Capitolo 2 Spazi vettoriali Marco Robutti

Capitolo 2

Spazi vettoriali

Marco Robutti

Facoltà di ingegneria Università degli studi di Pavia

Anno accademico 2017-2018 Tutorato di geometria e algebra lineare

Definizione (Spazio vettoriale)

Uno spazio vettoriale reale è un inseme V in cui siano definite due operazioni:

1)L’addizione; dove: ∀u, v ∈ V , (u, v) 7−→ u + v ∈ V ; 2)La moltiplicazione per scalare; dove:

∀v ∈ V , ∀λ ∈ R, v 7−→ λv ∈ V ;

tali che siano soddisfatte le PROPRIETA’ 2.3 di pag. 111-112 del libro di testo Lezioni di algebra lineare con applicazioni alla geometria analitica(F.Bisi,F.Bonsante,S.Brivio).

Definizione (Sottospazio vettoriale)

Dato uno spazio vettoriale reale V , un sottoinsieme W di V è un sottospazio vettoriale di V se W è non vuoto e se:

1) 0V ∈ W;

2) ∀v , w ∈ W =⇒ v + w ∈ W ; 3) ∀v ∈ W , ∀λ ∈ R =⇒ λv ∈ W

Definizione (Span di un insieme di vettori)

Siano V uno spazio vettoriale reale, e u1, . . . , u_k una lista di k vettori di V ; Span (u1, . . . , uk) è l’insieme di tutti i vettori di V che si ottengono come combinazioni lineari di u1, . . . , u_k. In simboli:

Span (u1, . . . , uk) = {λ1u1+ λ2u2+ · · · + λkuk | λ_i ∈ R}

Definizione (Vettori linearmente indipendenti)

Sia u1, . . . , u_k una lista di vettori di V . I vettori u1, . . . , u_k si dicono:

• linarmente indipendenti, se sono tutti non nulli e ciascun elemento ui non è combinazione lineare degli altri elementi della lista;

• linearmente dipendenti, se è possibile scrivere almeno un vettore di tale lista come combinazione lineare degli altri;

Algoritmo - Verificare se i vettori in un insieme sono linearmente indipendenti

Dati i vettori {u1, . . . , u_k} ⊂ V, i vettori sono linearmente indipendenti se e solo se:

u1 6= 0_V u2 ∈/ Span (u1) u3 ∈/ Span (u1, u2)

... ... ...

... ... ...

uk ∈/ Span (u1, . . . , uk−1)

Definizione (Base)

Un insieme di vettori B = {u1, . . . , uk} ⊂ V è una base per V se soddisfa contemporaneamente le due proprietà:

• B è un sistema di generatori di V ;

•i vettori di B sono linearmente indipendenti;

Per ottenere una base a partire da un insieme di generatori di V esistono due metodi, che non sono nient’altro che l’applicazione di uno stesso algoritmo, detto “Algoritmo di estrazione”, seguendo strade differenti.

Definizione (Coordinate di un vettore in una base)

Dato un vettore u ∈ V e una base B = {v1, . . . , vn}di V , per determinare le coordinate di u nella base B bisogna risolvere la seguente equazione vettoriale:























 u1

u2

...

u_n

























B

= λ₁











 v11

v12

...

v_1n











 + λ₂











 v21

v22

...

v_2n













+ · · · + λ_n











 vn1

vn2

...

v_nn













La soluzione univoca di tale equazione, cioè il vettore

(λ1, . . . , λn) ∈ Rⁿ rappresenta le coordinate del vettore u nella base B.

Algoritmo di estrazione (standard)

Dato un insieme di vettori U = {u1, . . . , uk} ⊃ V, per estrarre una base di V a partire da tali vettori bisogna verificare che:

1) uk ∈ Span (U)? Se sì, allora il vettore uk va eliminato e il successivo passo dell’algoritmo andrà applicato all’insieme U privato del vettore uk, cioè U⁰ = {u₁, . . . , u_k−1}. Se no invece il vettore ukva tenuto e quindi U1 = U;

2) u_k−1 ∈ Span (U₁)? Se sì, allora il vettore uk−1 va eliminato e il successivo passo dell’algoritmo andrà applicato all’insieme U1

privato del vettore uk−1, che chiameremo U2.Se no invece il vettore ukva tenuto e quindi U2 = U₁;

.

Algoritmo di estrazione standard

..

k − 1) u₂∈ Span (U_k−2)? Se sì, allora il vettore u2 va eliminato, altrimenti va tenuto.

Questo algoritmo impiega k − 1 passi! E’ piuttosto scomodo quando si ha a che fare con spazi vettoriali di modeste dimensioni (per esempio R³ o R⁴).

In tal caso conviene usare la variante mostrata nella prossima slide.

Algoritmo di estrazione (“in avanti”)

Dato un insieme di vettori U = {u1, . . . , u_k} ⊃ V, per estrarre una base di V a partire da tali vettori bisogna verificare che:

• u₁6= 0_V? Se sì, allora il vettore va tenuto, altrimenti è superfluo e viene eliminato;

• u₂∈ Span (u₁)? Se sì, allora il vettore va eliminato in quanto superfluo. Se no, allora il vettore va tenuto;

• u₃∈ Span (u₁, u₂)? Se sì, allora il vettore va eliminato in quanto superfluo. Se no, allora il vettore va tenuto;

• ...

