5 4 3 x − 2 x − 2 x + 2 + = 5 2 2 5 x + 2 2 1

(1)

VERIFICA DI MATEMATICA – 2^D Liceo Linguistico – impostazione classica rispondere su un foglio protocollo da riconsegnare entro il giorno 14 maggio 2019

NOME E COGNOME _____________________________________________________________

1

Sistemi lineari

Angela investe un capitale di 40.000 € in banca, in parte al tasso annuo d'interesse al 5% e il rimanente al 3%. Se dopo un anno il guadagno della prima quota supera di 300 € il guadagno della seconda, a quanto ammontava ciascuna delle due quote investite? Quali sono i due guadagni?

2

Radicali

Risolvere la seguente equazione (non dimenticando di porre le condizioni di esistenza):

5

x−

√

²⁺

2

√

2 x+

√

²⁼

5 x+

√

2 x²−2

3

Piano cartesiano

Disegnare nel piano cartesiano le rette con le seguenti equazioni:

r : y+3 x =0 s : 2 y−2

3x +4=0 t : 2 y+6 x−8=0 u : 5 y−5

3 x=0 Calcolare l'area del quadrilatero definito da queste quattro rette.

4

Piano cartesiano

Determinare l'equazione della retta contenente i seguenti punti: A(−1 ;2) B (−3 ;−9) . Determinare l'equazione della retta ad essa parallela e contenente il punto C (0 ;3) .

Determinare l'equazione della rette perpendicolare alle prime due e contenente D(2 ;0) .

5

Probabilità

Un carico di frutta è composto al 40% da casse di pere, e il resto da casse di mele. Viene aggiunto un secondo carico senza pere e con lo stesso numero di casse di mele. Scegliendo una cassa a caso, qual è la probabilità di scegliere una cassa di pere?

Obiettivi: riuscire a risolvere un problema mediante un sistema lineare (cap.13);

semplificare un'espressione con radicali utilizzando le varie proprietà (cap.14-15);

disegnare correttamente i punti nel piano cartesiano, calcolare distanze e punti medi, disegnare rette conoscendone le equazioni. (cap.16), conoscere e applicare le definizini sulla probabilità (cap.b)

Valutazione

Valutazione delle risposte.

2 punti: risposta corretta, soluzione migliore, buona proprietà di linguaggio, esposizione chiara, leggibile, originale.

1,8 punti: risposta corretta, soluzione migliore con qualche imperfezione di linguaggio e di esposizione o priva di originalità.

1,6 punti: risposta corretta, soluzione migliore ma senza una buona proprietà di linguaggio o senza una buona esposizione.

1,4 punti: risposta corretta ma non la soluzione migliore.

1,2 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno tre quarti delle richieste.

1 punto: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno metà delle richieste.

0,8 punti: risposta parziale, ma soddisfacente per almeno un quarto delle richieste.

0,6 punti: risposta sbagliata, purché sensata e legata al contesto, ottenuta con lavoro e impegno.

0,4 punti: risposta sbagliata contenente errori particolarmente gravi, o eccessivamente incompleta, ottenuta con scarso impegno.

0,2 punti: risposta mancante, o insensata o del tutto slegata dal contesto.

I testi delle verifiche si possono anche scaricare all'indirizzo http:// www.lacella.it/profcecchi Nel BLOG http://dottorcecchi.blogspot.it si trovano preziosi consigli specifici per questa prova

Seguendo la pagina facebook https://www.facebook.com/profcecchi si possono avere notizie sugli aggiornamenti.

(2)

1

Angela investe un capitale di 40.000 € in banca, in parte al tasso annuo d'interesse al 5% e il rimanente al 3%.

Se dopo un anno il guadagno della prima quota supera di 300 € il guadagno della seconda, a quanto ammontava ciascuna delle due quote investite? Quali sono i due guadagni?

