numeri trascendenti. Polinomio minimo di un elemento alge- brico su un campo. Estensioni algebriche semplici. Torri di estensioni, formula dei gradi. Campo di spezzamento di un polinomio. Campi finiti. Campo di spezzamento del polinomio X

− 1 sui campi finiti.

TESTI DI RIFERIMENTO

L. Childs, Algebra, Un’introduzione concreta, ETS Editrice (in inglese: A Con- crete Introduction to Higher Algebra, Sproner UTM (1979).

Appunti delle lezioni di Alessandro Berarducci e Giovanni Gaiffi.

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