DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI FISICA MATEMATICA A.A. 2014/2015
CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA MECCANICA
DANIELE ANDREUCCI
DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA
VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY
1
Presentazione del corso.
Equazioni alle derivate ordinarie e alle derivate parziali.
Esempio di e.d.p. banale:
ut= u
1 + x2 , x ∈ R , t > 0 . Esempio dell’equazione
ut+ cux = 0 , x ∈ R , t > 0 ; integrazione per caratteristiche.
Caso dell’equazione
ut− cux = 0 , x ∈ R , t > 0 . Deduzione dell’equazione delle onde
utt− c2uxx = 0 , dalle due precedenti.
Deduzione dell’equazione della corda vibrante dalle equazioni di moto.
Deduzione dell’equazione del calore [della diffusione] dalla legge di Fourier [di Fick].
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.1, 1.4.
2
2. Mercoledì 1/10/2014
Soluzioni dell’equazione della corda vibrante a variabili separabili: il caso
u(x, t) = [k1cos(√
λct) + k2sin(√
λct)][k3cos(√
λx) + k4sin(√ λx)] . Soluzioni dell’equazione del calore a variabili separabili: il caso
u(x, t) = exp(−λDt)[k1cos(√
λx) + k2sin(√ λx)] .
Per casa 2.1. Gli altri casi, anche per l’equazione di Laplace in
dimensione 2.
Problemi al contorno, condizioni del tipo di Dirichlet e di Neumann.
Soluzioni a variabili separabili di problemi al contorno per l’equazione del calore (Neumann) e l’equazione delle onde (Dirichlet).
Separazione delle variabili in dimensione spaziale maggiore di 1.
Problemi agli autovalori per il laplaciano, con condizioni al contorno di Dirichlet e di Neumann.
Definizione di coppia autofunzione/autovalore.
Similitudine con gli autovettori/autovalori di matrici.
Teorema 2.2. Tutti gli autovalori del problema di Dirichlet per il la- placiano sono positivi.
Tutti gli autovalori del problema di Neumann per il laplaciano sono non negativi, e lo zero è un autovalore.
Paragrafi di riferimento sul testo: 3.1, 5.1, 5.2.
3
Risoluzione per separazione delle variabili di:
utt− c2∆ u = 0 , (x, y) ∈ (0, π) × (0, π) , t > 0 , u(x, y, t) = 0 , x ∈ ∂Ω , t > 0 ,
u(x, y, 0) = sin(x) sin(3y) , (x, y) ∈ (0, π) × (0, π) , ut(x, y, 0) = 0 , (x, y) ∈ (0, π) × (0, π) . Identità di Green.
Teorema 3.1. Due autofunzioni dello stesso problema per il laplaciano, corrispondenti ad autovalori diversi, sono ortogonali.
Analogia con il caso di autovettori di matrici simmetriche.
Esercizio 3.2. Calcolo di tutte le autofunzioni per il problema di
Dirichlet (in dimensione 1).
Integrale generale di un sistema lineare di e.d.o. a coefficienti costanti y0 = Ay come
y(t) =
N
X
n=1
cneλntvn,
se {vn} è una base di autovettori di A con Avn = λnvn. Equazione differenziale soddisfatta da
α(t) = y(t) · vn.
Sviluppo della soluzione del problema di Dirichlet per l’equazione delle onde in serie di autofunzioni; scelta delle condizioni al bordo per le autofunzioni (uguali a quelle nel problema). Condizione
Z
Ω
ϕn(x)ϕm(x) dx =
(1 , n = m , 0 , n 6= m .
Esercizio 3.3. Calcolo di tutte le autofunzioni per il problema di
Neumann (in dimensione 1).
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.6, 5.2, 5.3.
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4. Lunedì 6/10/2014
Problemi al contorno, condizioni di Neumann e di Dirichlet. Caso delle equazioni evolutive e dell’equazione di Poisson.
Condizione necessaria per l’esistenza di soluzioni del problema di Neumann per l’equazione di Poisson e suo significato.
Teorema 4.1. Se u risolve l’equazione delle onde utt − c2uxx = 0 in un rettangolo, allora u(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct).