Per fissare le idee indichiamo con x la parte di capitale investita al 5% e y la parte di capitale investita al 3%.

Ovviamente x+ y =40000 .

Meno ovvia è la traduzione in formule di quello che succede alla fine dell'anno:

5

100 x= 3

100y +300

Dobbiamo quindi risolvere un sistema di due equazioni e due incognite:

{

5 x−3 y=30000^{x+ y=40000} Utilizzando il metodo di riduzione, otteniamo:

{

3 x+3 y=120000 5 x−3 y=30000

8 x=150000 x=150000

8 =18750

{

−5 x−5 y =−200000 5 x−3 y=30000

−8 y=−170000 y=170000

8 =21250

Dunque, la nostra amica Angela ha investito 18.750 € al 5% e 21.250 € al 3%.

I due guadagni sono

18750× 5

100=937,50 21250× 3

100=637,50

(3)

2

Radicali

Risolvere la seguente equazione (non dimenticando di porre le condizioni di esistenza):

5

x−

√

2+ 2

√

2

x+

√

2=5 x+

√

2 x²−2

Non dimentichiamoci delle condizioni di esistenza: osservando i primi due denominatori ci rendiamo conto che deve essere x≠

√

^2∧x≠−

√

2 . Queste condizioni ci garantiscono anche l'esistenza della terza frazione: il denominatore infatti si annulla per entrambi i valori già citati.

Detto questo cerchiamo di risolvere l'equazione riportando le tre frazioni ad un denominatore comune. Si osservi che, applicando il prodotto notevole “somma per differenza”:

(x−

√

2)( x+

√

2)= x²−2 .

Dunque possiamo scrivere l'equazione in questa forma:

5( x+

√

²⁾

x²−2 +2

√

^2(x−

√

²⁾

x²−2 =5 x+

√

²

x²−2 A questo punto possiamo anche disinteressarci del denominatore:

5 x+5

√

2+2

√

2 x−4=5 x+

√

2 ovvero: 2

√

2 x=

√

2−5

√

2+4 ovvero: 2

√

^{2 x=4−4}

√

²

ovvero: x=2(1−

√

²⁾

√

² ⁼

√

²⁽¹⁻

√

²⁾⁼

√

²⁻²

Tale soluzione è accettabile.

(4)

3

Disegnare nel piano cartesiano le rette con le seguenti equazioni:

r : y+3 x =0 s : 2 y−2

3x +4=0 t : 2 y+6 x−8=0 u : 5 y−5

3x=0 Calcolare l'area del quadrilatero definito da queste quattro rette.

Utilizzando lapis e righello, sarà sicuramente utile portare tutte le equazioni nella forma esplicita y=mx+q , in modo da visualizzare le proprietà geometriche tramite i coefficienti.

r : y=−3 x s : y=1

3x−2=0 t : y =−3 x+4 u : y=1 3x

Viste così le equazioni danno già meno preoccupazioni: osservate i coefficienti angolari, si tratta di due coppie di rette parallele, il quadrilatero sarà un rettangolo!

Vediamo il disegno realizzato con GeoGebra.

Per calcolare l'area di un rettangolo ci occorrono le misure dei lati. Osserviamo che il punto di intersezione tra r e u è proprio l'origine O del piano cartesiano.

Determiniamo adesso le coordinate del punto di intersezione tra u e t. Nella figura è indicato con la lettera A.

{

^{y=−3 x+4}^y=¹³^x

utilizzando il metodo del confronto 1

3x=−3 x+4 ovvero 1

3x+3 x=4 ovvero 10 3 x=4 ovvero x=12

10=6

5 e di conseguenza y=2

5 . Dunque A(6 5;2

5) .

