Esame di geometria e algebra
Laurea Ing. — 9 settembre 2013 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Nello spazio vettoriale R4 si consideri il sottoinsieme
H ={(x, y, 2x, x + 2y)|x, y ∈ R}
(a) Si dimostri che H `e un sottospazio vettoriale di R4. (b) Si determini una base e si calcoli la dimensione di H.
(c) Si determini una base e si calcoli la dimensione di H + K essendo K = L((0, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)). Si tratta di una somma diretta?
2 Si discuta e si risolva il seguente sistema lineare nelle incognite reali x, y, z in cui h `e un parametro reale
hx +2y +hz =2(h + 1)
(h− 1)x +y +(h− 1)z =2h
(h− 1)x −z =h− 1
3 Sia f : R3 7→ R3 l’applicazione cos`ı definita f (x, y, z) = (y− h + 2, y + hz, h − 2 − x).
(a) Si determini il valore del parametro reale h per cui f `e un’applicazione lineare.
(b) Per quel valore di h per cui f `e lineare si scriva la matrice A associata ad f rispetto la base canonica di R3. Si determini inoltre il nucleo e si stabilisca se f `e iniettiva.
4 Sia S =
3 −2 0
0 3 0
1 −1 4
una matrice ad elementi reali.
(a) Si determinino gli autovalori e gli autospazi di S.
(b) Si stabilisca se S `e diagonalizzabile oppure no.
5 Sia E3(R) lo spazio euclideo numerico con un fissato riferimento cartesiano. Si considerino i punti A(0,−2, 0), B(1, −1, 3) e C(1, 3, 2).
(a) Dopo aver verificato che i punti A, B e C non sono allineati si determini il vettore u = −→
AB×−→
AC e si scrivano le equazioni parametriche e cartesiane della retta r per A parallela a u.
(b) Si determinino tra i piani per r quelli aventi distanza 2 dall’origine del riferimento.
Argomenti teorici
• Si scriva la definizione di base di uno spazio vettoriale. Esistono due basi di uno stesso spazio vettoriale con un diverso numero di elementi? Si giustifichi la risposta.
• Si scrivano le definizioni di spazio euclideo e di riferimento cartesiano e se ne forniscano esempi.
• Si scrivano le definizioni di rette sghembe, di distanza e di minima distanza tra due rette sghembe di uno spazio euclideo tridimensionale. Si mostri come calcolare la distanza di due rette sghembe mediante un esempio nello spazio euclideo reale E3(R).
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