4.2 Modelli Fisici

Capitolo: 4

42 Capitolo 4 - Concetti generali sui Modelli e Modello fisico -

4.1 Modello

Nel linguaggio comune la parola modello ha un gran numero di accezioni;

- Una riproduzione in scala ridotta di un oggetto reale;

- Una rappresentazione di un oggetto reale già esistente o da realizzare;

- Una riproduzione controllata di situazioni reali (es: le vasche per la riproduzione di fenomeni ondosi, ecc.);

- Una riproduzione simulata di una situazione reale ( es: funzionamento di una stramazzo, ecc.).

Qui analizzeremo il termine modello nel significato di rappresentazione di un fenomeno fisico in cui interviene un oggetto o un sistema inteso come un complesso di elementi interagenti.

“ Il modello è una rappresentazione concettuale di un fenomeno reale ed è ben distinto dal fenomeno stesso” .

In genere, in questa accezione, alla base di queste rappresentazioni vi è, implicita o esplicita, l’ipotesi di quali siano le variabili rilevanti e della interazioni tra gli elementi del sistema. Il notevole interesse per la modellistica, esploso negli ultimi decenni, specialmente con la crescita della potenza di calcolo e rappresentazione grafica permessa dai calcolatori, che ha permesso la possibilità di esplorare la validità di ipotesi mediante simulazioni, è legato agli ovvi vantaggi dello studio di un sistema artificiale e simbolico rispetto ad indagini dirette sul reale, che a volte sono anche impossibili. Il modello come rappresentazione concettuale di un fenomeno reale è ben distinto dal fenomeno stesso e occorre chiarire bene la netta distinzione tra gli oggetti del mondo reale e i loro modelli.

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I modelli astratti possono essere qualitativi, semiquantitativi e quantitativi; qui discuteremo brevemente solo quest’ultima categoria ed in particolare quei modelli astratti espressi attraverso il linguaggio matematico. La definizione di modello matematico di E. Malinvaud:

" un modello matematico è la rappresentazione formale di idee o conoscenze relative ad un fenomeno " .

(Israel, 1986) contiene le caratteristiche fondamentali di un modello matematico:

- Esso è la rappresentazione di un fenomeno;

- Questa rappresentazione non è descrittiva, discorsiva o a parole, ma formale, espressa con un linguaggio matematico;

- Non esiste una via diretta che porti dalla realtà alla matematica; il fenomeno studiato non determina la sua rappresentazione matematica, ma le conoscenze ad esso relative vengono tradotte in espressioni formali, spesso secondo ragionamenti basati su analogia.

4.2 Modelli Fisici

« Un modello è un'astrazione selettiva della realtà »

(Albert Einstein)

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Con modello fisico si intende, in fisica ma anche in altri settori della conoscenza, una rappresentazione concettuale (spesso una semplificazione) del mondo reale o di una sua parte, capace di spiegarne il funzionamento.

In fisica, o comunque nella scienza in genere, si parla di modelli fisici che descrivono i fenomeni reali. Tali modelli, spesso basati su ipotesi concettuali, si adattano a descriverne campi più o meno vasti del mondo fisico. Alcuni modelli si adattano più di altri ad un determinato campo.

Nell'uso scientifico e tecnico-progettuale, un modello è una rappresentazione di un oggetto o di un fenomeno, che corrisponde alla cosa modellata per il fatto di riprodurne (evidentemente alla luce di precisi riscontri fattuali ottenuti a partire da un metodo che sia garanzia di controllabilità) alcune caratteristiche o comportamenti fondamentali; in modo tale che questi aspetti possano essere mostrati, studiati, conosciuti laddove l'oggetto modellato non sia direttamente accessibile.

La costituzione di un modello scientifico o tecnico, per quanto possa essere genericamente orientata o guidata in partenza da una teoria metafisica, è sempre il risultato di un contesto della prova rigoroso, predisposto in modo tale da non essere minimamente influenzato dalle aspettative e dall'interpretazione soggettiva dell'osservatore (si dice che l'osservazione e l'esperienza scientifiche, su cui si fonda la formulazione di modelli teorici validi, sono invarianti rispetto all'osservatore).

Il termine teoria (dal greco theorein, composto da thea, "spettacolo" e horao,

"osservo", ovvero "guardare uno spettacolo") indica, nel linguaggio comune, un'idea nata in base ad una qualche ipotesi, congettura o supposizione, anche astratte rispetto alla realtà. Perché una certa teoria venga accettata, occorre in genere che essa produca un esperimento critico, cioè un esperimento il cui (corretto) risultato non può essere predetto da nessun'altra teoria. Una teoria fa delle generalizzazioni a partire da alcune osservazioni, e consiste di un insieme coerente e legato di idee.

