METODI ESISTENTI PER REGOLARE I CONTROLLORI TIPO PID
1.1 INTRODUZIONE
1.2 METODO DI ZIEGLER - NICHOLS
1.3 METODO ATV DI ASTROM-HAGGLUND 1.4 FUNZIONE DI TSYPKIN E FUNZIONE
DESCRITTIVA 1.5 METODO SATV
1.1 Introduzione
Molti controllori industriali sono di tipo Pid ( Proporzionale – Integrativo – Derivativo ).
Questi vengono ancora ampiamente utilizzati nel controllo dei processi industriali per la
loro semplicità e robustezza. Negli ultimi anni l’interesse di molti ricercatori è stato
quello di mettere a punto procedure ( regole di tuning ) per la definizione dei parametri
del controllore in funzione delle specifiche del progetto assegnate.
1.2 Metodo di Ziegler – Nichols
La scelta dei parametri dei regolatori si effettua in molti casi con metodi semiempirici. Per sistemi dinamici di basso ordine : primo, secondo, terzo ordine o sistemi dinamici con ritardo, è di largo impiego il metodo di Ziegler – Nichols [1],[7].
Questo metodo fornisce i valori dei parametri del regolatore, che si suppone collegato al processo come è indicato in figura I.2.1, in funzione di alcuni parametri della risposta al gradino del sistema controllato ( processo ). Questa molto spesso è aperiodica, del tipo rappresentato in figura I.2.2, e può considerarsi approssimata dalla risposta corrispondente alla seguente funzione di trasferimento:
Ts Ke
ts+
−
1
0
(I.2.1)
in cui i valori dei parametri si ricavano come è indicato in figura I.2.2 mandando la tangente alla curva di risposta al gradino nel punto di flesso. Con riferimento alla figura I.2.2, si definiscono i seguenti parametri caratteristici:
o t
0: Tempo di ritardo
o T : Costante di tempo
o
0 0 0
C Nt T
R = t = : Rapporto di ritardo
o T
N = C
0: Velocità di risposta
o
0 0
M
K = C : Guadagno statico ( M
0è l’ampiezza del gradino applicato)
Figura I.2.1 – Disposizione cui ci si riferisce per il metodo di Ziegler – Nichols.
Figura I.2.2 – Risposta al grdino del processo.
Il parametro T si individua tracciando la tangente alla curva di risposta al gradino nel punto di flesso. Posto:
) (
) ) (
(
'
s E
s s M
G
c= (I.2.2)
i valori dei parametri consigliati da Ziegler – Nichols sono:
= + +
= +
+
=
+ +
=
t R T
R t R
T
R Nt
K M
s s T K T
s G
d i p
d s p c
2 11
4 8 13
6 32
4 3 4 1 1 )
(
0 0
0 ' 0
' '
(I.2.3)
Un metodo alternativo per la predisposizione dei valori dei parametri che caratterizzano le varie azioni di regolazione, in modo da ottenere una risposta soddisfacente da parte del sistema in retroazione, è basato sulla determinazione della cosiddetta “banda proporzionale di pendolazione” [7]; questa è definita come il valore della banda proporzionale
0
1
K che, in assenza delle azioni integrale e derivativa del controllore PID, porta il sistema di regolazione in condizione di stabilità limite, coiè in oscillazione permanente. In tale condizione si determina il periodo di oscillazione T
0e si applicano le seguenti formule sempre dovute a Ziegler – Nichols:
=
=
=
0 0
0 '
12 . 0
5 . 0
6 . 0
T T
T T
K K
d i p
(I.2.3)
Un’altra tecnica classica per conoscere il punto critico, consiste nel trovare il punto di intersezione nel piano di Nyquist tra la G(s) del processo e l’asse reale negativo. Il punto critico viene identificato incrementando il guadagno di un controllore proporzionale finchè il sistema non raggiunge il limite di stabilità. Il punto critico viene determinato conoscendo il periodo delle oscillazioni ed infine il guadagno critico è misurato dal valore del guadagno del controllore. Un differente approccio per identificare il punto critico sul piano di Nyquist, si basa su una nota tecnica conosciuta con il nome di ATV ( Automate Tuning Variation ) proposto nel 1984 da Astrom – Hagglund.
1.3 Metodo ATV di Astrom – Hagglund
Per la regolazione dei controllori usati nei processi industriali, la stima del punto critico ( frequenza critica ed il guadagno) è suffuciente per determinare le caratteristiche del processo.
La procedura sperimentale si basa sulla considerazione che molti processi industriali esibiscono un ciclo limite stabile oscillante inserendo un relè all’interno dell’anello di reazione. La tecnica ATV (Automatic Tuning Variation) di Astrom – Hagglund [2],[3] si basa su questo principio. E’ possibile trovare l’oscillazione critica introducendo una non linearità (relè) all’interno dell’anello di reazione come in figura I.3.1.
Figura I.3.1 – Modello della tecnica ATV.
In questo modo il segnale di uscita y è sfasato rispetto al segnale di ingresso u di un angolo pari a – radiandi e pertanto, il sistema oscilla proprio con la frequenza critica
P
c1 . La tecnica Atv consente di avere risultati accurati per molti processi.
1.4 Funzione di Tsypkin e funzione descrittiva
Un ulteriore procedura di identificazione per la stima del punto critico si può ottenere anche attraverso il metodo della funzione descrittiva. Si consideri il seguente sistema con ingresso r = 0, caratterizzato da un relè con isteresi e dal processo avente una funzione di trasferimento pari a G(s) come in figura I.4.1.
