Esame scritto di ALGEBRA 1 del 19 settembre 2011 Esercizio 1. Siano date le funzioni
ϕ : Q[x] → Q
f (x) 7→ f (0) e ψ : Q → Q[x]
q 7→ xq
(a) Si dica se la composizione ϕ ◦ ψ `e definita ed in caso affermativo, determinare tale funzione.
(b) Si dica se ϕ `e iniettiva, suriettiva, biettiva, motivando la risposta.
(c) Si dica se ψ `e iniettiva, suriettiva, biettiva, motivando la risposta.
Esercizio 2. Sia C∗ il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi non nulli e, per ogni z ∈ C∗, sia arg(z) ∈ [0, 2π), l’argomento principale di z. Sia data la relazione ρ su C∗ definita ponendo zρz0 se arg(z) = arg(z0).
(a) Si dimostri che ρ `e una relazione di equivalenza su C∗ compatibile con il prodotto in C∗.
(b) Si determinino le classi di equivalenza descrivendole come sottoinsiemi del piano di Argand-Gauss.
(c) Si determini il sottogruppo (normale) N di C∗corrispondente a ρ.
(d) Si dimostri che C∗/N `e isomorfo al sottogruppo T di C∗ i cui elementi sono i numeri complessi di modulo 1.
Esercizio 3. Sia G un gruppo. Il centro di G `e il sottoinsieme Z(G) = { x ∈ G | xy = yx per ogni y ∈ G }.
(a) Si dimostri che Z(G) `e sottogruppo normale di G.
(b) Si dimostri che ogni sottogruppo di G contenuto in Z(G) `e normale in G.
(c) Si dimostri che un sottogruppo H di G di ordine 2 `e un sottogruppo normale di G se e solo se H ⊆ Z(G).
Esercizio 4. Siano R un anello commutativo con identit`a e I un ideale di R. Si consideri il sottoinsieme
Rad(I) := {r ∈ R | rn∈ I per qualche n ∈ N}
di R, detto il radicale di I.
(a) Si dimostri che Rad(I) `e un ideale di R contenente I.
(b) Si dimostri che se R `e un dominio di integrit`a ed I `e l’ideale nullo {0}, allora anche Rad(I) `e l’ideale nullo.
(c) Siano R = Z l’anello degli interi, p ∈ Z un primo ed m ≥ 1 un intero. Si dimostri che Rad(pmZ) = pZ.
(d) Si determinino Rad(6Z) e Rad(12Z) in Z.
(e) Sia I = lZ un ideale di Z con l ≥ 1 intero. Si dimostri che Rad(I) = I se e solo se l `e prodotto di primi distinti.
Esercizio 5. Si fattorizzi x3− 1 in elementi irriducibili nell’anello (a) (Z/2Z)[x], (b) (Z/3Z)[x], (c) Q[x], (d) R[x], (e) C[x].
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