Esercizio 1. Ad un esame scritto si iscrivono 7 studenti, le cui azioni sono indipendenti.

Corsi di Probabilità, Statistica e Processi stocastici per Ing. dell’Automazione, Informatica e Inf.Gest.Azienda

16/06/2011

Esercizio 1. Ad un esame scritto si iscrivono 7 studenti, le cui azioni sono indipendenti.

i) Se ciascuno ha probabilità 0.1 di cambiare idea all’ultimo momento e non presentarsi, che probabilità c’è che il numero di presenti sia minore o uguale a 5?

ii) Trovare media e varianza della v.a. “numero di presenti”. Quale dei risultati precedenti non richiede l’indipendenza degli studenti?

Esercizio 2. Si consideri la funzione f (x) nulla per x 5 e per x 0, pari a C x per x 2 (0; 5), con parametro reale e C costante (dipendente da ) da determinare.

i) Stabilire per quali valori di e di C la funzione f (x) è una densità di probabilità, e ricavare il valore di C .

ii) Calcolare la funzione generatrice ' (t) di una v.a. X con tale densità, per = 1. E’continua in t = 0?

iii) Posto Y = log X , calcolare la densità f Y (t) di Y .

iv) Calcolare P (XZ > 1), dove Z è una Bernoulli di parametro 1/3.

Esercizio 3 . Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4; 5g associata alla seguente matrice di transizione

P = 0 B B B B

@

0 0 0 1 0

0 1=2 0 0 1=2

1=3 1=3 1=3 0 0

1=2 0 0 1=2 0

0 1=2 0 0 1=2

1 C C C C A

:

i) Qual è la probabilità, partendo da 3, di essere in 4 dopo 4 passi?

ii) Classi…care gli stati e trovare le classi irriducibili.

iii) Determinare tutte le probabilità invarianti della catena. Cercare di usare ragionamenti il più possibile strutturali e non solo calcoli alla cieca.

Esercizio 4. Siano X 1 ; :::; X ₅₀ delle gaussiane N (0; 1) indipendenti . i) Calcolare il numero tale che

P (X 1 + ::: + X 50 > ) = 0:05:

ii) Per una gaussiana N (0; 1), il momento quarto è una certa costante m 4 , che non si richiede di calcolare. Usandola, calcolare P (X ₁ ² + ::: + X ₅₀ ² > 50).

iii) Facoltativamente, calcolare m 4 .

1 Soluzioni

Esercizio 1. i) Indichiamo con X i , i = 1; :::; 7 delle Bernoulli di parametro p = 0:9, indipendenti; X i vale 1 se lo studente i-esimo si presenta. Detta S la loro somma, che è il numero di presenze, S è una B (7; p). Pertanto P (S 5) = 1 P (S = 6) P (S = 7) = 1 7 0:9 ⁶ (0:1) ¹ 0:9 ⁷ = 0:149 69:

ii) Vale E [S] = 7 0:9 = 6:3, V ar [S] = 7 0:9 0:1 = 0:63. Il risultato sulla media non dipende dall’idipendenza ma solo dalla linearità del valor medio:

E [S] = E [X ₁ ] + ::: + E [X ₇ ] = 7 0:9 = 6:3:

Esercizio 2. i) La funzione x è integrabile in x = 0 solo per < 1, altrimenti l’integrale diverge. Per < 1 vale

Z 5 0

C x dx = C x ¹ 1

5

0

= C 5 ¹ 1 quindi

C = 1 5 ¹ :

ii) Per t = 0 vale E e ^tX = 1 , mentre per t 6= 0 vale

E e ^tX = C ₁ Z 5

0

e ^tx xdx = 2 25

e ^tx t x

5

0

Z 5 0

e ^tx t dx

!

= 2 25

e ^5t

t 5 e ^5t t ²

1 t ²

= 2 25

5e ^5t t e ^5t + 1

t ² :

La funzione generatrice è continua in t = 0 in generale, per fatti generali.

Veri…chiamolo nell’esempio. Per t ! 0, ^5e

^{t e} t

⁺¹ è una forma indeterminata.

