ESERCIZI SULLE CURVE E.M. & N.P. May 9, 2013

ESERCIZI SULLE CURVE

E.M. & N.P.

May 9, 2013

1. Scrivere le equazioni parametriche della curva con sostegno il segmento di estremi P1(3,3,3) e P2(-2,0,7)



 x y z



=



 3 3 3



+ t









−2 0 7



−



 3 3 3







=



 3 3 3



+ t





−5

−3 4











x(t) = 3 + −5t y(t) = 3 − 3t z(t) = 3 + 4t

, t[0, 1]

−

→γ (t) = (3 − 5t, 3 − 3t, 3 + 4t), t[0, 1]

2. Scrivere una parametrizzazione dell'arco del I, II e IV quadrante avente estremi A(0,-1) e B(-1,0).

Abbiamo un arco di circonferenza che possiamo parametrizzare partendo da B no ad arrivare ad A ( Il raggio è 1)

−

→γ (t) = (cost, sint), t[−^π₂, π]

3. Scrivere una parametrizzazione regolare a tratti del triangolo di vertici A(1,0) B(1,1) e C(0,0).

(dopo aver disprezzato le mie doti di disegno il triangolo lo saprete fare an- che voi tiè)

Parametrizziamo segmento per segmento

−

→γa −→

 x y



=

 1 0

 + t

 1 1



−

 1 0



=

 1 0

 + t

 0 1



−

→γ_a(t) = (1, t), t[0, 1]

Passiamo alla parametrizzazione del secondo segmento

−

→γ_b −→

 x y



=

 1 1

 + t

 0 0



−

 1 1



=

 1 1

 + t

 −1

−1



−

→γb(t) = (1 − t, 1 − t), t[0, 1]

Sappiamo però che dobbiamo operare una traslazione temporale in modo che l'intervallo di t della seconda curva INIZI dalla FINE dell'intervallo della curva precedente

t⁰= t + 1

Trasformiamo tutto in t⁰

−

→γ_b(t⁰) = (2 − t⁰, 2 − t⁰), t⁰[1, 2]

Parametrizziamo il terzo e ultimo segmento

−

→γ_c −→

 x y



=

 0 0

 + t

 1 0



−

 0 0



=

 0 0

 + t

 1 0



−

→γc(t) = (t, 0), t[0, 1]

Come prima dobbiamo traslare la variabile. Stavolta devo partire da 2.

t⁰⁰= t + 2

−

→γc(t⁰⁰) = (t⁰⁰− 2, 0), t⁰⁰[2, 3]

Scriviamo tutto insieme

−

→γ (t) =







(1, t) t[0, 1]

(2 − t, 2 − t) t[1, 2]

(t − 2, 0) t[2, 3]

4. Calcolare la lunghezza della curva −→γ (t) = (t − 1, 1 − t², 2 +²₃t³), t[0, 1]

Devo prima sincerarmi che la curva sia regolare:

−

→γ⁰(t) = (1, −2t, 2t²) 6= ~0∀t Ok. Regolare.

Calcolo la norma k−→γ⁰(t)k=√

1 + 4t²+ 4t⁴=p(2t²+ 1)²= 2t²+ 1 l(−→γ ) =´b

ak−→γ⁰(t)k dt =´1

0(2t²+ 1)dt =h

2^t₃³ + ti¹

0=²₃+ 1 = ⁵₃ 5. Calcolare la lunghezza della curva −→γ (t) = (t, log(1 − t²)), t[−¹₂,¹₂] Regolare?

−

→γ⁰(t) = (1,_1−t^−2t₂) 6= ~0∀t Ok.

k−→γ⁰(t)k=q

1 + _(1−t^4t22)² =q

1+t⁴−2t²+4t² (1−t²)² =q

1+t⁴+2t²

(1−t²)² =q_(1+t2)2

(1−t²)² = ^1+t_1−t²2

l(−→γ ) =´b

ak−→γ⁰(t)k dt =´1/2

−1/2(^1+t_1−t²2)dt =´1/2

−1/2(−1+_1−t¹ +_1+t¹ )dt = [−t − ln(1 − t) + ln(1 + t)]^1/2_−1/2= h−t + ln

1+t 1−t

i^1/2

−1/2= −1 + ln (3) − ln ¹₃
= −1 + 2ln(3) 6. Calcolare la lunghezza della curva −→γ (t) = (t, t³²), t[−¹₂,¹₂]

Se provate a fare i conti arrivate alla ne solo ad allora vi accorgete di un ENORME bastardata che ho messo. Notate come per valori di t negativi siamo fuori dal dominio della curva ( non esiste in campo reale t^(3/2) con t nega- tivo).