Una teoria deve contenere un qualche elemento che possa essere verificato, secondo Stephen William Hawking ⁽matematico e astrofisico britannico, fra i più importanti e conosciuti del mondo), una teoria è una buona teoria se soddisfa due condizioni:

- Deve descrivere accuratamente un'estesa serie di osservazioni sulla base di un modello che contiene solo pochi elementi arbitrari,

- Deve fare predizioni precise riguardo ai risultati di osservazioni future ".

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Nel processo di verifica e di aggiornamento dei modelli si affina la descrizione perfezionando i modelli e si confrontano e si connettono le diverse leggi relative a fenomeni simili, costruendo gradualmente una rete di connessioni che, da un lato, rafforza la struttura del nostro sapere e, dall'altro, porta a mettere in luce quei concetti fondamentali dai quali è possibile dedurre, con i metodi della logica e della matematica, l'intera rete delle leggi relative a un dato ambito di studio; si costruiscono così le teorie.

4.3 La Teoria

Una teoria scientifica può essere considerata come un sistema di principi progettuali per la modellizzazione di oggetti o processi reali. Questa concezione fa sì che da un lato il concetto di teoria presupponga quello di modello, dall’altro che una teoria possa essere messa in relazione con la esperienza solo attraverso la costruzione di modelli che possono essere paragonati con gli oggetti reali.

In sintesi le leggi della teoria possono essere verificate e validate solo provando e validando modelli derivati dalla teoria. Secondo Hestenes (1987) e Reif Heller (1982), una teoria scientifica ha tre componenti fondamentali:

Una struttura di leggi generali e specifiche che caratterizzano le variabili descrittive della teoria;

Una base semantica di regole di corrispondenza che mettono in relazione le variabili descrittive alle proprietà degli oggetti reali;

Una superstruttura di definizioni, convenzioni e teoremi per facilitare il processo di modellizzazione in varie situazioni.

Il concetto di legge è un concetto chiave di una teoria scientifica ed occorre da un lato definirlo e dall’altro distinguere tra diversi tipi di leggi:

- Legge Scientifica: è una relazione tra variabili descrittive e diventa una rappresentazione di una relazione tra proprietà di oggetti reali quando sia stata validata in qualche dominio empirico.

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- Leggi Fisiche: sono espresse come equazioni matematiche e possono essere suddivise in leggi fondamentali, come le leggi del moto di Newton, o derivate, come le leggi di Galileo sulla caduta dei gravi.

- Leggi "Fenomenologiche": che sono di validità più ristretta, in quanto regole valide in contesti particolari (es. una forza d’attrito proporzionale alla velocità è ragionevole in quei contesti in cui non vi siano vortici).

4.4 Sintesi della tesi

Come già in precedenza annunciato scopo di questa tesi è lo studio in via sperimentale delle espressioni per la valutazione dei volumi sfiorati da soglie in parete sottile e longitudinali con funzionamento rigurgitato. La ricerca sperimentale ha lo scopo di pervenire a un modello di calcolo che permetta di determinare la portata effluente da uno sfioratore longitudinale rigurgitato.

Tale ricerca non può prescindere da considerare le due seguenti situazioni più semplici :

1. Stramazzo rigurgitato.

2. Stramazzo libero.

Per quanto riguarda lo stramazzo rigurgitato, si premette il significato dei simboli con riferimento alla (figura 4.4.1.)

Figura 4.4.1. : Altezze liquide a monte e a valle e carichi sullo sfioratore laterale [A].

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Definita la luce rettangolare di larghezza pari a [b] e [hm] l’altezza del pelo libero a monte dello stramazzo, [hv] l’altezza del pelo libero a valle dello stramazzo, [h3] coincide con [p] altezza della soglia, [s1] è la differenza tra le altezze liquide di monte e di valle (hm – hv), [s2] è la differenza tra l’altezza liquida di valle e l’altezza della soglia (hv – h3), [A1] è l’area della porzione della luce che funziona come luce libera a stramazzo, [A2] è l’area della porzione della luce che funziona come luce libera a battente.

Ciò precisato la portata [Q] può essere calcolata come somma di due contributi:

Il primo legato alla parte superiore della luce di area [A1] = ( s1 b ), funziona come una luce libera a stramazzo soggetto a un carico (hm – hv),

Il secondo legato alla parte inferiore della luce di area [A2] = ( s2 b ), funziona come una luce a battente totalmente rigurgitata soggetta ad un carico costante (hm – hv).

Come coefficiente di deflusso si sono usati i valori :

 m^s = 0.41 per la luce a stramazzo:

 µb = 0.62 per la bocca a battente.