Teorema 4.2. Il problema di Cauchy per l’equazione delle onde ha un’unica soluzione data dalla formula di D’Alembert.
Esercizio 4.3. 1) Dimostrare che l’equazione delle onde governa fenomeni reversibili.
2) Dimostrare che l’equazione del calore governa fenomeni irreversibili.
Paragrafi di riferimento sul testo: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 3.3, 10.1.
5. Mercoledì 8/10/2014
Velocità finita di propagazione del segnale nell’equazione delle onde e conseguenze nella formula di D’Alembert; dominio di influenza.
Funzioni non costanti con derivate nulle in aperti non normali.
Problema della completezza del sistema delle autofunzioni.
Prodotto scalare tra funzioni. Norma di una funzione.
Proprietà di simmetria, linearità e positività del prodotto scalare.
Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e triangolare.
Riflessioni pari e dispari di funzioni intorno a un punto arbitrario.
Applicazioni all’equazione della corda vibrante.
Esercizio 5.1. 6/300; 17/320.
Per casa 5.2. 14/320.
Paragrafi di riferimento sul testo: 7.1, 10.1.
5
Riflessioni di dati per problemi al contorno in intervalli limitati.
Esercizio 6.1. 14/320.
Proposizione 6.2. Se i dati sono pari [dispari] la soluzione data dalla formula di D’Alembert è pari [dispari].
Corollario 6.3.
|kf k − kgk| ≤ kf − gk . Definizione di convergenza fn→ f in L2(I).
Esempio 6.4. Comportamento di
fn(x) =
nα− nα+1x , 0 < x < 1 n,
0 , 1
n ≤ x < 1 ,
al variare di α > 0.
Corollario 6.5. Se fn → f allora kfnk → kf k.
Corollario 6.6. Se fn → f allora
(fn, g) → (f, g) , e se PnFn = F allora
(F, g) =
+∞
X
n=1
(Fn, g) . Sistemi ortogonali.
Teorema 6.7. Un insieme di funzioni ortogonali due a due (e non nulle) sono linearmente indipendenti.
Corollario 6.8. Lo spazio L2(I) ha dimensione infinita come spazio vettoriale.
Per casa 6.9. 3/300
Paragrafi di riferimento sul testo: 7.1, 7.2, 10.6.
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7. Lunedì 13/10/2014
Analisi qualitativa delle soluzioni date dalla formula di D’Alembert.
Propagazione delle perturbazioni dovute a u(x, 0) e di quelle dovute a ut(x, 0).
Concetto di dipendenza continua delle soluzioni dai dati.
Dipendenza continua mediante la formula di D’Alembert.
Esercizio 7.1. 5/310
Soluzioni deboli per l’equazione delle onde.
Esercizio 7.2. Problema dell’impulso concentrato: 3/310. Cenno alla
delta di Dirac.
Paragrafi di riferimento sul testo: 10.1, 10.4, 10.5.
8. Mercoledì 15/10/2014
Migliore approssimazione di soluzioni con sistemi ortonormali.
Definizione di sistema ortonormale completo.
Serie sviluppo di una funzione in un sistema ortonormale completo.
La disuguaglianza di Bessel.
Sistemi ortonormali completi e identità di Parseval.
Corollario 8.1. Il s.o. {ϕn} è completo se e solo se per ogni f , g ∈ L2(I) vale
(f, g) =
+∞
X
n=1
(ϕn, f )(ϕn, g) . I sistemi di Fourier, dei seni e dei coseni.
Esercizio 8.2. 2, 5/605; 2, 4/600.
Paragrafi di riferimento sul testo: 7.3, 7.4.
7
Teorema 9.1. Il sistema di Fourier è completo in L2(−π, π).(s.d.) Teorema 9.2. Il sistema dei seni e quello dei coseni sono completi in L2(0, π).
Trasformazione di un sistema ortonormale completo in L2(c, d) in un sistema ortonormale completo in L2(a, b).
Esercizio 9.3. 4, 9/610.
Per casa 9.4. 17/620.
Paragrafi di riferimento sul testo: 8.1, 8.2, 8.3.