Questo era per farvi vedere come anche le curve, essendo funzioni, hanno un dominio, e ci si aspetta che l'intervallo proposto ci cada dentro. In ogni caso una situazione così strana non vi capiterà mai, ma se dovessero capitarvi (come in questo caso) integrali che non sono deniti per i valori dati, allora questa è una possibile causa (supposta vericata la regolarità).

Per farvi vedere comunque una soluzione cambiamo l'intervallo in [0,1/2]

Regolare?

−

→γ⁰(t) = (1,³₂t^1/2) 6= ~0∀t Ok.

k−→γ⁰(t)k=q 1 + ⁹₄t

l(−→γ ) =´b

ak−→γ⁰(t)k dt =´1/2 0

q

1 + ⁹₄tdt = ⁴₉´1/2 0

9 4

q

1 +⁹₄tdt = ⁴₉´1/2 0

9

4 1 +⁹₄t
^1/2 dt =

4 9

 (¹⁺⁹₄^t)^3/2

3/2

1/2

−1/2

=₂₇⁸( q

(¹⁷₈)³− 1)

7. Calcolare la lunghezza della curva −→γ (t) = (t, ), t[−¹₂,¹₂] RIGA MESSA PER SBAGLIO

Calcolare i seguenti integrali curvilinei´

γf ds:

8. f(x, y, z) = x + 3y²− z²+ 1 −→γ (t) = (t², t, 2t + 1),t[0, 1]

Verrichiamo come al solito la regolarità della curva:

−

→γ⁰(t) = (2t, 1, 2) 6= ~0∀t

Regolare.

C'è da vericare inoltre che il dominio della funzione contenga il sostegno della curva

domf = R²=⇒ ∀(x, y) =⇒ ∀t Ok.

k−→γ⁰(t)k=√

4t²+ 1 + 4 =√ 5 + 4t²

´b

af (−→γ (t)) · k−→γ⁰(t)k dt =´1

0(t²+ 3t²− (2t + 1)²+ 1) ·√

5 + 4t²dt =´1 0(4t²− 4t²− 4t − 1 + 1) ·√

5 + 4t²dt = −´1 0 4t ·√

5 + 4t²dt = −¹₂´1 0 8t ·√

5 + 4t²dt =

−¹₂´1

0 8t · (5 + 4t²)^1/2dt = −¹₂h_(5+4t2)^3/2 3/2

i1

0=-¹₃27 − 5√ 5

9. f(x, y) = p1 − y² −→γ (t) = (sint, cost),t[0, π]

Regolare?

−

→γ⁰(t) = (cost, −sint) 6= ~0∀t[non esiste t che annulla contemporaneamente seno e coseno]

Ok.

domf ⊃ Γ?

1 − y²≥ 0 =⇒ −1 ≤ y ≤ 1 =⇒ −1 ≤ cost ≤ 1, ok ∀t

Ok.

k−→γ⁰(t)k=√

cos²t + sin²t = 1

´b

af (−→γ (t)) · k−→γ⁰(t)k dt = ´π 0

√1 − cos²t · dt = ´π 0

√

sin²t · dt = ´π

0 sint · dt = [−cost]^π₀ = 2

10. f(x, y) = y²−→γ (t) = (t, e^t),t[0, log2]

Regolare?

−

→γ⁰(t) = (1, e^t) 6= ~0∀t Ok.

domf ⊃ Γ?

Si perchè il dominio è tutto R² Ok.

k−→γ⁰(t)k=√ 1 + e^2t

´b

af (−→γ (t)) · k−→γ⁰(t)k dt = ´ln2 0 e^2t ·√

1 + e^2tdt = ¹₂´ln2

0 2e^2t ·√

1 + e^2tdt =

1 2

´ln2

0 2e^2t· (1 + e^2t)^1/2dt = ¹₂h_(1+e2t)^3/2 3/2

i^ln2

0 = ¹₃5√ 5 − 2√

2

11. f(x, y) = ¹_x −→γ (t) = (t, tlogt),t[0, π]

Regolare?

−

→γ⁰(t) = (1, logt + 1) 6= ~0∀t Ok.

domf ⊃ Γ?

x 6= 0 =⇒ t 6= 0

NO!! t=0 è contenuto in [0,π]! L'integrale non può essere risolto!

12. f(x, y) = xy dove la curva è una parametrizzazione del quarto di ellisse del I quadrante di semiassi a e b centrata nell'origine.

