DIARIO DELLE LEZIONI DEL CORSO DI ANALISI MATEMATICA II 2016-2017
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA GESTIONALE
DANIELE ANDREUCCI
DIP. SCIENZE DI BASE E APPLICATE PER L’INGEGNERIA UNIVERSITÀ LA SAPIENZA
VIA A.SCARPA 16, 00161 ROMA, ITALY
Le dimostrazioni fanno parte del programma, salvo quando viene esplicitamente indicato il contrario con il simbolo (s.d.).
Riferimenti:
• AM: seconda edizione di M.Bertsch, R.Dal Passo, L.Giacomelli, Analisi Ma- tematica;
• BPS: M.Bramanti, C.D.Pagani, S.Salsa, Analisi Matematica II ;
• EDO: versione del 2016-09-10 degli Appunti su Equazioni Differenziali Ordi- narie presente sul sito del corso.
Gli esercizi indicati nella forma n/m (esercizio n del gruppo m) sono riferiti alla versione del 2016-09-10 degli Esercizi d’esame e di controllo reperibili sul sito del corso, mentre quelli indicati con AB sono riferiti al testo
D.Andreucci, A.M. Bersani, Risoluzioni di problemi d’esame di Analisi Matematica II
1. Martedì 4/10/2016
Presentazione del corso.
Vettori di RN; RN come spazio vettoriale, somma di vettori, moltiplicazione per uno scalare. Prodotto scalare tra vettori.
Vettori paralleli e ortogonali. Versori. Basi ortonormali; la base canonica.
Esercizio 1.1. Trovare un vettore normale a (a, b, 0), con e senza il vincolo che
appartenga al piano x3= 0.
Normale a un piano; normale nel piano a una retta.
Funzioni vettoriali da un intervallo in RN. Definizione 1.2. Si dice che
t→tlimO
f (t) = L ∈ RN, se e solo se
t→tlim0
|f (t) − L| = 0 .
Teorema 1.3.
t→tlim0f (t) = L ∈ RN ⇐⇒ lim
t→t0fi(t) = Li, i = 1, . . . , N . Definizione di funzione vettoriale continua in un punto.
Corollario 1.4. La funzione vettoriale f è continua se e solo se tutte le sue componenti scalari lo sono.
Funzioni a valori vettoriali come parametrizzazioni di curve.
Esempio 1.5. Circonferenza.
Ellisse.
Elica circolare.
Spigolo {(0, −t) | −1 ≤ t ≤ 0} ∪ {(t, 0) | 0 < t ≤ 1}. Per casa 1.6. Scrivere in forma parametrica:
perimetro del rettangolo (a, b) × (c, d);
ellisse ottenuta intersecando le superfici di R3: x2+y2= R2(cilindro) e x+y+z = 0 (piano);
una curva di forma ‘spirale’ nel piano.
Paragrafi di riferimento sul testo: BPS 2.1, 2.2.
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2. Mercoledì 5/10/2016
Definizione di arco di curva continua, di sostegno dell’arco di curva, di riparametrizzazione di un arco di curva.
Curve chiuse e semplici.
Definizione 2.1. Si definisce derivata di r : (a, b) → RN per ogni t ∈ (a, b) r0(t) = lim
h→0
r(t + h) − r(t)
h .
La derivabilità di r equivale a quella delle sue componenti scalari; le componenti della derivata sono le derivate delle componenti. Classi di regolarità Ck((a, b)).
Regole di derivazione per somma e prodotto con scalari e per il prodotto scalare tra vettori.
Definizione di arco di curva regolare. Definizione di versore tangente per archi rego- lari. Esempio dello spigolo riparametrizzato in modo da essere C1 (ma ovviamente non regolare):
r(t) =( (0, t2) , − 1 ≤ t ≤ 0 , (t2, 0) , 0 ≤ t ≤ 1 .
Retta tangente come miglior approssimazione lineare della curva regolare.
Curve in forma polare ρ = f (θ). Vettore tangente per curve nella forma polare.
Esercizio 2.2. Spirale ρ = θ. Elica.
Caso della parametrizzazione cartesiana (il parametro è una coordinata cartesiana).
Esempio 2.3. Il caso della circonferenza: non si può scegliere sempre la x1 (o la
x2) come parametro.
Per casa 2.4. 1) Se una curva r(t) per ogni t appartiene a un piano fissato, anche il vettore tangente giace sullo stesso piano.
2) Quali delle seguenti curve sono regolari, o possono essere riparametrizzate in modo da essere regolari?
r(t) = (R cos(t3), R sin(t3)) , −√3
π < t < √3 π ; r(t) = (t2, t3) , − 1 < t < 1 , r(t) = (t6, t3) , − 1 < t < 1 , r(t) = (t2, t|t|) , − 1 < t < 1 .
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 12.1, BPS 2.3.
3. Giovedì 6/10/2016
Cambiamento di parametrizzazione (locale) da curva regolare a rappresentazione cartesiana. Esempio della circonferenza.
Insiemi aperti e chiusi, frontiera di un insieme.
Insiemi di livello di funzioni di più variabili: {x | f (x) = k}.
Esempio 3.1. Determinare gli insiemi di livello delle funzioni f (x, y) = x , (x, y) ∈ R2; f (x, y) = x2− y2, (x, y) ∈ R2; f (x, y, z) = x2+ y2+ z2, (x, y, z) ∈ R3.