Figura I.4.1 – Sistema non lineare con relè con isteresi.
Si supponga che in ingresso al relè ci sia il seguente segnale sinusoidale :
t E t
e ( ) = sin ω (I.4.1)
dove E rappresenta l’ampiezza del segnale sinusoidale in ingresso al blocco non lineare.
Se in ingresso al relè è presente un segnale sinusoidale, in uscita si ottiene un’onda
quadra avente lo stesso periodo del segnale sinusoidale ma sfasata rispetto a questa di un
angolo pari a:
h
A sin ϕ = (I.4.2)
dove il parametro h rappresenta l’isteresi del relè ed A il valore massimo del segnale di uscita u(t) come si può notare dalla figura I.4.1.
Se il segnale in uscita dal relè è un’onda quadra, applicando la trasformata serie di Fourier al segnale u(t) si ottiene:
∞
=
+
= +
0
2 1
) 1 2 sin(
) 4 (
k
k
t k t A
u ω
π (I.4.3)
La G(j ) può essere scritta nel seguente modo:
K
K
jI
R jk
G ( ω ) = + (I.4.4)
poichè
[ ( 2 k 1 ) ω ] t I [ e
j(2k 1)ωt]
sin + =
+(I.4.5)
si ottiene:
[ ] [ ]
( )
∞
= +
+ +
++
= +
0
1 2 1
2
sin ( 2 1 ) cos ( 2 1 )
1 2
1 ) 4
(
k
k
k
k t I k t
k R t A
y ω ω
π (I.4.6)
Il relè commuta quando e(t)=-y(t). Se si impongono le seguenti condizioni:
<
−
=
>
=
= =
= =
) 0 , ( )
(
) 0 , ( )
(
0 0
π π ω
ωt t
t t
dt t h de t
e
dt t h de t
e
(I.4.7)
applicando la prima della (I.4.7) otteniamo:
>
<
=
= +
−
∞
= +
=
∞
= +
0 2 1
0 0
1 2
0 , 4 0
) (
1 2 4
k k
t k
k
A R dt
t de
k A I h
π ω
π (I.4.8)
applicando la seconda della (I.4.7) otteniamo:
<
>
=
= +
∞
= +
=
∞
= +
0 1 2 0
0 1 2
0 , 4 0
) (
1 2 4
k k t
k k
A R dt
t de
k A I h
π ω
π (I.4.9)
a questo punto si può costruire la funzione di Tsypkin [5] a partire dalla G(j ) iniziale come segue:
∞
+ +
=
dispari
k
e m
k jk G j I jk G A R
j
T 2 1
) ( ) (
( 4 (
)
( ω ω
ω π (I.4.10)
Come può essere visto in figura I.4.2, il punto di intersezione tra la curva T(j ) con la retta passante per –h individua la pulsazione di oscillazione del sistema. In generale possono essere presenti più punti di intersezione; alcuni di questi punti saranno oscillazioni stabili altri oscillazioni instabili. Quando G(s) e un filtro passa basso l’analisi con la teoria di Tsypkin può essere correttamente approssimata con la teoria della funzione descrittiva. Nel caso di relè con soglia, il calcolo della funzione di Tsypkin risulta assai complesso: pertanto si pone la seguente ipotesi:
o La funzione di trasferimento G(s) del processi sia passa basso.
Figura I.4.2 – Funzione di Tsypkin nel piano di Nyquist.
Con tale ipotesi, accettabile nella maggior parte dei processi industriali, si possono trascurare le armoniche di ordine superiore ad 1 di u(t) pervenendo alla seguente funzione descrittiva:
E j h
E e E A
N ( ) = 4
− arcsinπ (I.4.11)
Il caso di interesse riguarda il relè ideale (h=0). La funzione descrittiva diventa:
E E A
N π
) 4
( = (I.4.12)
ottenibile anche come rapporto tra la componente fondamentale di u(t) e l’ampiezza del segnale sinusoidale e(t). La frequenza critica di oscillazione del sistema è quel valore ottenibile quando la fase di G(j ) è pari a -180°. Nel piano di Nyquist la precedente affermazione si traduce come mostrato in figura I.4.3 nella seguente relazione:
1+N(E)G(j )=0 (I.4.13)
Figura I.4.3 – Frequenza critica c nel caso di relè ideale (h=0).
L’ampiezza delle oscillazioni è legato al guadagno critico attraverso la seguente relazione:
E K
cA
π
= 4 (I.4.14)
poichè l’analisi con la funzione descrittiva ignora le armoniche superiori alla fondamentale, definito il residuo come:
∞
=
+
= +
3
2 1
) 1 2 sin(
4
k
k
t k
A ω
ρ π (I.4.15)
è evidente che l’accuratezza della teoria della funzione descrittiva dipende dall’ampiezza del residuo . Matematicamente l’ipotesi che G(s) deve soddisfare sono:
,...
7 , 5 , 3 , ) ( )
( jk << G j k =
G ω
cω
c(I.4.16)
e inoltre
∞
→
→ k jk
G ( ω
c) 0 , (I.4.17)
L’ipotesi fondamentale nella teoria approssimata della funzione descrittiva è avere un
processo descritto da una G(s) di tipo passa basso.
1.5 Metodo SATV
Un ulteriore metodo per la regolazione dei controllori usati nei processi industriali, è quello conosciuto come Sinusoidal Auto Tune Variation (SATV) [6]. Lo schema di principio della SATV è rappresentato in figura I.5.1.
Figura I.5.1 – Modello della tecnica SATV.