La relazione utilizzata ha quindi la forma seguente:

Q = Q1 + Q2 = µs b
2 ( h^m – hv )^3/2 + µb b ( hm – h3 )
2 ( h^m – hv )^1/2

Con:

Q1 = Contributo luce a stramazzo.

Q2 = Contributo della luce a battente.

Nella tesi vengono presentati i risultati di numerose prove di laboratorio. Le prove sono divise in Serie di prova, ogni serie è contrassegnate con dei numeri che altro non sono che le misure, in centimetri, sia dello sfioratore che degli stramazzi , ciò che varierà all’interno di ogni serie di prova sarà la portata, (figura 4.4.2.):

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Figura 4.4.2. Planimetria ,posizione sfioratore laterale [A], stramazzo [B] e [C] .

Serie nn, aa / bb / cc

dove :

- Il primo e il secondo numero [nn], [aa] espressi in centimetri si riferiscono allo sfioratore laterale e indicano: la sua lunghezza [nn] e l’altezza del suo petto [aa] figura 4.4.3.;

- Il terzo ed il quarto numero [bb], [cc] espressi in centimetri sono riferiti invece ai due stramazzi e indicano: l’altezza del petto, [bb] relativo allo stramazzo in [B], mentre [cc] è relativo allo stramazzo in [C] figura 4.4.3.

Figura 4.4.3. Misure degli elementi utilizzati come indici della prova.

Per quanto riguarda gli stramazzi le variazioni che possiamo apportare sono solo riferiti al loro petto e non alla loro lunghezza, in quanto sono stati realizzati come sbarramento del canale e quindi la loro lunghezza coincide con la larghezza del canale che non è modificabile.

Una volta definita la Serie di prova ( nn, aa, bb, cc, ), quindi fissato la lunghezza e l’altezza del petto dello sfioratore e degli stramazzi, ciò che cambia nella Serie di prova è la sola portata che oscilla tra la Qmin e la Qmax.

Nel corso di ciascuna prova e all’interno di ogni Serie si è misurato:

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- L’altezza idrometrica nella vasca di calma mediante idrometro a uncino con asta graduata al millimetro e nonio al decimo, [hm] (mm), punto [1’] ; - Lettura idrometrica della superficie libera della corrente in prossimità delle

soglie di sfioro mediante idrometro con asta graduata al millimetro e nonio al decimo, [lm e lv ] (cm), punti (3 e 3’) e i punti (5 e 5’);

- Lettura idrometrica della superficie libera della corrente in punti caratteristici del canale (andamento del pelo libero) mediante idrometro con asta graduata al millimetro e nonio al decimo, [l] (cm) punti (2 e 2’) e i punti ( 4 e 4’) ;

Figura 4.4.4. Posizione dei futuri rilievi idrometrici e letture idrometriche.

Il lavoro svolto durante la prova e per ogni Serie prevede due fasi;

 Una prima fase; Analisi e di misura:

- Analisi della simulazione nel suo complesso,

- Individuazione di una serie di punti su modello, punti per le future misure idrometriche, e di eventuali punti critici per ulteriori analisi, - Misura delle grandezze idrometriche.

 Una seconda fase; Elaborativa:

- Elaborazione dei dati in nostro possesso ottenuti dalla prima farse, - Determinazione di alcune grandezze idrauliche ( Q, h, µ ),

- Identificazione e controllo sul modello reale.

Il lavoro di tesi è finalizzato alla verifica delle ipotesi intuitive secondo cui è possibile calcolare la portata defluente sopra una stramazzo appunto come somma di due contributi.

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50 4.4.1 Elementi rilevanti

Allo scopo di ottenere soluzioni analitiche del problema, in questi studi si assume che il campo di moto sopra la soglia dello sfioratore laterale sia unidimensionale e gradualmente variabile, in modo che possa ritenersi valida l’ipotesi di distribuzione idrostatica delle pressioni in direzione normale al moto.

Per quanto riguarda la dissipazione di energia per unità di peso del fluido e unità di lunghezza, in alcuni studi si assume che essa sia trascurabile (Bouvard, 1953), in altri che essa sia pari alla variazione di energia potenziale, ovvero alla pendenza del fondo (Garot, 1939; Noseda, 1956a).

 Nel primo caso, assumendo costante l’energia per unità di peso del fluido, (essendo [p] la quota della soglia rispetto ad un opportuno piano di riferimento orizzontale, [g] l’accelerazione di gravità, [h] ed [U] il tirante medio e la velocità media nella generica sezione trasversale) si ottiene una equazione differenziale ordinaria del sesto ordine, che permette di valutare in ogni sezione la portata derivata per unità di lunghezza, (Bouvard , 1954).

 Il secondo caso implica la costanza dell’energia specifica rispetto al fondo.