Siamo in grado di calcolare la lunghezza del lato OA, si tratta di calcolare semplicemente la distanza del punto A dall'origine. Per la formula della distanza:

(5)

OA=

√

⁽⁶⁵⁻⁰⁾²⁺⁽²⁵⁻⁰⁾²⁼

√

³⁶²⁵⁺²⁵⁴ ⁼

√

⁴⁰²⁵⁼²⁵

^√

¹⁰

Determiniamo adesso le coordinate del punto di intersezione tra r ed s. Nella figura è indicato con la lettera C.

{

^y=^{y=−3 x}¹³^x−2

utilizzando il metodo del confronto: −3 x =1

3 x−2 ovvero −3x−1

3x=−2 ovvero

−10

3 x=−2 ovvero x= 6 10=3

5 e di conseguenza y=−9

5 . Dunque C (3 5;−9

5) Possiamo adesso calcolare la lunghezza del segmento OC

OC =

√

⁽³⁵⁻⁰⁾²⁺⁽⁻⁹⁵⁻⁰⁾²⁼

√

²⁵⁹ ⁺⁸¹²⁵⁼

√

⁹⁰²⁵⁼³⁵

^√

¹⁰

A questo punto possiamo calcolare l'area che ci è stata richiesta: basterà moltiplicare tra loro le lunghezze trovate. Dunque l'area richiesta è 2

5

√

10×3

5

√

10=60 25=12

5 =2,4

[Si noti che GeoGebra riporta anche le lunghezze dei segmenti e le aree dei poligoni, seppure in forma decimale e approssimata]

(6)

4

Determinare l'equazione della retta contenente i seguenti punti: A(−1 ;2) B (−3 ;−9) . Determinare l'equazione della retta ad essa parallela e contenente il punto C (0 ;3) .

Determinare l'equazione della rette perpendicolare alle prime due e contenente D(2 ;0) .

Per determinare l'equazione della retta, dati due punti, abbiamo a disposizione una formula:

y−y_A yB−yA

= x−x_A xB−xA

Dunque sostituiamo le coordinate dei punti nella formula: y−2

(−9)−2= x−(−1)

(−3)−(−1) , semplificando le espressioni otteniamo y−2

−11=x+1

−2 ovvero y−2

11 =x+1

2 ovvero y−2=11 x+11

2 ovvero

y=11 2 x+15

2 .

La seconda equazione richiesta è banalmente y=11 2 x+3

La terza equazione richiesta possiamo inizialmente scriverla così y=− 2

11x+q ; per capire quanto vale q, introduciamo anche l'altra informazione che ci è stata data: 0=− 2

11(2)+q ovvero q= 4

11 . Concludendo, l'ultima equazione richiesta è y=− 2 11 x+ 4

11

Metodo alternativo.

Un altro modo per determinare l'equazione di una retta, dati due punti, potrebbe essere questo: cerco un'equazione del tipo y=mx+q .

Adesso sostituiamo alle incognite le coordinate dei punti che caratterizzano questa retta, otteniamo un sistema lineare con due equazioni e due incognite.

{

−9=−3 m+q^2=−m+q

Utilizzando il metodo di riduzione:

{

−9=−3 m+q^{−6=3 m−3 q}

−15=−2 q q=15

2

{

−9=−3 m+q^−2=+m−q

−11=−2 m m=11

2 e dunque l'equazione è y=11

2 x+15 2

(7)

5

Probabilità

Un carico di frutta è composto al 40% da casse di pere, e il resto da casse di mele. Viene aggiunto un secondo carico senza pere e con lo stesso numero di casse di mele. Scegliendo una cassa a caso, qual è la probabilità di scegliere una cassa di pere?

Non conosciamo il numero delle casse ma ci viene fornita una percentuale, quindi possiamo ragionare supponendo di avere inizialmente 100 casse, delle quali 40 di pere e 60 di mele.

Con il secondo carico arrivano altre 60 casse di mele.

A questo punto le casse sono 160, 40 di pere e 120 di mele.

La probabilità di prendere una cassa di pere è 40 160=1

4 o se preferite le percentuali, il 25%.