Sia t, n, b il riferimento di Frenet della curva. Si consideri la funzione σ : (−a, a) × (0, 2π) → R 3 definita da

Esame scritto di Geometria 2

Appello del 14 luglio 2017

Esercizio 1 Sia γ : R → R ³ una curva parametrizzata in parametro d’arco tale che curvatura e torsione siano rispettivamente k(s) = _2+s ¹

e τ (s) = 1.

Sia t, n, b il riferimento di Frenet della curva. Si consideri la funzione σ : (−a, a) × (0, 2π) → R ³ definita da

σ(u, v) = γ(u) + cos vn(u) + sin vb(u).

1. Si verifichi che esiste un intorno U di (0, 0) in R ² tale che la restrizione di σ ad U sia una superficie parametrizzata.

Assumiamo ora di sapere che U sia della forma U = (−a, a) × (0, 2π):

2. Si calcolino la prima forma fondamentale e la seconda forma fondamentale di S nella parametrizzazione data.

3. Si determinino i punti parabolici di S.

4. Si verifichi che per u ₀ ∈ (−a, a) fissato la curva s 7→ σ(u ₀ , s) sia geodetica.

Esercizio 2 Si consideri la funzione σ : R ² → R ³ data da σ(u, v) =

 2u

1 + u ² + v ² , 2v

1 + u ² + v ² , u ² + v ² − 1 1 + u ² + v ²



e il cammino α(t) = σ(e ^t cos t, e ^t sin t)

1. Si dimostri che σ ` e una parametrizzazione regolare di S <sup>2</sup> \ {(0, 0, 1)}, dove S <sup>2</sup> ` e la sfera unitaria in R ³ centrata in 0.

2. Si calcolino la prima e la seconda forma fondamentale nella parametrizzazione data.

3. Si mostri che α ` e una curva di lunghezza finita, calcolandone possibilmente la lunghezza in modo esplicito.

4. Sia h : S ² → R la funzione definita da h(x, y, z) = z. Fissato t 0 ∈ R si determini l’angolo formato dalla curva α e la curva C = h ⁻¹ (h(α(t ₀ ))) nel punto α(t 0 ).

Esercizio 3 Siano

B = {(x, y, z) ∈ R ³ | x ² + y ² + z ² < 9} , R ₁ = {(x, y, z) ∈ R ³ | y = z = 0}

R ₂ = {(x, y, z) ∈ R ³ | y = x = 0} R ₃ = {(x, y, z) ∈ R ³ | x = z = 0}.

1. Dimostrare che X := R ³ − (B ∪ R 1 ∪ R 2 ∪ R 3 ) ` e connesso per archi.

2. Determinare il gruppo fondamentale di X.

3. Determinare il gruppo fondamentale dello spazio

Y := ∂B ∪ {(x, y, z) ∈ R ₁ | ||(x, y, z)|| ≤ 3}.

4. Determinare il gruppo fondamentale di Y ∩ {(x, y, z) ∈ R ³ |z = 0}.

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