10. Lunedì 20/10/2014
Soluzioni dell’equazione di Laplace in coordinate polari a variabili separabili (in R2). Vari casi di ammissibilità delle soluzioni ottenute.
Esercizio 10.1. Applicazioni a problemi al contorno in settori di piano
e in corone circolari.
Il principio del massimo debole per funzioni armoniche (∆ u = 0), subarmoniche (∆ u ≥ 0), superarmoniche (∆ u ≤ 0).
Il principio del massimo forte (s.d.).
Il Lemma di Hopf (s.d.).
Esercizio 10.2. Applicazioni del principio di massimo e del lemma di
Hopf.
Per casa 10.3. Dimostrare che la soluzione di
∆ u = 0 , x2+ y2 < 1 , u(x, y) = cos(xy + 1) , x2+ y2 = 1 ,
soddisfa u(x, y) = u(y, x).
Paragrafi di riferimento sul testo: 3.2, 4.1, 4.5.
8
11. Mercoledì 22/10/2014
Teorema 11.1. Se f ∈ C1([−π, π]), f (−π) = f (π) allora la sua serie di Fourier converge uniformemente.
Esercizio 11.2. 14/605.
Il fenomeno di Gibbs.
Teorema 11.3. (s.d.) Prodotti di sistemi ortonormali completi: se {ϕn} è completo in A e {ψm} è completo in B, allora {ϕnψm} è completo in A × B.
Applicazione al caso delle autofunzioni del laplaciano in rettangoli, con varie condizioni al bordo.
Sistemi ortonormali completi a doppio indice.
Teorema 11.4. (s.d.) I sistemi
2
√π sin(2n + 1)x | n ≥ 0
2
√πcos(2n + 1)x | n ≥ 0
sono completi in L2((0, π/2)).
Esercizio 11.5. 21/620; 1/625.
Paragrafi di riferimento sul testo: 8.2, 8.4, 8.5, 8.7.
9
Ricapitolazione sul metodo di Fourier. Casi degli intervalli e dei prodotti di intervalli.
Teorema di Sturm-Liouville sulla completezza dei sistemi di autofunzioni del laplaciano.
Cenno al metodo di Gram-Schmidt per l’ortonormalizzazione di autofunzioni.
Teorema 12.1. (Stima dell’energia) La soluzione del problema al contorno di Dirichlet (o di Neumann) per l’equazione del calore nell’aperto Ω soddisfa
sup
0<t<T
Z
Ω
u(x, t) dx + 2
ZT
0
Z
Ω
D|∇ u(x, τ )|2dx dτ = 2
Z
Ω
u(x, 0) dx .
Lemma 12.2. (Gronwall) Se y ∈ C1([0, T ]) è una funzione positiva, c, k > 0 e se
y0(t) ≤ cy(t) + k , t > 0 , allora
y(t) ≤ [y(0) + kc−1]ect− kc−1, t ∈ [0, T ] .
Per casa 12.3. Stima dell’energia nel caso di equazione del calore non
omogenea.
Teorema 12.4. Lo sviluppo in serie di autofunzioni della soluzione al problema di Neumann per l’equazione del calore non omogenea converge alla soluzione.
Esercizio 12.5. 9/605; 12/600.
Per casa 12.6. 20/610.
Paragrafi di riferimento sul testo: 6.2, 9.1.
10
13. Lunedì 27/10/2014
Esercizio 13.1. 2, 11/430.
Applicazioni del principio di massimo per l’equazione di Laplace:
Teorema 13.2. La soluzione del problema di Dirichlet è unica.
Teorema 13.3. La soluzione del problema di Dirichlet dipende con continuità dai dati.
Interno parabolico, frontiera parabolica.
Il principio di massimo debole per l’equazione del calore.
Il principio di massimo forte e il lemma di Hopf per l’equazione del calore.
Esercizio 13.4. 4, 10/420.
Per casa 13.5. 1/430.
Paragrafi di riferimento sul testo: 4.2, 4.3, 4.4, 4.6.
14. Mercoledì 29/10/2013
Autofunzioni e autovalori del problema di Dirichlet per il laplaciano nel caso del cerchio; funzioni di Bessel.
Esercizio 14.1. 7/630.