Per casa 3.2. Determinare gli insiemi di livello delle funzioni
f (x, y) = exp
(x − 1)2+ y2
, (x, y) ∈ R2; f (x, y, z) = x2+ y2− z2, (x, y, z) ∈ R3.
Definizione di limite di una funzione di più variabili f : A → R. Continuità.
Teorema 3.3. (Weierstrass) Una funzione continua su un limitato e chiuso ammette ivi massimo e minimo.
Insiemi connessi.
Teorema 3.4. Sia f : A → R continua in A connesso. Siano x1, x2 ∈ A con f (x1) > 0 e f (x2) < 0. Allora esiste x3∈ A tale che f (x3) = 0.
Derivate parziali in un insieme aperto.
Controesempio: la derivabilità non implica la continuità.
Grafici di funzioni. Equazione del piano tangente al grafico (nel caso N = 2) in (x0, y0) come unico piano (se esiste) che contiene i due vettori tangenti delle due curve coordinate
r1(x) = (x, y0, f (x, y0)) , r2(y) = (x0, y, f (x0, y)) .
Per casa 3.5. Supponendo che il piano tangente esista, determinarlo in ogni punto del dominio naturale delle seguenti funzioni:
z = cos(x2+ y2) , z = 1
x + y, z = exp(xy) .
Determinare i punti ove il piano è orizzontale.
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 10.2, 10.3, 11.1; BPS 3.1, 3.2, 3.3, 3.4.
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4. Martedì 11/10/2016
Definizione di funzione differenziabile da RN in R.
Proposizione 4.1. Se f è differenziabile in x0∈ RN allora è continua in x0 e ivi derivabile; il suo gradiente coincide con il differenziale.
Teorema 4.2. (s.d.) Se f : A → R ha derivate in un intorno di x0 che sono continue in x0 allora è differenziabile in x0.
Spazi Ck(A).
Corollario 4.3. Se f ∈ C1(A) allora è differenziabile in A.
Piano tangente di funzioni differenziabili e C1(A), normale ν = (∇ f, −1)
p|∇ f|2+ 1. Esempio 4.4. (1) Esplicitazione locale della superficie
x2+ y2+ z2= R2. (2) Calcolo del piano tangente di
z = arctgy
x, x > 0 .
Teorema 4.5. Sia f : A → R, r : I → A ⊂ RN, I intervallo, f ∈ C1(A), r ∈ C1(I). Allora
g : I → R , g(t) = f (r(t)) , t ∈ I , soddisfa g ∈ C1(I) e
g0(t) = ∇ f (r(t)) · r0(t) .
Per casa 4.6. Calcolare la derivata di f (r(t)), e studiarne il significato geometrico, nei seguenti casi
f (x, y, z) = x2+ y2+ z2; f (x, y, z) = y
x, x 6= 0 ; r(t) = (t, 2t, 3t) , t ∈ R ; r(t) = (1, 0, t) , t ∈ R ;
r(t) = (2 cos t, 3 sin t, 0) , 0 < t < 2π .
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 11.1, 11.2; BPS 3.4.
Dimostrazione del Teorema 4.5 mancante su AM:
Dimostrazione. Calcoliamo g0(t) = lim
h→0
f r(t + h) − f r(t)
h
= lim
h→0
f r(t) + hr0(t) + A1(h) − f r(t)
h 1
5. Mercoledì 12/10/2016
Teorema 5.1. Sia f ∈ C1(A), A aperto di RN, h ∈ C1(R). Allora g : A → R , g(x1, . . . , xN) = h(f (x1, . . . , xN)) , è in C1(A) e
∂ g
∂xj = h0(f )∂ f
∂xj , j = 1, . . . , N . Definizione di derivate direzionali Dvf .
Teorema 5.2. Se f è differenziabile in P0 allora per ogni versore v Dvf (P0) = ∇ f (P0) · v .
Direzioni di massima e di minima crescita.
Esercizio 5.3. Trovare le direzioni di massima e minima crescita di f (x, y) = y
x, x > 0 .
Se N = 2 il gradiente è ortogonale alle curve di livello. Caso particolare di curva di livello in forma cartesiana.
Esercizio 5.4. Calcolare, ammettendo che la curva di livello f = 0 abbia la rappresentazione y = g(x) in un intorno di (0, 0), le derivate g0(0) e g00(0), ove
f (x, y) = xey+ yex.
Teorema 5.5. (s.d.) (Dini) (N = 2) Sia f ∈ C1(A), A ⊂ R2 aperto. Se in (x0, y0) ∈ A valgono
f (x0, y0) = 0 , ∂ f
∂y(x0, y0) 6= 0 , allora esiste un δ > 0 tale che
(1) esiste g ∈ C1(x0− δ, x0+ δ) tale che g(x0) = y0 e f (x, g(x)) = 0 , |x − x0| < δ ; (2) se |x − x0| < δ, |y − y0| < δ e f (x, y) = 0 allora y = g(x).
Corollario 5.6. Con la notazione del teorema precedente, per δ > 0 opportuno,
g0(x) = −
∂ f
∂x(x, g(x))
∂ f
∂y(x, g(x)), |x − x0| < δ .
Dato che il teorema del Dini e il suo corollario valgono scambiando i ruoli di x e y, segue che se ∇ f (x, y) 6= 0 in un punto (x, y), la curva di livello che passa per (x, y) ha una parametrizzazione regolare cartesiana in una delle due coordinate.