A partire da questa seconda ipotesi, seguendo l’approccio sviluppato da De Marchi (1947) per lo studio di profili di superficie libera in moto permanente gradualmente vario a portata progressivamente decrescente.

Nel caso di soglia orizzontale i due approcci forniscono ovviamente lo stesso risultato.

4.4.2

Elementi in base ai quali la tesi viene giudicata innovativa

La ricerca sperimentale , riguarda lo studio della legge di deflusso della portata al di sopra di una sfioratore laterale in condizioni di funzionamento rigurgitato, argomento non sufficientemente trattato nella letteratura tecnica.

La parola chiave su cui è stata costruita l’intera ricerca sperimentale è rigurgitato; in idraulica, essa indica una condizione particolare di funzionamento per i manufatti idraulici come stramazzi e traverse, in tali condizioni la portata defluente al di sopra

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di essi risulta condizionato non solo dal carico di monte ma anche dal livello del pelo libero di valle.

La novità assoluta introdotta dalla ricerca sperimentale è rilevabile dal fatto che esso è riferito ad uno sfioratore laterale.

Manufatti di questo tipo hanno, in genere, la funzione di scolmare lateralmente le portate che superano valori preassegnati.

Si tratta di un dispositivo di importanza rilevante quando si desidera tenere sotto controllo sia i livelli della superficie libera sia le portate in un sistema di adduzione a pelo libero;

 nelle sistemazione idrauliche e nelle bonifiche è utilizzato per provocare una decapitazione ed una conseguente laminazione delle onde di piene e per alimentare quindi uno scolmatore, una cassa di laminazione ecc;

 nei sistemi di irrigazione viene impiegato per regolare l’afflusso dell’acqua ai canali di derivazione che servono i vari comizi e le differenti utenze;

 negli impianti di depurazione viene utilizzato per distribuire le portate delle acque reflue da trattare,

In tutti questi casi menzionati si da per scontato che le condizioni di funzionamento dello sfioratore laterale siano a vena libera e areata con questa ricerca vogliamo dimostrare che sfioratori di questo tipo possono funzionare benissimo anche in condizioni rigurgitate e in più, come già accennato, se usate come opere di scolmaneto delle piene per alimentare le casse di espansione, possiamo avere anche innumerevoli vantaggi.

L’aspetto cruciale della ricerca è la determinazione della legge che regola il deflusso della portata al di sopra dello sfioratore .

Il presente lavoro intende investigare sperimentalmente la validità delle assunzioni poste alla base degli studi sopra richiamati. In particolare si analizza il caso di sfioratori laterali rigurgitati, discutendo la corretta definizione del carico motore e, conseguentemente, del coefficiente di efflusso [µ] in relazione anche alla sua variabilità lungo lo sfioratore.

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52 4.4.3 Rilevanza della ricerca effettuata

La rilevanza della ricerca effettuata sta proprio nella varietà dei campi di applicabilità, sfioratori di questo tipo possono essere utilizzati per alimentare canali di gronda o casse di laminazione delle piene fluviali. In riferimento a questo secondo caso viene riportato un criterio, basato sull'ipotesi che l'inizio del funzionamento rigurgitato della soglia coincida con l'istante in cui si verifica il colmo dell’onda di piena, per il dimensionamento ottimale delle casse stesse.

4.4.4 Descrizione dell’apparato sperimentale e strumentale

Le prove sperimentali sono state eseguite presso il laboratorio del Dipartimento di Idraulica dell’Università degli Studi di Pisa. L’apparato sperimentale utilizzato, tipico esempio di struttura atta allo studio delle correnti a pelo libero, è schematizzato nella figura 4.4.5 ; composto dei seguenti elementi:

Figura 4.4.5. : Schema apparato sperimentale.

• serbatoio di carico (S);

• canalette di sfioro (Cs);

• valvola regolatrice (R);

• vasca di calma (Vc);

• canale di studio (A-B);

• vasca di recupero (Vr);

• vasca di aspirazione (Va);

• pompa di sollevamento (P);

• condotta a sollevamento (P-S);

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Il modello è alimentato con una portata costante, indipendentemente dal funzionamento delle pompe, essendo il laboratorio munito di un impianto a circuito chiuso, che si serve delle pompe solo per il riempimento di un serbatoio di carico posto al secondo piano della torre piezometrica del Dipartimento.

In tale serbatoio arriva una portata [Qp] variabile (seppur in misura minima) nel tempo a causa delle inevitabili irregolarità di funzionamento dell’impianto di sollevamento (per improvvise variazioni di tensione o frequenza nella rete elettrica di alimentazione che causano oscillazioni della potenza fornita dal motore elettrico accoppiato alla pompa, e quindi della potenza e della prevalenza che la pompa sviluppa), e ne esce invece una portata costante [Qm] dipendente solo dalla strozzatura della valvola di regolazione a monte del modello, in quanto il serbatoio è mantenuto a livello costante. Infatti il serbatoio è dotato di una serie di canalette di sfioro con soglia ad una determinata quota rispetto al modello, che sfiorano la portata eccedente fra quella richiesta dal modello e quella fornita dalla pompa.

