Capitolo 17:

(1)

ANALISI STATISTICA DEI DATI BIOLOGICI

Capitolo 17:

La regressione

Michael C. Whitlock • Dolph Schluter

(2)

(3)

Pigmento nero sul naso ed età dei leoni

(4)

Procedura in forma grafica per la retta dei minimi quadrati.

(5)

Linear regression

With bivariate data, we can choose to predict Y on the basis of X : Y = ↵ + X + " (" error).

For each value x _i of X , there are:

y _i (observed value) and y ˆ _i = ↵ + x _i (predicted value).

↵ and are chosen to minimize P _n

i=1 (y _i y ˆ _i ) ² .

20 30 40 50 60 70 80

100120140160180200220

A regression

eta

pressione

obs. - pred.

ˆ =

P _n

i=1 (y _i y )(x ¯ _i x) ¯ P _n

i=1 (x _i x) ¯ ² ˆ

↵ = ¯ y ˆ¯x.

Formulae similar to correlation,

but interpretation very di↵erent.

(6)

L’ipotesi della regressione in forma grafica

(7)

Il significato dei parametri

(8)

La retta di regressione dell’età sul pigmento del naso

(9)

Incertezza nella previsione della media e del singolo valore

(10)

Capitolo 17:

ANALISI STATISTICA DEI DATI BIOLOGICI

Capitolo 17:

La regressione

Michael C. Whitlock • Dolph Schluter

Pigmento nero sul naso ed età dei leoni

Procedura in forma grafica per la retta dei minimi quadrati.

Linear regression

With bivariate data, we can choose to predict Y on the basis of X : Y = ↵ + X + " (" error).

For each value x _i of X , there are:

y _i (observed value) and y ˆ _i = ↵ + x _i (predicted value).

↵ and are chosen to minimize P _n

i=1 (y _i y ˆ _i ) ² .

ˆ =

P _n

i=1 (y _i y )(x ¯ _i x) ¯ P _n

i=1 (x _i x) ¯ ² ˆ

↵ = ¯ y ˆ¯x.

Formulae similar to correlation,

but interpretation very di↵erent.

L’ipotesi della regressione in forma grafica

Il significato dei parametri

La retta di regressione dell’età sul pigmento del naso

Incertezza nella previsione della media e del singolo valore

Decomposition of variance

Mathematically, linear regression is equivalent to analysis of variance

SStotal = SSmodel + SSresidual.

SStot = X n

i=1

(y _i y ) ¯ ² SSmod = X n

i=1

(ˆ y _i y ) ¯ ² SSres = X n

i=1

(ˆ y _i y _i ) ² .

R ² = SSmodel SStotal

(can be used to judge the predictive value of the regression)

F = SSmodel

SStotal/(n 2) to test the hypothesis = 0.

Capitolo 17:

ANALISI STATISTICA DEI DATI BIOLOGICI

Capitolo 17:

La regressione

Michael C. Whitlock • Dolph Schluter

Pigmento nero sul naso ed età dei leoni

Procedura in forma grafica per la retta dei minimi quadrati.

Linear regression

With bivariate data, we can choose to predict Y on the basis of X : Y = ↵ + X + " (" error).

For each value x i of X , there are:

y i (observed value) and y ˆ i = ↵ + x i (predicted value).

↵ and are chosen to minimize P n

i=1 (y i y ˆ i ) 2 .

ˆ =

P n

i=1 (y i y )(x ¯ i x) ¯ P n

i=1 (x i x) ¯ 2 ˆ

↵ = ¯ y ˆ¯x.

Formulae similar to correlation,

but interpretation very di↵erent.

L’ipotesi della regressione in forma grafica

Il significato dei parametri

La retta di regressione dell’età sul pigmento del naso

Incertezza nella previsione della media e del singolo valore

Decomposition of variance

Mathematically, linear regression is equivalent to analysis of variance

SStotal = SSmodel + SSresidual.

SStot = X n

i=1

(y i y ) ¯ 2 SSmod = X n

i=1

(ˆ y i y ) ¯ 2 SSres = X n

i=1

(ˆ y i y i ) 2 .

R 2 = SSmodel SStotal

(can be used to judge the predictive value of the regression)

F = SSmodel

SStotal/(n 2) to test the hypothesis = 0.

For each value x _i of X , there are:

y _i (observed value) and y ˆ _i = ↵ + x _i (predicted value).

↵ and are chosen to minimize P _n

i=1 (y _i y ˆ _i ) ² .

P _n

i=1 (y _i y )(x ¯ _i x) ¯ P _n

i=1 (x _i x) ¯ ² ˆ

(y _i y ) ¯ ² SSmod = X n

(ˆ y _i y ) ¯ ² SSres = X n

(ˆ y _i y _i ) ² .

R ² = SSmodel SStotal