Per casa 5.7. Studiare la regolarità delle curve di livello di f (x, y) = x2− y2, f (x, y) = x3+ y3− 3xy ,
in ogni loro punto.
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 11.1, 13.1; BPS 3.4, 3.8.6
6. Giovedì 13/10/2016
Teorema 6.1. (s.d.) (Dini) (N = 3) Sia f ∈ C1(A), A ⊂ R3 aperto. Se in (x0, y0, z0) ∈ A valgono
f (x0, y0, z0) = 0 , ∂ f
∂z(x0, y0, z0) 6= 0 , allora esiste un δ > 0 tale che
(1) esiste g ∈ C1((x0− δ, x0+ δ) × (y0− δ, y0+ δ)) tale che g(x0, y0) = z0 e f (x, y, g(x, y)) = 0 , |x − x0| < δ , |y − y0| < δ ;
(2) se |x − x0| < δ, |y − y0| < δ, |z − z0| < δ e f (x, y, z) = 0 allora z = g(x, y).
Corollario 6.2. Con la notazione del teorema precedente, per δ > 0 opportuno,
∂ g
∂x(x, y) = −
∂ f
∂x(x, y, g(x, y))
∂ f
∂z(x, y, g(x, y)), ∂ g
∂y(x, y) = −
∂ f
∂y(x, y, g(x, y))
∂ f
∂z(x, y, g(x, y)), |x−x0| < δ , |y−y0| < δ . Esercizio 6.3. Studio della regolarità delle superfici di livello di:
f (x, y, z) = x5+ y2z , f (x, y, z) = z arctg(xy) − z + 2 .
Piano tangente a superfici di livello come piano normale al gradiente (se questo non è nullo).
Per casa 6.4. Studiare la regolarità delle superfici di livello di f (x, y, z) = zex+ y ln x − 3x cos y − 2 , x > 0, y, z ∈ R .
Trovare anche il piano tangente all’insieme di livello opportuno in (1, 0, 0). Derivate parziali del secondo ordine e teorema di Schwarz (s.d.). La matrice hessiana è simmetrica per funzioni C2.
Formula di Taylor con resto di Peano per funzioni C2 di N variabili (s.d.). Cenno alla relazione con la formula di Taylor per funzioni di una variabile.
Superfici di rotazione z = g(p
x2+ y2).
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 11.3, 11.4, 13.1; BPS 3.5, 3.8.
7. Martedì 18/10/2016
Richiamo sulla formula di Taylor scritta per f (x) a partire da quella di g(t) = f (x0+ t(x − x0), t ∈ [−1, 1], x0, x ∈ RN.
Esempio 7.1. Calcolo della formula di Taylor in (0, 0) per le funzioni:
x2− y2; cos x + cos y .
Per casa 7.2. Calcolo della formula di Taylor in (0, 0) per le funzioni:
cos x + sin y ; x2− y2+ x .
Definizione di punti di estremo locale.
Teorema 7.3. (Fermat) Sia f : A → R, A ⊂ RN aperto. Se f ha un estremo locale in x0∈ A e f è derivabile in x0 allora ∇ f (x0) = 0.
Esempio 7.4. Trovare i possibili punti di estremo per x2− y2; cos x + cos y .
Per casa 7.5. Trovare i possibili punti di estremo per
cos(xy) ; p
x2+ y2.
Forme quadratiche. Definizione di forma quadratica (e matrice simmetrica) definita positiva, definita negativa, indefinita. Forme quadratiche semidefinite.
Teorema che lega il segno della forma quadratica ai segni degli autovalori della matrice della forma.
Caso particolare della matrice 2 × 2; test del segno del determinante e di a11. Paragrafi di riferimento sul testo: AM 11.4, 11.6; BPS 3.5, 3.6.
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8. Mercoledì 19/10/2016
Definizione di punto di sella, di estremi locali stretti (o forti), di estremi assoluti (o globali).
Lemma 8.1. 1) Se la forma q è definita positiva, esistono due costanti positive c2≥ c1> 0 tali che
c1|x|2≤ q(x) ≤ c2|x|2, ∀x ∈ RN.
1) Se la forma q è definita negativa, esistono due costanti positive c2≥ c1> 0 tali che
−c2|x|2≤ q(x) ≤ −c1|x|2, ∀x ∈ RN. Le forme quadratiche sono parabole se ristrette a rette per l’origine.
Lemma 8.2. Se una forma q è indefinita esistono due versori u e v e due costanti positive c1 e c2 tali che
q(tu) = c1t2, q(tv) = −c2t2, ∀t ∈ R .
Teorema 8.3. Sia f ∈ C2(A), con A ⊂ RN aperto. Sia x0∈ A un punto critico.
Allora:
1) Se Hf(x0) è definita positiva, x0 è un punto di minimo locale stretto.
2) Se Hf(x0) è definita negativa, x0 è un punto di massimo locale stretto.
3) Se Hf(x0) è indefinita, x0 è un punto di sella.
Esercizio 8.4. Trovare e classificare i punti critici di 3x2+ y2− yx3; 1
2(x2+ y2) + x ; y − 2 sin(xy) .
Per casa 8.5. Trovare e classificare i punti critici di
ex(x − 1)(y − 1) + (y − 1)2; −2 sin(xy) ; p16 − (x − 2)2− (y − 5)2.