Dobbiamo parametrizzare l'ellisse solo che invece di prenderla tutta dobbiamo prenderla no all'angolo ^π₂

−

→γ (t) = (acost, bsint),t[0,^π₂] Regolare?

−

→γ⁰(t) = (−asint, bcost) 6= ~0∀t Ok.

domf ⊃ Γ?

Si perchè il dominio è tutto R² Ok.

k−→γ⁰(t)k=√

a²sin²t + b²cos²t

´b

af (−→γ (t)) · k−→γ⁰(t)k dt =´^π₂

0 abcostsint ·√

a²sin²t + b²cos²tdt =´^π₂

0 abcostsint · pa²sin²t + b²(1 − sin²t)dt =´^π₂

0 abcostsint·pb²+ (a²− b²)sin²tdt = _2(a2^ab−b²)

´^π₂

0 2(a²− b²)costsint ·pb²+ (a²− b²)sin²tdt = _2(a2^ab−b²)

h_(b2+(a²−b²)sin²t)^3/2 3/2

i^π/2

0 =

=_3(a2^ab_−b2)a³− b³ = ^ab(a_3(a2³−b^−b23)⁾= ^ab(a−b)(a3(a−b)(a+b)^2+ab+b2) = ^ab(a_3(a+b)^2+ab+b2)

13. f(x, y, z) = x²+ y² dove la curva è una parametrizzazione del segmento di estremi A(1,-1.2) e B(0,0,0)

Parametrizziamo al solito il segmento:



 x y z



=



 1

−1 2



+ t







 0 0 0



−



 1

−1 2







=



 1

−1 2



+ t





−1 1

−2





−

→γ (t) = (1 − t, −1 + t, 2 − 2t), t[0, 1]

Regolare?

−

→γ⁰(t) = (−1, 1, −2) 6= ~0∀t Ok.

domf ⊃ Γ?

Si perchè il dominio è tutto R² Ok.

k−→γ⁰(t)k=√

1 + 1 + 4 =√ 6

´b

af (−→γ (t)) · k−→γ⁰(t)k dt =´1

0((1 − t)²+ (t − 1)²) ·√

6dt =´1

0 2(t − 1)²·√ 6dt = 2√

6´1

0(t − 1)²dt = 2√

6h_(t−1)3

3

i1 0

= ²

√6 3

Calcolare il baricentro delle seguenti curve omogenee (N.B. OMOGENEO ==

densità costante):

µdensità

14. −→γ (t) = (1 + t, 4t),t[0, 1]

Regolare?

−

→γ⁰(t) = (1, 4) 6= ~0∀t Ok.

k−→γ⁰(t)k=√

1 + 16 =√ 17

Calcolo la MASSA della curva m =´

−

→γµ =´b

a µ(−→γ (t)) · k−→γ⁰(t)k dt

Quando la densità è costante non dipende dalla curva m =´1

0 µ · k−→γ⁰(t)k dt =´1 0 µ ·√

17dt = µ√ 17

Adesso calcoliamo coordinate centro di massa (xCM,yCM)

xCM =_m¹ ´

−

→γ µx = _m¹ ´b

aµ(−→γ (t)) · x(t) · k−→γ⁰(t)k dt Con densità costante

xCM =_m¹ ´1

0 µ · (1 + t) ·√

17dt = ^µ

√17 µ√

17

h

t +^t₂²i¹

0= ³₂

y_CM =_m¹ ´

−

→γ µy = _m¹ ´b

aµ(−→γ (t)) · y(t) · k−→γ⁰(t)k dt Con densità costante

yCM =_m¹ ´1

0 µ · 4t ·√

17dt = ^µ

√17 µ√

17

h 4^t₂²i¹

0= 2

−

→x_CM= ³₂, 2

15. −→γ (t) = (cost, sint),t[0, π/2]

Regolare?

−

→γ⁰(t) = (−sint, cost) 6= ~0∀t Ok.

k−→γ⁰(t)k=√

sin²t + cos²t = 1

Calcolo la MASSA della curva m =´π/2

0 µ · k−→γ⁰(t)k dt =´^π₂

0 µdt = µ^π₂

Adesso calcoliamo coordinate centro di massa (xCM,yCM) x_CM =_m¹ ´b

a µ(−→γ (t)) · x(t) · k−→γ⁰(t)k dt = _m¹ ´π/2

0 µ · costdt =_µ^µπ 2

[sint]^π/2₀ = ²_π

y_CM =_m¹ ´b

a µ(−→γ (t)) · y(t) · k−→γ⁰(t)k dt = _m¹ ´π/2

0 µ · sintdt = _µ^µπ 2

[−cost]^π/2₀ = _π²

−

→xCM= ²_π,_π²

16. −→γ (t) = (1 + t, 4t, 3t),t[0, 1]

Regolare?