Il problema della lunghezza critica; trasformata esponenziale e analisi di Fourier.
Paragrafi di riferimento sul testo: 9.5, 13.1.
11
Derivazione dell’equazione di Laplace in teoria dell’elasticità: il principio di Dirichlet.
Teorema 15.1. Se u minimizza J (u) =
Z
Ω
|∇ u|2dx , u ∈ K = {u ∈ C2(Ω) | u = u0 su ∂Ω} , (15.1) allora u risolve
∆ u = 0 , in Ω, (15.2)
u = u0, su ∂Ω. (15.3)
Teorema 15.2. Se vale (15.2)–(15.3) allora u minimizza J come in (15.1).
Condizioni alla frontiera del tipo di Robin:
∂ u
∂ν = −αu , α > 0 .
Segno di soluzioni di problemi per l’equazione omogenea del calore con condizioni di Robin al bordo: non possono prendere minimimi negativi (o massimi positivi) sulla frontiera per t > 0.
Confronto con soluzioni del problema con dati di Dirichlet nulli.
Per casa 15.3. Trovare l’equazione degli autovalori per il problema con dati di Robin per il laplaciano sull’intervallo (0, L). Dimostrare che il primo autovalore di Robin è minore del primo autovalore di Dirichlet.
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.3, 6.4.
12
16. Lunedì 3/11/2014
Principio di Duhamel. Esempio di applicazione all’e.d.o. y0 = ay +f (t).
Applicazione al problema di Cauchy per l’equazione delle onde non omogenea.
Esercizio 16.1. 1, 5/350.
Se u(x, t) = v(|x|, t) è una soluzione radiale dell’equazione delle onde in R3 allora rv(r, t) è soluzione dell’equazione delle onde in R.
Onde sferiche.
Armoniche e onde stazionarie.
Soluzioni dell’equazione del calore con dato iniziale sin(nx) e loro decadimento.
Esercizio 16.2. 15/420.
Per casa 16.3. 25/420; 21, 25/470.
Paragrafi di riferimento sul testo: 3.3, 10.2, 12.1, 12.2.
17. Lunedì 10/11/2014
Derivazione dell’equazione della diffusione come modello per il moto browniano.
Cammino medio. Soluzione fondamentale dell’equazione del calore come distribuzione di probabilità.
Esercizio 17.1. 21/470.
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2.
13
Delta di Dirac.
Nuclei di approssimazione, convoluzioni.
Teorema 18.1. Se {ϕλ} è una famiglia di nuclei di approssimazione e f : RN → RN è una funzione limitata, allora
f ∗ ϕλ(x) → f (x) , per ogni x ∈ RN ove f è continua, per λ → 0.
Proposizione 18.2. Se m ≤ f ≤ M e i ϕλ sono nuclei di approssimazione, allora m ≤ f ∗ ϕλ ≤ M .
Risoluzione di problemi al contorno in rettangoli per l’equazione di Laplace con serie di autofunzioni nel rettangolo.
Esercizio 18.3. 10/630.
Paragrafi di riferimento sul testo: 11.1, 11.2.
19. Venerdì 14/11/2014
Formula di rappresentazione della soluzione del problema di Dirichlet nel semispazio per l’equazione di Laplace. Teorema di esistenza e unicità per soluzioni limitate.
Teorema 19.1. Se il dato al bordo soddisfa m ≤ u0 ≤ M , allora la soluzione del problema di Dirichlet nel semispazio per l’equazione di Laplace soddisfa m ≤ u ≤ M .
Se il dato iniziale è integrabile in RN allora la soluzione soddisfa
|u(x, y)| ≤ C
yN , y > 0 . Famiglie di nuclei di approssimazione nella forma
ϕλ(x) = 1 λNϕ
x λ
.
Esercizio 19.2. 4, 11/530; 17/610.
14
20. Lunedì 17/11/2014
Formula di rappresentazione della soluzione del problema di Cauchy per l’equazione del calore. Teorema di esistenza e unicità per soluzioni limitate.
Teorema 20.1. Se il dato iniziale soddisfa m ≤ u0 ≤ M , allora la soluzione del problema di Cauchy per l’equazione del calore soddisfa m ≤ u ≤ M .