La portata eccedente [Qr] viene ricircolata nelle vasche di aspirazione, così il dislivello fra pelo libero del serbatoio di alimentazione e modello rimane costante in qualsiasi condizione.

In questo modo viene garantita l’alimentazione a gravità del modello con una portata costante e dipendente solo dalla strozzatura della valvola di regolazione a monte del canale (figura 4.4.6.) .

Per ridurre le inevitabili turbolenze, subito dopo la valvola di regolazione, è collocato una vasca di calma da cui l’acqua esce per tracimazione ed entra nel canale (figura 4.4.7.). Sulla parete della vasca di calma che alimenta il modello è montato uno

stramazzo a forma trapezio isoscele dotato di una curva di taratura di precisione di equazione nota.

Figura 4.4.6.

Figura 4.4.7.

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Su una delle pareti perpendicolari è montato un idrometro a uncino (figura 4.4.8.) con asta graduata al millimetro e nonio al decimo, messo in comunicazione tramite un foro con il centro della vasca, di moto che sia possibile conoscere l’altezza d’acqua nella vasca e da essa, mediante una curva tarata, ricavare le portate defluenti nel canale in ogni momento.

Nel canale si possono evidenziare tre zone principali;

- La Zona 1: a ridosso del vasca di calma, che ha lo scopo di ridurre le oscillazioni del pelo libero della corrente causate dalla portata tracimante entrante nel canale, mediante l’inserimento una serie di griglie metalliche e di legno, figura 4.4.9.;

- La Zona 2: detta di “transito” subito a ridosso del primo tratto in cui il livello liquido subisce una variazione, conseguenza del restringimento del canale, figura 4.4.9;

- La Zona 3: in cui il canale principale è suddiviso in altri due canali più piccoli tramite l’ausilio di alcuni pannelli di legno marino disposti in senso longitudinale al canale e ancorati ad esso tramite profilati in alluminio e collanti, figura 4.4.9.

Figura 4.4.9. Posizione planimetrica delle tre zone principali.

Figura 4.4.8.

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I due nuovi canali così ottenuti sono messi in comunicazione mediante una apertura realizzata in uno dei pannelli creando cosi uno stramazzo laterale in parete sottile che è l’elemento sede della nostra ricerca (figura 4.4.10.).

Nella zona terminale dei due canali cosi creati sono stati inseriti due stramazzi, anche loro realizzati con pannelli di legno marino, con soglie di sfioro disposti a diversa quota.

Lo scopo di questi stramazzi è quello di garantire un certo livello liquido nei due canali, di modo ché si creino delle condizioni particolari in prossimità dello sfioratore.

Lo scopo principale della zona di “transito” figura 4.4.11. è quello di garantire un aumento graduale dell’altezza liquida e di conseguenza una riduzione della turbolenza della corrente che potrebbe portare, nelle fasi successive di misura del pelo libero, a una serie di errori. Tale zona di transito è ottenuta posizionando uno dei pannelli che compongono il restringimento non ortogonalmente alla parete del canale, ma secondo un angolo acuto.

La superficie libera è stata misurata per mezzo di idrometro montato su un carrello mobile lungo il canale in esame (figura 4.4.12.)

Figura 4.4.10.

Figura 4.4.11.

Figura 4.4.12.

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Il canale termina in una vasca di recupero delle acque figura 4.4.13. defluenti nel canale. Dalla vasca di recupero, tramite dei canali disposti ad di sotto del piano laboratorio giungono nella vasca di aspirazione delle pompe.

L’impianto è composto da due pompe centrifughe con differente capacità di portata; una ad asse verticale ed una ad asse orizzontale. L’utilizzo di una delle due pompe è determinato dalla porta in gioco che si desidera immettere nel canale.

La prima pompa ha una portata max di 250 l/sec accoppiato a un motore asincrono trifase da 100 CV ad asse verticale (figura 4.4.14.)

Figura 4.4.15.

La seconda pompa ha una portata max di 100 l/sec con accoppiato a un motore asincrono trifase da 42 CV ad asse orizzontale (figura 4.4.15.). Tale

pompa viene utilizzata

prevalentemente per le piccole portate.

Figura 4.4.13.

Figura 4.4.14.