Algoritmo di estrazione (“ in avanti”)

• ...

• u_i ∈ Span (u₁, . . . , u_{i −1})? Se sì, allora il vettore va eliminato in quanto superfluo. Se no, allora il vettore va tenuto;

L’algoritmo ha termine nel momento in cui abbiamo un numero di vettori pari a n, dove n è la dimensione dello spazio V . Questo metodo è molto comodo quando bisogna trovare basi di spazi vettoriali come R³, dove basta trovare 3 vettori

linearmente indipendenti e il gioco è fatto...

Noi negli esercizi useremo sempre questa variante dell’algoritmo di estrazione.

Algoritmo di completamento

Dato un insieme di vettori U = {u1, . . . , u_k} ⊂ V, per ottenere una base di V a partire da tali vettori bisogna aggiungere all’insieme di vettori U i vettori della base canonica di V nel modo seguente:

• e₁∈ Span (U)? Se sì allora e1 non va preso. Definiamo U1 = U Se no, e1 va preso e aggiunto all’insieme U, così da ottenere l’insieme U1 = {u₁, . . . , u_k, e₁};

• e₂∈ Span (U₁)? Se sì allora e2 non va preso. Definiamo U₂= U₁ Se no, e2 va preso e aggiunto all’insieme U1, così da ottenere l’insieme U2= {U1, e2};

•si ripete il procedimento appena descritto con i vettori rimanenti della base canonica;

Algoritmo di completamento

Non è necessario tuttavia controllare tutti i vettori della base canonica: infatti una volta che avremo un numero di vettori linearmente indipendenti pari a n, dove n è la dimensione di V , il procedimento termina.

Definizione (Somma di sottospazi)

Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , l’insieme somma dei sottospazi è dato da:

U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W } che è ancora un sottospazio di V .

Algoritmo - Trovare una base per la somma di sottospazi

Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , per trovare una base del sottospazio U + W bisogna seguire il seguente procedimento:

1)Si prendono due basi BU e BW qualsiasi di U e W , e le si uniscono in un unico insieme di vettori {BU, B_W};

2)Si applica l’algoritmo di estrazione di una base all’insieme {B_U, B_W}. I vettori linearmente indipendenti che rimarranno alla fine dell’algoritmo sono una base per U + W ;

Definizione (Intersezione tra sottospazi)

Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , l’insieme intersezione dei sottospazi è dato da:

U ∩ W = {v ∈ V | v ∈ U ∧ v ∈ W } che è ancora un sottospazio di V .

Algoritmo - Trovare una base per l’intersezione di sottospazi

Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , per trovare una base del sottospazio U ∩ W bisogna seguire il seguente procedimento:

1)Si prendono due basi BU e BW qualsiasi di U e W , e le si uniscono in un unico insieme di vettori {BU, B_W};

2)Si applica l’algoritmo di estrazione di una base all’insieme {B_U, B_W}. Si tengono i vettori scartati utilizzando tale algoritmo;

3)Si scrivono tali vettori scartati come combinazione lineare degli altri vettori dell’insieme {BU, B_W}. Quindi, se chiamiamo ui ∈ B_U uno di tali vettori scartati, dobbiamo scriverlo come:

Algoritmo - Trovare una base per l’intersezione di sottospazi

4)Per ciascuno dei vettori scartati, si riscrive:

u_i−λ₁u₁−. . .−λ_{i −1}u_{i −1}−λ_{i +1}u_{i +1}−· · ·−λu_k = ν₁w₁+. . .+ν_mw_m = p_j Ovvero si portano a sinistra dell’uguale tutti i vettori che

appartengono allo stesso insieme del vettore scartato ui (in questo caso tutti i vettori appartenenti a U), lasciando a sinistra quelli dell’altro insieme. Il risultato di tale uguaglianza sarà il vettore pj della base di U ∩ W ;

Definizione (Unione tra sottospazi)

Dati i sottospazi U ⊂ V , W ⊂ V , l’insieme unione dei sottospazi è dato da:

U ∪ W = {v ∈ V | v ∈ U ∨ v ∈ W } che NON E’ un sottospazio di V .

Definizione (Formula di Grasssmann)

Dati i sottospazi U, W ⊂ V , vale l’uguaglianza:

dim (U) + dim (W ) = dim (U ∩ W ) + dim (U + W )

Osservazione (Qualcosa di molto utile...)

Dato uno spazio vettoriale V ed un suo sottospazio W , si ha che:

dim (W ) = dim (V ) −n°equazioni cartesiane di W Questa formula ci tornerà estremamente utile nei capitoli successivi!

Definizione (Somma diretta di sottospazi) I sottospazi U1, . . . U_k sono in somma diretta se:

U₂∩ U₁ = {0_V} ; U₃∩ (U₂∩ U₁) = {0_V} ; U4∩ (U₃∩ (U₂∩ U₁)) = {0_V} ;

e così via;

Definizione (Sottospazio complementare)

Dati i sottospazi U, W ⊂ V , W è uno spazio complementare a U se:

• U e W sono in somma diretta;

• dim (U) + dim (W ) = n; dove n = dim (V ).