−

→γ⁰(t) = (1, 4, 3) 6= ~0∀t Ok.

k−→γ⁰(t)k=√

1 + 16 + 9 =√ 26

Calcolo la MASSA della curva m =´1

0 µ · k−→γ⁰(t)k dt =´1 0 µ√

26dt = µ√ 26

Adesso calcoliamo coordinate centro di massa (xCM,yCM,zCM)

xCM =_m¹ ´b

a µ(−→γ (t))·x(t)·k−→γ⁰(t)k dt =_m¹ ´1

0 µ·(1+t)√

26dt = ^µ

√26 µ√

26

h

t + ^t₂²i¹

0=

3 2

yCM =_m¹ ´b

a µ(−→γ (t)) · y(t) · k−→γ⁰(t)k dt = _m¹ ´1

0 µ · 4tdt = ^µ

√26 µ√

26

h 4^t₂²i¹

0= 2

z_CM= _m¹ ´b

aµ(−→γ (t)) · z(t) · k−→γ⁰(t)k dt = _m¹ ´1

0 µ · 3tdt =^µ

√ 26 µ√

26

h 3^t₂²i1

0

=³₂

−

→xCM= ³₂, 2,³₂

17. −→γ (t) = (3cost, 3sint, 4t),t[0, π]

Regolare?

−

→γ⁰(t) = (−3sint, 3cost, 4) 6= ~0∀t Ok.

k−→γ⁰(t)k=√

9sin²t + 9cos²t + 16 =√

9 + 16 = 5

Calcolo la MASSA della curva m =´π

0 µ · k−→γ⁰(t)k dt =´π

0 µ5dt = µ5

Adesso calcoliamo coordinate centro di massa (xCM,yCM,zCM) x_CM =_m¹ ´b

a µ(−→γ (t)) · x(t) · k−→γ⁰(t)k dt = _m¹ ´π

0 µ · 3cost · 5dt = ^µ5_µ53 [sint]^π₀ = 0

y_CM =_m¹ ´b

a µ(−→γ (t)) · y(t) · k−→γ⁰(t)k dt = _m¹ ´π

0 µ · 3sint · 5dt = ^µ5_µ53 [−cost]^π₀ = 6

zCM= _m¹ ´b

aµ(−→γ (t)) · z(t) · k−→γ⁰(t)k dt = _m¹ ´π

0 µ · 4t · 5dt = ^µ5_µ5h 4^t₂²i^π

0 = 2π²

−

→xCM= 0, 6, 2π²

Calcolare le rette tangenti (esprimerle in forma cartesiana) alle curve nei punti assegnati:

18. −→γ (t) = (cost, 1 − t),t[−1, 1], P = (1, 1)

1. Calcoliamo t0 tale che −→γ (t) = P (cost = 1

1 − t = 1 =⇒ t0= 0 2. Calcoliamo −→γ⁰(t0)

−

→γ⁰(t) = (−sint, −1)

−

→γ⁰(t₀) = (0, −1)

3. Usiamo la formula

 x y



= P + −→γ⁰(t0) · (t − t0)

 x y



=

 1 2

 +

 0

−1



· t

(x = 1

y = 2− t eq. parametriche

4. Trovo eq. cartesiana risolvendo il sistema (eliminando dipendenza dal tempo)

In questo caso è banalmente x = 1

19.−→γ (t) = (e^t, t + t²),t[−1, 1], P = (1, 10) 1. Calcoliamo t0 tale che −→γ (t) = P (e^t= 1

t + t²= 1 =⇒ N on esiste t che soddisfa il sistema =⇒il punto non sta sulla curva

20. −→γ (t) = (log(1 − t), t − t²),t[−1,¹₂], P = (0, 0)

1. Calcoliamo t0 tale che −→γ (t) = P (log(1 − t) = 0

t − t²= 0 =⇒ t0= 0 2. Calcoliamo −→γ⁰(t0)

−

→γ⁰(t) = (−_1−t¹ , 1 − 2t)

−

→γ⁰(t₀) = (−1, 1)

3. Usiamo la formula

 x y



= P + −→γ⁰(t0) · (t − t0)

 x y



=

 0 0

 +

 −1 1



· t

(x = −t

y = t eq. parametriche

4. Trovo eq. cartesiana risolvendo il sistema (eliminando dipendenza dal tempo)

y = −x

21. −→γ (t) = (t, t²,_t¹₃),t[¹₂, 2], P = (1, 1, 1)