Metodi speciali per funzioni speciali; il caso delle funzioni radiali.
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 11.6; BPS 3.6.
9. Giovedì 20/10/2016
Teorema 9.1. Sia f ∈ C2(A), A ⊂ RN aperto, x0∈ A punto critico per f . 1) Se x0 è un punto di minimo locale, allora Hf(x0) è semidefinita positiva.
2) Se x0 è un punto di massimo locale, allora Hf(x0) è semidefinita negativa.
Esempio 9.2. Casi con Hessiana semidefinita e vari comportamenti in (0, 0):
f (x, y) = x2+ y4, f (x, y) = x2− y4.
Esercizio 9.3. Studio dei punti critici di
f (x, y) =p
16 − (x − 2)2− (y − 5)2
(anche con trasformazione di variabile),
e di
f (x, y) = xy(x + 1) ,
f (x, y) = x3+ 2x2+ x + y3+ 2y2+ y , f (x, y) = sin(xy)3
, l’ultimo anche con cambiamento di variabile.
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 11.6; BPS 3.6.
10. Martedì 25/10/2016
Esercizio 10.1. Studiare i punti critici delle funzioni:
f1(x, y) = x3+ y3− 3xy , (x, y) ∈ R2; f2(x, y) = x2− xy + y2− 2x + y , (x, y) ∈ R2;
f3(x, y) = x + sin x + 7y2− π , (x, y) ∈ R2. Dimostrazione che f2 ha minimo assoluto.
Trovare massimi e minimi assoluti di
f (x, y) = (sin x)(sin y)[sin(x + y)] , (x, y) ∈ [0, π] × [0, π] .
Per casa 10.2. Studiare i punti critici delle funzioni:
f (x, y) = x3− 3xy2+ y3, (x, y) ∈ R2; f (x, y) = e2x+3y(8x2− 6xy + 3y2) , (x, y) ∈ R2;
f (x, y) = x2y3(6 − x − y) , (x, y) ∈ R2; f (x, y) = (5x + 7y − 25)e−(x2+xy+y2), (x, y) ∈ R2.
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11. Mercoledì 26/10/2016
Vincolo come curva di livello g(x, y) = c. Punto regolare per il vincolo.
Teorema 11.1. (Moltiplicatori di Lagrange N = 2) Siano f , g ∈ C1(A), A ⊂ R2 aperto. Se (x0, y0) è regolare per il vincolo g = c ed è anche di estremo locale per f vincolata a g = c, allora esiste λ ∈ R tale che
∇ f (x0, y0) = λ ∇ g(x0, y0) . Uso del sistema di Lagrange
∂ f
∂x(x, y) = λ∂ g
∂x(x, y) ,
∂ f
∂y(x, y) = λ∂ g
∂y(x, y) , g(x, y) = c .
Esercizio 11.2.
f (x, y) = x + y , g(x, y) = x2+ y2= 1 ; f (x, y) = x2y +y5
5 , g(x, y) = x2+ y4= 1 .
Se f ∈ C2(A), A ⊂ RN aperto ha una curva regolare di punti critici, la sua matrice hessiana in ciascuno di tali punti ha un autovalore nullo. Dunque in R2 il test (sufficiente) della matrice hessiana non si può applicare in tali punti.
Esempio 11.3. Studio dei punti critici di
f (x, y) = cos(x2+ y2) , (x, y) ∈ R2.
Per casa 11.4. Studiare i problemi di estremo vincolato
f (x, y) = x2+ y2, g(x, y) = 5x2+ 6xy + 5y2= 8 ; f (x, y) = (cos x)2+ (cos y)2, g(x, y) = x − y = π
4. Studiare i punti critici di
f (x, y) = (xy − 2)2, (x, y) ∈ R2.
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 13.2, 13.3; BPS 4.6.
12. Giovedì 27/10/2016
Vincolo g(x, y, z) = c in R3. Punti regolari per il vincolo.
Teorema 12.1. (Moltiplicatori di Lagrange N = 3) Siano f , g ∈ C1(A), A ⊂ R3 aperto. Se (x0, y0, z0) è regolare per il vincolo g = c ed è anche di estremo locale per f vincolata a g = c, allora esiste λ ∈ R tale che
∇ f (x0, y0, z0) = λ ∇ g(x0, y0, z0) . Esercizio 12.2. Studio del problema di estremo vincolato
f (x, y, z) = x2+ y2+ z2, g(x, y, z) = ax + by + cz = d .
Esercitazione: studiare gli estremi vincolati
f (x, y) = (cos x)2+ (cos y)2, g(x, y) = x − y = π 4. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange e di sostituzione (cenno).
Esempio 12.3. Minimizzazione della somma delle distanze (al quadrato) da due
punti nel piano.
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 13.2, 13.4; BPS 4.6.
13. Mercoledì 2/11/2016
Definizione di soluzione di equazione differenziale. La soluzione se è derivabile è C1.
Esempio 13.1. Controllare se y = e−te y = −e−t sono soluzioni di ˙y = |y|.
Trovare tutte le soluzioni di ˙y = |y|.
Grafici di soluzioni: curve (t, y(t)) di RN +1; orbite di soluzioni: curve y(t) di RN. Definizione di soluzioni di un problema di Cauchy. Le soluzioni possono differire per il dominio di definizione.
Definizione di soluzioni massimali del problema di Cauchy.