Applicando l’Hopital si ottiene lim t!0

5e ^5t t e ^5t + 1

t ² = lim

t!0

25e ^5t t + 5e ^5t 5e ^5t

2t = lim

t!0

25e ^5t t 2t = lim

t!0

25e ^5t 2 da cui si vede che la funzione generatrice è continua.

iii) Per t log 5, F Y (t) = 0, f Y (t) = 0; per t > log 5

F _Y (t) = P ( log X t) = P (log X t) = P X e ^t = 1 F _X e ^t

f _Y (t) = f _X e ^t e ^t = 1

5 ¹ e ^{( 1)t} : iv)

P (XZ > 1) = P (XZ > 1 jZ = 1) P (Z = 1) + P (XZ > 1jZ = 0) P (Z = 0)

= P (X > 1) 1

3 + P (0 > 1) 2 3 = 1

3 Z 5

1

C x dx

= 1 3 1

5 ¹

x ¹ 1

5

1

= 1 3 1

5 ¹

5 ¹ 1

1 1

= 1 3

1 3 5 ¹ :

Esercizio 3. i) In 4 passi ci sono i seguent modi di andare da 3 a 4:

3 ! 3 ! 3 ! 1 ! 4 3 ! 3 ! 1 ! 4 ! 4 3 ! 1 ! 4 ! 1 ! 4 3 ! 1 ! 4 ! 4 ! 4 per cui la probabilità richiesta vale

1 3

1 3

1

3 1 + 1 3

1 3 1 1

2 + 1 3 1 1

2 1 + 1 3 1 1

2 1

2 = 0:342 59:

ii) Gli stati 2 e 5 comunicano tra loro e con nessun altro, quindi formano una classe chiusa irriducibile. Lo stesso vale per 1 e 4. Lo stato 3 porta in 2 (ed in 1), da cui non può tornare, quindi è transitorio.

iii) Nella classe f2; 5g la matrice è bistocastica, quindi la misura invariante è ( 2 ; ₅ ) = ¹ ₂ ; ¹ ₂ . Nella classe f1; 4g il bilancio di ‡usso in 3 ci dà l’equazione

1

2 4 = ₁ a cui dobbiamo unire la 1 + ₄ = 1. Sostituendo al prima nella seconda troviamo ¹ ₂ 4 + ₄ = 1 da cui 4 = ² ₃ , e quindi 1 = ¹ ₃ . Le misure invarianti del sistema complessivo hanno quindi la forma

0; 1

2 ; 0; 0; 1

2 + (1 ) 1

3 ; 0; 0; 2

3 ; 0 = 1 3 ;

2 ; 0; 2 (1 )

3 ;

2 al variare di 2 [0; 1].

Esercizio 4. i) La v.a. S = X 1 + ::: + X ₅₀ è N (0; 50), quindi P (X ₁ + ::: + X ₅₀ > ) = 1 p

50 :

L’equazione è quindi 1 ^p ₅₀ = 0:05, ^p ₅₀ = 0:95, ^p ₅₀ = 1:65,

= 1:65 p 50.

ii) Applichiamo il TLC, osservando che le X _i ² hanno media 1 (la varianza di X i ) e varianza

V ar X _i ² = E X _i ⁴ E X _i ^{2 2} = m 4 1

P X ₁ ² + ::: + X ₅₀ ² > 50 = P X ₁ ² + ::: + X ₅₀ ² 50 p 50 p

m ₄ 1 > 0 P (Z > 0) = 1=2 dove Z N (0; 1).

iii) La funzione generatrice ' (t) di una X N (0; 1) è e

, quindi ' ⁰ (t) = ' (t) t; ' ⁰ (0) = 0

' ⁰⁰ (t) = ' ⁰ (t) t + ' (t) = ' (t) t ² + ' (t) ; ' ⁰⁰ (0) = ' (0) = 1 ' ⁰⁰⁰ (t) = ' ⁰ (t) t ² + 2' (t) t + ' ⁰ (t) = ' (t) t ³ + 3' (t) t; ' ⁰⁰⁰ (0) = 0 ' ⁰⁰⁰⁰ (t) = ' ⁰ (t) t ³ + 3' (t) t ² + 3' ⁰ (t) t + 3' (t) ; ' ⁰⁰⁰⁰ (0) = 3' (0) = 3:

Quindi m 4 = 3.