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Figura 4.4.16. Planimetria generale

Il canale di studio è in vetro (figura 4.4.16.) ha una sezione trasversale quadrata di 0,80 x 0,80 m ed una lunghezza di 26 m. La struttura portante del canale è realizzata in profilati in acciaio saldati con sezione a L o U, le pareti laterali come il fondo sono realizzati tramite spesse lastre di vetro temperato. Il fondo del canale è rialzato rispetto al piano del laboratorio e si trova ad una quota di 1,10 m; esso poggia su dei martinetti idraulici che permettono, qualora fosse necessario, di effettuare eventuali modificare sull’assetto del canale. Durante le prove il canale presentava una pendenza del fondo al 5 ‰.

Figura 4.4.17. Canale sperimentale di studio

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Figura 4.4.18. : Schema del canale di studio

1. Condotta di alimentazione.

2. Valvola regolatrice di portata.

3. Vasca di calma.

4. Idrometro a uncino .

5. Carrello.

6. Idrometro a punta diritta.

7.Panelli in legno marino in cui è ricavato lo Sfioratore laterale.

8. Stramazzi.

9. Vasca di recupero.

Prima di procedere alla raccolta dei dati, ( [Q]: portata, [lm e lv ]: quote del pelo libero, [h]: carico sullo sfioratore ) si è reso necessario determinare lo “Zero”

idrometrico a cui riferire le successive letture.

L’analisi è stata condotta utilizzando le misure delle coppie (h, Q) oltre che lungo lo sfioratore oggetto della tesi, anche sugli stramazzi posti alla fine del canale, affinché si potesse avere un riscontro pratico dei dati ottenuti (controllo sulla portata).

Per la lettura dei livelli liquidi in prossimità degli stramazzi e dello sfioratore ci siamo posizionati ad una distanza tale da non risentire dell’influenza della chiamata di sbocco sulla traiettoria dei filetti fluidi. Inoltre per valutare il corretto funzionamento dell’apparato sperimentale e quindi la diretta corrispondenza tra dati misurati e valori teorici, si è reso necessario effettuare alcune prove preliminari di taratura. Le misure di portata durante le prove sono state effettuate nel modo seguente: in prossimità della soglia di sfioro della vasca di calma, si è inserito un idrometro a uncino all’interno di un cilindro di vetro messo in comunicazione con il fondo della vasca di modo si possa misurare l’altezza d’acqua nella vasca. Dalla lettura dell’idrometro, si è ricavato per ogni esperienza il valore della portata defluente nel canale tramite l’utilizzo di una curva tarata delle portate.

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Tale curva è interpretabile con la formula di Poleni (figura 4.4.19.) :

Figura 4.4.19. : Curva delle portate

Q = m L 2^1/2 h^3/2 m = ^

µ = 0,41 µ = 0,62 L = 0,70

Le singole esperienze si sono svolte tutte secondo la medesima sequenza di fasi:

- Azionamento della pompa e regolazione della portata defluente nel canale, per mezzo dell’apertura graduale della elettrovalvola a saracinesca posta a monte della vasca di calma;

- Raggiungimento delle condizioni di regime (portata costante e attenuazione delle oscillazioni del pelo libero);

- Misura dei parametri di interesse, altezza liquida dall’idrometro a uncino in prossimità della vasca di calma, altezze liquide attraverso lettura dell’idrometro a punta diritta in prossimità degli stramazzi e dello sfioratore.

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Così facendo si è esplorato un campo di portate compreso tra 9,42 l/s e 103,13 l/s.

Il limite inferiore delle portate era individuato nel valore della portata per cui non si verificava il fenomeno del distacco della vena “ vena non areata” sullo sfioratore laterale.

(Figura 4.4.20.)

Il limite superiore delle portate è individuato nel valore della portata per cui si ha una eccessiva oscillazione del pelo libero dovuto alla turbolenza che impedisce di rilevare un univoco valore dell’altezza liquida con l’idrometro.

(Figura 4.4.21.).

Figura 4.4.20.

Figura 4.4.21.

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56 4.5 L'asta graduata “ Idrometro “

Figura 4.5.1. Idrometro a uncino Figura 4.5.2. Idrometre a punta

L’idrometro utilizzato per misurare il pelo libero è dotata di nonio. Quest'ultimo è un dispositivo che permette di aumentare la precisione di misure effettuate per lettura diretta. È costituito da una scala graduata incisa sul corsoio di cui è dotato lo strumento. Tale scala, infatti, è scorrevole rispetto ad una scala principale. La scala graduata del nonio utilizzato è costituita da dieci divisioni che corrispondono alle nove divisioni della scala principale (figura 4.5.3.). Quest’ultima, infatti, permette di rilevare misure in millimetri mentre quella secondaria in decimi di millimetro. La precisione dello strumento coincide quindi con il decimo di millimetro.