Definizioni di istante iniziale, valore iniziale o dato di Cauchy, punto iniziale.
Separazione delle variabili. Caso di
˙
y = 1 + y2.
Esercizio 13.2. 1/020.
Paragrafi di riferimento sul testo: EDO 1.1, 1.3; AM 17.2; BPS 1.2.
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14. Giovedì 3/11/2016
Teorema 14.1. (Disuguaglianza di Gronwall) Sia y ∈ C1([α1, α2]).
Se vale
|y0| ≤ λ(|y| + σ) , in [α1, α2], con λ ≥ 0, σ ≥ 0 costanti, allora
|y(t)| + σ ≤ eλ|t−a|(|y(a)| + σ) , per ogni α1≤ a, t ≤ α2. (14.1) Definizione di integrale di una funzione vettoriale. Linearità; linearità per il prodotto scalare con una costante.
Teorema fondamentale del calcolo per funzioni vettoriali.
Corollario 14.2. Sia r ∈ C1([a, b]), r : [a, b] → RN con | ˙r| ≤ C. Allora
|r(b) − r(a)| ≤ C(b − a) .
Definizione di funzione lipschitziana. Interpretazione geometrica.
Esercizio 14.3. 3, 4/250.
Per casa 14.4. 1, 2, 5/250.
Paragrafi di riferimento sul testo: EDO 1.3; AM 12.1, 17.2; BPS 1.2, 2.3, 8.3.
15. Martedì 8/11/2016
Definizione di funzione localmente lipschitziana rispetto alle ultime N variabili.
Criteri di lipschitzianità.
Ipotesi standard su F : Ω → RN, Ω ⊂ RN +1aperto: F continua su Ω e localmente lipschitziana in Ω rispetto alle ultime N variabili.
Teorema 15.1. Siano u e v due soluzioni locali dei corrispondenti problemi di Cauchy per i punti iniziali (a, b) e (α, β). Allora, se tali soluzioni sono definite entrambe (almeno) su un intervallo J , a, α ∈ J , e hanno grafico contenuto in un compatto C di Ω, si ha
|u(t) − v(t)| ≤ eL|t−a| |b − β| + M |a − α| , ∀t ∈ J . Qui L è la costante di Lipschitz e M è il massimo di |F | su C.
16. Mercoledì 9/11/2016
Inizio della dimostrazione del teorema di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy del primo ordine.
Passaggio all’equazione integrale. Equivalenza con il problema di Cauchy.
Definizione per ricorrenza della successione yn: assumendo che il limite esista, allora è continuo, e se si può passare al limite sotto il segno di integrale, il limite risolve l’equazione integrale e quindi il problema di Cauchy.
Esercizio 16.1. Studio qualitativo della soluzione di y0= arctg(x + y) , y(0) = 1 .
AB 4.36.
Per casa 16.2. Risolvere il problema
y0= x + y , y(0) = 1 .
Confrontare la soluzione con lo studio di quella del problema sopra.
Paragrafi di riferimento sul testo: EDO 1.4; AM 17.2; BPS 8.1.
17. Giovedì 10/11/2016
Completamento della dimostrazione del teorema di esistenza e unicità locale di soluzioni del problema di Cauchy:
1) la successione yn(t) definita per ricorrenza è di Cauchy e quindi converge a y(t);
2) si ha
t
Z
a
F (τ, yn(τ )) dτ →
t
Z
a
F (τ, y(τ )) dτ , n → +∞ .
(La dimostrazione di questi due passi non fa parte del programma di esame.)
Esercizio 17.1. 5/430; AB 4.22.
Paragrafi di riferimento sul testo: EDO 1.4; AM 17.2; BPS 8.1.
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18. Martedì 15/11/2016
Problemi di Cauchy per F : Ω → RN, con Ω ⊂ RN +1 aperto.
Definizione di soluzione massimale del problema di Cauchy.
Lemma 18.1. Se z è soluzione dell’e.d.o., definita in (t0, t1], t1< ∞, allora esiste una soluzione ˜z definita in (t0, t1+ δ) per un δ > 0 opportuno tale che z ≡ ˜z in (t0, t1].
Teorema 18.2. (s.d.) Esiste unica soluzione massimale del problema di Cauchy;
il suo intervallo di definizione è aperto.
Teorema 18.3. (s.d.) Una soluzione massimale definita in (σ, Σ) esce definitivamente da qualunque compatto per t → Σ−.
Corollario 18.4. 1) Se Ω limitato e se Σ < +∞, per t → Σ− vale dist (t, y(t)), ∂Ω → 0 .
2) Se Ω = (r, s) × RN e se Σ < s allora |y(t)| diviene illimitato per t → Σ−.
Esercizio 18.5. 11/480; 3/600.
Trovare tutte le soluzioni massimali di y0 = |y|.
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.5; BPS 8.1, 8.2.
19. Mercoledì 16/11/2016
Teorema 19.1. Se |F (t, y)| ≤ γ(|y|), con
+∞
Z
1
ds
γ(s) = +∞ ,
allora tutte le soluzioni massimali di y0 = F (t, y) sono limitate sugli intervalli limitati, anche aperti.
Caso particolare della γ lineare:
γ(s) = As + B , A, B ≥ 0.
Esercizio 19.2. AB 4.40.
Problemi di Cauchy per equazioni del secondo ordine. Riduzione a problemi del primo ordine (di dimensione doppia).