Se il dato iniziale è integrabile in RN allora la soluzione soddisfa
|u(x, t)| ≤ C
tN2 , t > 0 . Effetto regolarizzante dell’equazione del calore.
Propagazione con velocità infinita.
Teorema 20.2. (s.d.) Se u è la soluzione del problema di Cauchy per l’equazione del calore, corrispondente al dato iniziale non negativo u0, vale che per ogni ε > 0 esiste Cε > 0 tale che
Z
{|x|≤Cε
√Dt+L}
u(x, t) dx ≥ (1 − ε)
Z
{|x|≤L}
u0(x) dx ,
per ogni u0 ≥ 0, L > 0.
Ottimalità della stima asintotica
u(x, t) ≤ costante tN2
per soluzioni non negative del problema di Cauchy per l’equazione dl calore.
Esercizio 20.3. 15/520.
15
Dimostrazione del teorema
Teorema 21.1. Se u è la soluzione del problema di Cauchy per l’equa- zione del calore, corrispondente al dato iniziale non negativo u0, vale che per ogni ε > 0 esiste Cε > 0 tale che
Z
{|x|≤Cε
√ Dt+L}
u(x, t) dx ≥ (1 − ε)
Z
{|x|≤L}
u0(x) dx ,
per ogni u0 ≥ 0, L > 0.
Teorema 21.2. Se u è la soluzione del problema di Cauchy per l’equa- zione del calore, corrispondente al dato iniziale non negativo u0, vale che
u(x, t) ≥ c0
(Dt)N2 , |x| ≤ C√
Dt , t ≥ t0, ove c0 > 0 e C > 0 dipendono da u0, L, t0 e D.
Il metodo di Galerkin; confronto con il metodo di Fourier.
Caso dell’equazione del calore con diffusività discontinua:
ut−D(x)ux
x = f (x) . Soluzione esplicita nel caso stazionario.
Condizioni di interfaccia e loro significato modellistico.
Per casa 21.3. Impostazione del problema degli autovalo- ri/autofunzioni del problema di Dirichlet per l’equazione del calore con
diffusività costante a tratti.
Esercizio 21.4. Esercizio analogo al 17/530 per l’equazione del calore.
Paragrafi di riferimento sul testo: 11.5, 14.1, 14.5.
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22. Venerdì 21/11/2014
Soluzioni fondamentali dell’equazione di Laplace in RN. Identità di Stokes.
Significato locale del laplaciano. Interpretazione dal punto di vista delle equazioni evolutive.
Formula della media per funzioni armoniche.
Esercizio 22.1. 20, 26/430.
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.6.
23. Lunedì 24/11/2014
Corda vibrante con carico:
• il caso stazionario con carico regolare (soluzione esplicita);
• il caso stazionario con carico concentrato
−c2uxx = pδ(x − a) , 0 < x < L .
(soluzione esplicita limite di soluzioni con carico regolare dato da nuclei di approssimazione);
• le condizioni di interfaccia o salto
[u] = 0 , [ux] = −p c2 , e il loro significato modellistico;
• il caso evolutivo con carico concentrato (soluzione secondo Duhamel del problema di Cauchy con dati iniziali nulli).
Esercizio 23.1. 10/300.
Paragrafi di riferimento sul testo: 14.2, 14.3.
17
Corda vibrante con carico concentrato, caso evolutivo; risoluzione con il metodo di Fourier.
Corda vibrante con carico concentrato; il caso evolutivo con carico dipendente linearmente dall’incognita:
utt− c2uxx = −pu(a, t)δ(x − a) , 0 < x < L . Applicazione del metodo di Galerkin.
Risoluzione con il metodo di Fourier, ossia sviluppo della soluzione in un opportuno sistema ortonormale di autofunzioni, soluzioni non identicamente nulle in C ([0, L]) di
−ϕ00 = λϕ , x ∈ (0, a) ∪ (a, L) ; ϕ0(a+) − ϕ(a−) = p
c2ϕ(a) , ϕ(0) = ϕ(L) = 0 .
Per casa 24.1. 1) Se (ϕ, λ) è come sopra, allora λ > 0.