1. Calcoliamo t0 tale che −→γ (t) = P





 t = 1 t²= 1

1 t³ = 1

=⇒ t0= 1

2. Calcoliamo −→γ⁰(t0)

−

→γ⁰(t) = (1, 2t, −_t³₄)

−

→γ⁰(t₀) = (1, 2, −3)

3. Usiamo la formula



 x y z



= P + −→γ⁰(t0) · (t − t0)



 x y z



=



 1 1 1



+



 1 2

−3



· (t − 1)







x = 1 + t − 1 = t y = 1 + 2(t − 1) z = 1 − 3(t − 1)

eq. parametriche

4. Trovo eq. cartesiana risolvendo il sistema (eliminando dipendenza dal tempo) [In tre dimensioni abbiamo bisogno di DUE eq. cartesiane

(y = 1 + 2(x − 1)

z = 1 − 3(x − 1) k−→γ⁰(t)k = 1

Calcolare le ascisse curvilinee delle seguenti curve a partire dai t0 assegnati:

22. −→γ (t) = (_1+t²2− 1,_1+t^2t2),t[−1, 1],t0= 0 Regolare?

−

→γ⁰(t) = (−_(1+t^4t₂₎₂, −^2(t_(1+t²⁻¹⁾₂₎₂) (−_(1+t^4t2) = 0

−^2(t_(1+t²⁻¹⁾₂₎₂ =⇒

(t = 0

−2(t²− 1) = 0 =⇒Non esistono soluzioni in t=⇒

Regolare

k−→γ⁰(t)k=q

16t²

(1+t²)⁴ +^4(t_(1+t²⁻¹⁾2)⁴² =q

16t²+4t⁴+4−8t² (1+t²)⁴ =q

4t⁴+8t²+4 (1+t²)⁴ = 2

q(t²+1)² (t²+1)⁴ =

2 1+t²

Calcoliamo s(t) s(t) =´t

t0k−→γ⁰(t)k dt =´t 0

2

1+t²dt = [2arctan(t)]^t₀= 2arctan(t) 23. −→γ (t) = (2t, t²,¹₃t³),t[−1, 1],t0= 0

Regolare?

−

→γ⁰(t) = (2, 2t, t²)6=−→ 0 ∀t

k−→γ⁰(t)k=√

4 + 4t²+ t⁴=p(t²+ 2)²= t²+ 2

Calcoliamo s(t) s(t) =´t

t0k−→γ⁰(t)k dt =´t

0(t²+ 2)dt = [^t₃³ + 2t]^t0= ^t₃³ + 2t

24. −→γ (t) = (acost, asint),t[0, 2π],t0= 0 Regolare?

−

→γ⁰(t) = (−asint, acost)6=−→ 0 ∀t

k−→γ⁰(t)k=√

a²sin²t + a²cos²t =√ a²= a

Calcoliamo s(t) s(t) =´t

t₀k−→γ⁰(t)k dt =´t

0adt = at

APPLICAZIONE PRATICA DELL'ASCISSA CURVILINEA

L'ascissa curvilinea entra in gioco quando si vogliono fare le cosiddette ri- parametrizzazioni a velocità unitaria. Come sappiamo se intendessimo una curva come una posizione nel tempo, allora la norma della derivata della curva può essere intesa come il modulo della velocità (se essa è costante nel tempo).

L'ascissa curvilinea denisce dunque una riparametrizzazione della curva nella quale la norma della sua derivata viene unitaria.

Consideriamo gli esercizi 22 e 24 (per il 23 è complesso denire una funzione inversa).

22. Possiamo denire a partire da

s(t) = 2arctan(t) =⇒ t = tan(s 2)

Per riparametrizzare la curva semplicemente sostituiamo a t l'espressione trovata

−

→γ (t) = (_1+tan²2(^s₂)− 1, ^2tan(^s2)

1+tan²(^s₂)), s−^π₂,^π₂

Derivando troviamo

−

→γ⁰(t) = (−sin(s), cos(s))

k−→γ⁰(t)k = 1

23. s(t) = at =⇒ t =_a^s

−

→γ (t) = (acos _a^s
, asin ^s_a
), s[0, a · 2π]

Derivando

−

→γ⁰(t) = (−sin _a^s
, cos(^s_a))

k−→γ⁰(t)k = 1

I concetti di curve a velocità costante sono poi di grande utilizzo in geometria dierenziale delle curve e una parametrizzazione del genere permette successi- vamente di caratterizzare tali curve coi concetti di curvatura e torsione che solo i nostri amici matematici si dedicano a studiare ;)