Soluzioni di equazioni del secondo ordine si possono intersecare solo con derivate prime diverse.
Metodo di sostituzione y0= p(y) per equazioni y00= f (y, y0) , e di sostituzione y0(t) = u(t) per equazioni
y00= f (t, y0) .
Esercizio 19.3. AB 4.23; 1/360.
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.2, 1.5; AM 17.2; BPS 8.1, 8.2.
16
20. Giovedì 17/11/2016
Sistemi lineari di e.d.o..
Caso dei coefficienti costanti: soluzioni della forma eλtv, ove v è un autovettore della matrice dei coefficienti con autovalore λ.
Le soluzioni sono definite globalmente (ossia nell’intervallo J ove sono definiti e continui i coefficienti).
C1(J ) come spazio vettoriale.
Teorema 20.1. Combinazioni lineari di soluzioni sono ancora soluzioni.
Corollario 20.2. L’insieme S delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di C1(J ).
Concetto di lineare indipendenza in S.
Teorema 20.3. {yi} ⊂ S è linearmente indipendente in S se e solo se {yi(t0)} ⊂ RN è linearmente indipendente come sottoinsieme di RN.
Teorema 20.4. Le N soluzioni corrispondenti agli N problemi di Cauchy con dati iniziali assegnati come una base di RN sono una base di S.
Corollario 20.5. dim S = N .
Esercizio 20.6. 1/360 con la sostituzione y = q(y0).
AB 4.34.
Per casa 20.7. 2, 3/360.
Paragrafi di riferimento sul testo: 2.1; AM 17.6; BPS 8.2.
21. Martedì 22/11/2016
Integrale generale del sistema differenziale lineare.
Definizione di matrice risolvente. Integrale generale nella forma matriciale (prodotto di una matrice risolvente per un arbitrario vettore di costanti).
Definizione di matrice di transizione (o risolvente canonica).
Esercizio 21.1. Trovare matrice risolvente e di transizione in t = 1 di x01= 2x2
t2 , x02= x1.
Lemma 21.2. Se Y(t) è una matrice risolvente, allora Y(t)Y(t0)−1è di transizione in t0.
Teorema 21.3. Se Φ(t, t0) è una matrice di transizione in t0, allora Φ(t, t0)u0 risolve il problema di Cauchy con dato u0.
Ogni altra matrice con la stessa proprietà coincide con Φ(t, t0); in particolare la matrice di transizione è unica.
Esercizio 21.4. Risoluzione del sistema
x01= tx2, x02= −tx1,
e calcolo della matrice di transizione in t = 0.
Per casa 21.5. Trovare matrice risolvente e di transizione in t = 1 del sistema x01= 2x1+ tx2,
x02= −2 tx1−1
tx2.
Paragrafi di riferimento sul testo: 2.2; AM 17.6; BPS 8.2.
18
22. Mercoledì 23/11/2016
Sistemi di e.d.o. lineari a coefficienti costanti y0= Ay.
Se Av = λv allora eλtv è soluzione.
Se A ha una base di autovettori vi di autovalori λi, allora l’integrale generale è
N
X
i=1
cieλitvi. La matrice esponenziale etA.
Teorema 22.1. (s.d.) La matrice
etA=
∞
X
i=0
(tA)i i!
è definita per ogni A e t. Inoltre d
dtetA= AetA.
Giustificazione formale della formula di derivazione (derivazione per serie).
Se v è un autovettore di autovalore λ si ha etAv = eλtv.
Teorema 22.2. etA è la matrice di transizione in t = 0.
Definizione di autovettore generalizzato di ordine m > 1.
Metodo di ricerca di un integrale generale del sistema del primo ordine lineare a coefficienti costanti mediante una base di autovettori e autovettori generalizzati.
Struttura delle soluzioni linearmente indipendenti trovate come combinazioni di esponenziali polinomi e funzioni trigonometriche.
Esercizio 22.3. 1, 6/550.
Per casa 22.4. 9, 10, 11/550.
Paragrafi di riferimento sul testo: 2.3; BPS 8.4; AM 17.6.
23. Giovedì 24/11/2016
24. Martedì 29/11/2016
Definizione di sistema autonomo. Le soluzioni di un sistema autonomo sono traslabili nel tempo: se y(t) è soluzione anche y(t + t0) loè.
Definizione di equilibrio stabile, asintoticamente stabile, instabile per sistemi autonomi.
Lemma 24.1. Se una soluzione massimale y(t) definita in (σ, Σ) soddisfa lim
t→Σ−y(t) = y0, con y0 di equilibrio, allora Σ = +∞.
Caso N = 1.
Esempio 24.2. Studio della stabilità dell’equilibrio di y0= −y(1 − y)2.
Caso del punto di equilibrio 0 ∈ RN per il sistema lineare a coefficienti costanti
y0= Ay .
Dall’integrale generale ottenuto con il metodo degli autovalori e autovettori generalizzati si ha:
Teorema 24.3. (s.d.)
• Se Re λ < 0 per ogni autovalore, 0 è asintoticamente stabile.
• Se Re λ > 0 per almeno un autovalore, 0 è instabile.
• Se Re λ ≤ 0 per ogni autovalore, e non occorre introdurre gli autovettori generalizzati per gli autovalori con Re λ = 0, allora 0 è stabile.
Esercizio 24.4. Trovare l’integrale generale di x01= x2, x02= 0 ,
con il metodo degli autovettori, e con quello della riduzione a un’equazione scalare.