2) Se (ϕi, λi), i = 1, 2, sono come sopra con λ1 6= λ2, allora
L
Z
0
ϕ1(x)ϕ2(x) dx = 0 .
L’equazione
− ∆ u = pδ(x − x0) , x ∈ RN . Definizione di soluzione debole.
Dimostrazione dell’esistenza di una soluzione debole (soluzione fondamentale) mediante l’identità di Stokes.
Esercizio 24.2. 29/420.
Paragrafi di riferimento sul testo: 14.3, 14.4.
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25. Venerdì 28/11/2014
Il bilaplaciano.
Le autofunzioni del laplaciano lo sono anche del bilaplaciano; autovalori corrispondenti.
Teorema 25.1. Se ∆ u = 0 allora ∆2(xiu) = 0 e ∆2(|x|2u) = 0.
Il bilaplaciano in R2
Soluzioni radiali del bilaplaciano:
1 , r2, r2ln r , ln r .
Risoluzione del problema radiale in r2 = x2+ y2 < R2
∆2u = p , 0 < r < R , u(R) = 0 ,
ur(R) = 0 .
La piastra di lunghezza infinita con carico concentrato sul segmento y = 0. Risoluzione per serie di seni.
Paragrafi di riferimento sul testo: 14.7.
26. Lunedì 1/12/2014
Trasformata di Fourier.
Applicazione alla ricerca della soluzione fondamentale per l’equazione del calore.
Esercizio 26.1. 3/470; 1/490 (problema a frontiera libera). Paragrafi di riferimento sul testo: 15.1, 15.2, 15.3.
19
Approssimazione della soluzione fondamentale in R2 di
∆ u = −pδ con soluzioni di
∆ uε = − p
πε2χBε(0).
Approssimazione della soluzione fondamentale in R2 di
∆2u = pδ con soluzioni di
∆2uε= p
πε2χBε(0).
Esercizio 27.1. 25/480; 16/630.
Paragrafi di riferimento sul testo: 14.6, 14.7.
28. Venerdì 5/12/2014
Teorema 28.1. La soluzione di
ut− ∆ u = F (x, t) , x ∈ Ω , t > 0 , u(x, t) = 0 , x ∈ ∂Ω , t > 0 , u(x, 0) = u0(x) , x ∈ Ω ,
soddisfa
Z
Ω
u(x, t)2dx ≤ et
Z
Ω
u0(x)2dx +
Zt
0
Z
Ω
F (x, τ )2dx dτ
.
Dimostrazione del principio di massimo forte per funzioni subarmoni- che.
Lemma 28.2. La proprietà della media per superfici sferiche equivale a quella per sfere solide.
Esercizio 28.3. 7, 25/520.
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.6, 4.1, 6.2.
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29. Mercoledì 10/12/2014
Trasformata di Laplace e sue proprietà.
Applicazioni alla risoluzione di problemi di Cauchy per equazioni differenziali ordinarie.
Applicazione alla risoluzione di problemi ai valori iniziali e al contorno per l’equazione del calore.
Esercizio 29.1. 1, 3/960.
Paragrafi di riferimento sul testo: 16.1, 16.2, 16.3.
30. Venerdì 12/12/2014
Forma complessa delle serie di Fourier.
Esercizio 30.1. Studio della derivata temporale della soluzione fon- damentale dell’equazione del calore.
Teorema di Liouville per funzioni armoniche non negative.
Cenno al metodo delle caratteristiche per e.d.p. del primo ordine.
Uso di funzioni barriera nel problema di Stefan. Paragrafi di riferimento sul testo: 8.8.
31. Lunedì 15/12/2014
Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del secondo ordine in due variabili: iperboliche, paraboliche, ellittiche.
Esempi di tecniche per equazioni ellittiche in forma di divergenza.
Esercizio 31.1. 25/470; 9, 36/480.
Paragrafi di riferimento sul testo: 18.1, 18.2, 18.3.
32. Mercoledì 17/12/2014
Commenti al metodo delle soprasoluzioni per l’equazione del calore.
Esercizio 32.1. 1/110; 4, 9/350; 15/420; 19/620. FINE DEL CORSO
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