Figura 4.5.3. Nonio.

Nelle varie serie di prova l’idrometro è stato utilizzato per misurare il carico dello stramazzo Bazin, cioè il dislivello fra il bordo inferiore della luce dello stramazzo e la quota del pelo liquido a monte, ad una certa distanza dallo stramazzo affinché possa considerarsi nullo l’effetto della chiamata di sbocco.

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Nell'utilizzo l’idrometro si sono riscontrate difficoltà dovute alle inevitabili increspature del pelo libero nel serbatoio, più accentuate per portate maggiori, meno influenti per portate minori, dovute alle differenti velocità di risalita dell'acqua nel canale.

4.6 Le misure dirette

La singola misura come stima della misura vera.

Ogni misura diretta eseguita nell'ambiente reale tramite uno strumento può essere considerata come una estrazione a caso dalla popolazione delle misure possibili generata dalla variabilità ambientale; la media di tutte le misure possibili, o media teorica della popolazione coincide con la misura vera definita come la misura effettuata nell'ambiente medio quando la variabilità dell'ambiente è limitata. In tali condizioni si dirà che gli errori sono accidentali.

Quindi se gli errori sono accidentali ogni misura singola, potrà essere assunta come stima della misura vera. Infatti ogni estrazione singola da una volume casuale può essere assunta come stima della media teorica [M] della volume casuale stesso.

Poiché la condizione di accidentalità degli errori fa si che la media [M] coincida con la misura vera [x0] ne segue che ogni estrazione è anche stima della misura vera.

Quando si esegue una misura singola, non essendo possibile alcuna verifica a posteriori circa la validità dell'ipotesi che gli errori siano accidentali sarà necessario che l'operatore si accerti in precedenza che la variabilità dell'ambiente sia limitata. In caso contrario sospenderà la misura per attendere momento migliore o cercherà un luogo più adatto.

Dovrà inoltre fare attenzione di evitare gli errori grossolani. Questi sono dovuti per lo più a distrazioni o sbagli operativi dell'operatore, oppure, ma più raramente, a condizioni fortemente anomale della variabilità dell'ambiente.

Al termine della misura diretta il risultato verrà presentato simbolicamente nel seguente modo: x = ( a ±σ ) u dove:

- x è la misura della grandezza,

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- a il valore numerico ricavato dallo strumento, - σ è l’errore di misura possibile,

- u è l'unità di misura della classe di grandezze in questione.

Questa rappresentazione simbolica del risultato di una misura deve venire interpretata nel seguente modo: [a] è una stima onesta di [x0] e [ ± a] è lo scarto quadratico medio, legata alla popolazione delle misure possibili da cui si immagina estratto il valore [a ± σ] non determina alcun intervallo intorno al valore di [a] (il segno ± indica semplicemente che a è stato ottenuto come radice quadrata di [ σ ²].

Esso però, tramite la disuguaglianza di Tchebycheff può permettere di fissare l'ampiezza dell'intervallo L nell'intorno di [a] entro il quale, almeno con probabilità P ≥ 1 - σ ²/ L² può trovarsi la misura vera.

Va obbiettivamente sottolineato che tale modo di rappresentare il risultato di una misura non é in generale richiesto per gran parte delle misure di uso abituale nell'ambito della tecnica. Esso viene richiesto solo per misure di un certo pregio e delicatezza che però divengono via-via sempre più richieste nelle tecnologia moderna.

 Media empirica semplice di misure ripetute.

Per migliorare la stima della media teorica di una variabile casuale occorre ripetere più volte l'operazione di estrazione a caso sulla stessa V.C. e quindi fare la media empirica delle n estrazioni. La media empirica :

= ∑

delle [n] misure [ ai ] estratte a caso dalla stessa popolazione delle misure possibili è una stima onesta della media teorica e quindi, se gli errori sono solamente accidentali, anche della misura vera. L'attendibilità della [M’] come stima della misura vera è a sua volta misurata dallo “ s. q. m. della media empirica semplice ” il cui valore è dato dalla relazione:

σ

₌

(x) / n

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nella quale [σ ² (x)] è lo scarto quadratico medio del volume campione legata alla popolazione delle misure possibili dalla quale sono state estratte le n misure In virtù della uguaglianza fra errore e scarto, quando gli errori sono accidentali [σ ²M’] può essere anche chiamato “errore quadratico medio della media empirica”. Il valore teorico di [σ ² (x) ] non può in generale essere conosciuto; se ne può ricavare un valore stimato o empirico a mezzo, delle n misure tramite la relazione :

σ’’²(x) = ∑^_ ^{ }_{  }^{  }

che quindi costituisce una stima dello s. q. m. o e. q. m. della popolazione delle misure possibili. Se si utilizza questo valore empirico di [σ ²(x) ] nel calcolo dello s. q.