Studiare la stabilità di 0.
Esercizio 24.5. 2, 3/590.
Paragrafi di riferimento sul testo: 3.1, 3.2, 3.3; AM 17.7; BPS 8.1, 8.4.
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25. Mercoledì 30/11/2016
Equazioni del tipo di Eulero:
y(n)+a1
xy(n−1)+ · · · + an
xny = 0 ;
metodo per ottenere l’integrale generale: il passaggio alle variabili t = ln x, z(t) = y(et), y(x) = z(ln x) dà un’equazione lineare a coefficienti costanti. Sostituzione di y = xα per ottenerne direttamente l’equazione caratteristica.
Esercizio 25.1.
y00+ 2 xy0+ 1
x2y = 0 .
Esercizio 25.2. Amar-Bersani 2.35
Dipendenza continua; definizione e significato; importanza nelle applicazioni.
Differenza con la stabilità.
Teorema 25.3. (s.d.) Se F ∈ C (Ω) e se F è localmente lipschitziana in y, allora la soluzione massimale del problema di Cauchy dipende con continuità dai dati.
Esercizio 25.4. 1/420; 10/480.
Paragrafi di riferimento sul testo: 1.6; AM 17.5; BPS 8.3.
26. Giovedì 1/12/2016
Campi vettoriali. Definizione di lavoro di un campo lungo una curva, di circuitazione lungo una curva chiusa, di campo conservativo.
Teorema 26.1. Se F è un campo conservativo di potenziale U in Ω, allora Z
γ
F · dγ = U (B) − U (A) ,
se γ ⊂ Ω va da A a B.
Corollario 26.2. Se F è un campo conservativo di potenziale U in Ω, allora la circuitazione di F lungo una qualunque curva chiusa γ ⊂ Ω vale 0.
Teorema 26.3. Se F = (F1, F2) è conservativo in Ω ⊂ R2 allora
∂ F1
∂y =∂ F2
∂x , in Ω.
Esempio 26.4. Controllo della condizione necessaria con i due campi (x, 0) e (y, 0).
Esempio 26.5. Il campo definito in Ω = R2\ {(0, 0)}
− y
x2+ y2, x x2+ y2
soddisfa la condizione necessaria, ma ha circuitazione diversa da zero sulla circon- ferenza (R cos t, R sin t), 0 ≤ t ≤ 2π.
Questo campo ha per primitiva la anomalia polare nel piano meno una semiretta
per l’origine.
Per casa 26.6. Esprimere l’anomalia polare attraverso la funzione arcotangente,
su tutto R2\ {(0, 0)}.
Esercizio 26.7. AB 4.31; 13/480.
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 12.4; BPS 6.1.
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27. Martedì 6/12/2016
Il campo F = (F1(x, y), F2)x, y)) e la forma differenziale relativa ω = F1dx + F2dy .
Forme chiuse ed esatte.
Teorema 27.1. (s.d.) Un campo vettoriale F (o la forma differenziale ω) è integrabile nell’aperto connesso Ω se e solo se vale una delle due condizioni:
(1) La circuitazione di F è nulla su qualunque curva chiusa γ ⊂ Ω.
(2) Se γ1, γ2sono curve contenute in Ω con gli stessi punti iniziale e finale, allora Z
γ1
F · dγ1= Z
γ2
F · dγ2.
Teorema 27.2. Se per F ∈ C1([a, b] × [c, d]) vale la condizione di chiusura
∂ F1
∂y = ∂ F2
∂x , in [a, b] × [c, d], F ammette potenziale dato da
U (x, y) =
x
Z
a
F1(s, y) ds +
y
Z
c
F2(a, t) dt , (x, y) ∈ [a, b] × [c, d] .
Condizione di chiusura per campi F = (F1, F2, F3) in R3:
∂ F1
∂y = ∂ F2
∂x , ∂ F1
∂z =∂ F3
∂x , ∂ F2
∂z =∂ F3
∂y .
Per casa 27.3. Dimostrare l’analogo del teorema sopra per campi in R3 chiusi in
un parallelepipedo.
Definizione di semplicemente connesso in R2.
Teorema 27.4. (s.d.) Una forma chiusa in un semplicemente connesso di R2 è ivi esatta.
Teorema 27.5. Se U ∈ C1(Ω), Ω ⊂ RN aperto connesso, e ∇ U = 0 in Ω, allora U è costante in Ω.
Esempio 27.6. Se il dominio Ω non è normale rispetto all’asse y, esistono funzioni
con ∂ U
∂x(x, y) = 0 , per ogni (x, y) ∈ Ω ma tali che U dipende da x. Per esempio,
Ω = [(−1, 1) × (−1, 1)] \ {(0, y) | 0 ≤ y ≤ 1} ,
28. Mercoledì 7/12/2016
Richiami sulle serie:
Serie numeriche, definizione di serie convergenti, divergenti, irregolari. Le serie a termini positivi sono o divergenti o convergenti.
Esempi di serie di riferimento: comportamento di
+∞
X
n=0
qn,
+∞
X
n=1
1 nα, per tutti i possibili valori di q ∈ R, α ∈ R.
Teorema 28.1. (Condizione necessaria di convergenza) SeP
nan converge allora an → 0 per n → +∞.
Esempi di applicazione del criterio necessario; la serie armonicaP
n1/n diverge ma soddisfa il criterio.
Teorema 28.2. (Criterio del confronto) Se 0 ≤ an≤ bn, n ≥ 1, allora (1) Se P
nan diverge anche P
nbn diverge.
(2) Se P
nbn converge ancheP
nan converge.
Esempio 28.3. La serie
+∞
X
n=1
sin 1 n2
converge.
Teorema 28.4. (s.d.) (Criterio di Leibniz per serie a segno alterno) Se an decresce a 0, allora la serie
+∞
X
n=1
(−1)nan
converge.
Convergenza assoluta e semplice. La convergenza assoluta implica quella semplice ma non viceversa (s.d.).
Esercizio 28.5. AB 2.21, 5.25, 5.28.
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 4.7, 4.8. 4.9.
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29. Martedì 13/12/2016
Teorema 29.1. (Criterio del rapporto) Se ak > 0 per ogni k ≥ k0, allora (1) se
ak+1
ak
≤ r < 1 , k ≥ k0, allora la serie converge;
(2) se
ak+1
ak ≥ 1 , k ≥ k0, allora la serie diverge.
Corollario 29.2. (s.d.) Sia ak > 0 per ogni k ≥ k0. Esista il limite lim
k→+∞
ak+1 ak
= L .
Se L < 1 la serie converge. Se L > 1 la serie diverge. Se L = 1 non è possibile trarne conclusioni.
Teorema 29.3. (s.d.) (Criterio della radice) Se ak ≥ 0 per ogni k ≥ k0, allora
(1) se
√k
ak≤ r < 1 , k ≥ k0, allora la serie converge;
(2) se
√k
ak ≥ 1 , k ≥ k0, allora la serie diverge.
Corollario 29.4. (s.d.) Sia ak ≥ 0 per ogni k ≥ k0. Esista il limite lim
k→+∞
√k
ak = L .
Se L < 1 la serie converge. Se L > 1 la serie diverge. Se L = 1 non è possibile trarne conclusioni.
Definizione di serie di potenze di centro x0
+∞
X
k=0
ak(x − x0)k, e di insieme di convergenza E.
Esempio 29.5. Per P
k(kx)k si ha E = {0}. PerP
k(x/k)k si ha E = (−∞, ∞).
Lemma 29.6. Se in x1 la serie di potenze converge e |x − x0| < |x1− x0| allora la serie di potenze converge assolutamente in x.
Definizione di raggio di convergenza r := sup
x∈E
|x − x0| .
Teorema 29.7. Se |x − x0| < r la serie converge assolutamente in x.
Se |x − x0| > r la serie non converge in x.
Nei due punti x = x0± r tutti i comportamenti della serie sono in teoria possibili.
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30. Mercoledì 14/12/2016
Sia data la serie con raggio di convergenza r > 0 f (x) =
∞
X
k=0
ak(x − x0)k.
Teorema 30.1. (s.d.) (Proprietà delle serie di Potenze) 1) Allora f è continua in (x0− r, x0+ r).
2) La serie si può integrare termine a termine, ossia vale per ogni x ∈ (x0−r, x0+r)
x
Z
x0
∞
X
k=0
ak(t − x0)k
! dt =
∞
X
k=0
ak
x
Z
x0
(t − x0)kdt =
∞
X
k=0
ak
k + 1(x − x0)k+1. 3) La serie si può derivare termine a termine, ossia vale per ogni x ∈ (x0−r, x0+r)
f0(x) = d dx
∞
X
k=0
ak(x − x0)k
!
=
∞
X
k=0
ak
d
dx (x − x0)k =
∞
X
k=1
k ak(x − x0)k−1.
Corollario 30.2. Si ha f ∈ C∞((x0− r, x0+ r)) e per ogni n ∈ N
f(n)(x) =
+∞
X
k=n
k(k − 1) . . . (k − n + 1)akxk−n, x ∈ (x0− r, x0+ r) . Definizione di serie di Taylor e di funzione analitica.
Teorema 30.3. Una serie di potenze coincide con lo sviluppo di Taylor della sua somma f , se r > 0, ossia
ak =f(k)(x0)
k! , k ≥ 0 . Esistono funzioni f ∈ C∞(x0− R, x0+ R) non analitiche.
Esempio 30.4. La funzione:
f (x) =
(e−x21 x 6= 0 , 0 x = 0 ,
è in C∞(R) ma non è analitica in un intorno di 0.
Esempio 30.5. Serie di Maclaurin dell’esponenziale, di seno e di coseno. Serie di log(1 + x) e di 1/(1 + x2), come conseguenze della serie geometrica. Teorema 30.6. (Raggio di convergenza per le serie di potenze) Con le ovvie convenzioni se r = 0, r = +∞, vale
1 r = lim
k→∞
ak+1 ak
, 1
r = lim
k→∞
p|ak k| ,
ammesso che i limiti sopra esistano (nel primo occorre assumere ak6= 0 per k ≥ k0).
Esempio 30.7. Ricerca della soluzione di
y00+ y = 0 , y(0) = 1 , y0(0) = 0 ,
come serie di potenze di centro 0.
Paragrafi di riferimento sul testo: AM 9.3, 9.4.26
31. Giovedì 15/12/2016
Esercizio 31.1. 6/020; 5/030; 4, 8/050.
32. Martedì 20/12/2016
Esercizio 32.1. 14/550; 6/620; AB 4.47.
FINE DEL CORSO