m. della media empirica, il valore ottenuto non sarà più il valore teorico, ma un valore empirico In questo secondo caso, che è l'unico praticamente possibile, si otterrà un valore empirico o stima dello s. q. m. della media empirica mediante la relazione:

σ_’² = ∑     ^{   }



Questo valore costituisce anche una stima dell' attendibilità della media empirica di [n] misure come stima della misura vera della grandezza misurata. Il risultato della misura si esprimerà simbolicamente casi :

x = ( ± σ_ ’)

Il significato dei termini è evidente. L'espressione va così interpretata: [ ]è una stima della misura vera di x con un giudizio di attendibilità rappresentato da [σ_’].

 Media ponderata empirica.

La media empirica semplice e le altre formule viste precedentemente sono applicabili alle misure ripetute se soddisfano alle due condizioni: che gli errori siano accidentali, che le misure ripetute si possano considerare estratte a caso dalla stessa popolazione delle misure possibili.

Dobbiamo ora affrontare il caso di misure ripetute per le quali la seconda condizione non risulti soddisfatta e cioè, si debbano ritenere estratte a caso da più popolazioni, di

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misure possibili con dispersione diversa. Il problema viene: risolto usando la formula della "media ponderata empirica". Siano cioè date le seguenti misure ripetute della stessa grandezza x:

x1 = ( o1±σ_{1 ) u} x₂ = ( o₂±σ_{2 ) u} . . . x_n = ( o_n±σ_{n ) u}

[Oi] con (i = 1. . .n ) sono i risultati numerici delle operazioni dì misura; [oi ] sono gli scarti quadratici medi delle rispettive popolazioni delle misure possibili da cui sono stati estratti gli [oi] ed [u]è l’ unità di misura cui la misura della grandezza viene riferita. La stima della misura vera di [x] viene ricavata con la formula della media ponderata empirica:

_ = ∑ ^ _  _ /  ∑ ^_{ } 

Nella quale intervengono i pesi Pi il cui valore viene ottenuto, per definizione di peso, da :

σ ²_{1 P1 =} σ ²_{2 P2} = . . . . = σ²_{n PN =} σ^{* 2} ₀

Il valore [σ^{* 2}_o], “ scarto quadratico medio dell' unità di peso ” viene assunto per il calcolo dei pesi arbitrariamente. In generale per comodità lo si prende uguale ad una delle [σ²_i], o il valore più piccolo o il valore più grande.

Nel primo caso tutti i pesi saranno uguali o minori dell'unità. Nel secondo caso saranno maggiori od uguali all'unità.

La bontà della stima della misura vera di [x] mediante la [M_p], viene misurata da [σ ²_Mp] scarto quadratico medio della media ponderata empirica, il cui valore viene ottenuto dalla :

σ²_Mp = ∑ ^ _

{

/

Poiché i valori dei ad di ciascuna misura non possono essere i valori teorici degli delle popolazioni delle misure possibili dalle quali sono stati estratti, nella il valore

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del [σ²0] da usarsi non potrà essere quello stesso usato per ricavare i pesi. Occorrerà introdurre un valore empirico di [σ²0 ] ottenuto dalla:

σ^’20 = ∑ ^ _ { ^{#$ %} _{  }^{ &'() *} 

Il trattamento dei risultati delle [n] misure-ripetute con le formule qui riportate è subordinato al verificarsi di due ipotesi:

- che in ciascuna delle [n] popolazioni delle misure possibili, gli errori siano accidentali;

- che le medie teoriche di ciascuna delle [n] popolazioni siano tutte fra loro, per l'ipotesi precedente, uguali all'unica misura vera della grandezza [x] .

Quest'ultima condizione è ovvia: giacché si vuole stimare mediante misure empiriche la misura vera di una grandezza è necessaria che ad ogni popolazione delle misure possibili corrisponda la stessa misura vera. La presenza di soli errori accidentali è subordinata a sua volta alla variabilità ambientale. Il risultato della misura si esprimerà simbolicamente casi : x = ( p ± σ’Mp )

4.7 Considerazioni finali

Lo sviluppo dei moderni calcolatori elettronici ha reso possibile la risoluzione numerica delle equazioni differenziali che regolano il fenomeno del moto unidimensionale in canali prismatici a portata decrescente, consentendo così di rimuovere le ipotesi di costanza di E o di H (Henderson, 1966).

Tuttavia, anche in questo caso, si deve porre attenzione alla scelta di un’opportuna legge di deflusso attraverso la soglia sfiorante e quindi ad una scelta verosimile per il carico motore, specialmente quando si considerino per il flusso sopra la soglia al condizioni di corrente rigurgitata.