Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 21 Gennaio 2020 — Traccia I
COGNOME NOME
1 Si considerino in R4 i vettori
v1 = (1, 2, 0, h), v2 = (0, 1, h, −1), v3 = (2, 0, 16, h).
(a) Si discuta al variare del parametro reale h la dimensione del sottospazio S =< v1, v2, v3 > di R4. (b) Per h = −4 si determini una base B di S e la si completi ad una base di R4.
2 Sia f : R3,1 7→ R3 l’applicazione lineare cos`ı definita f
x y z
= (x − 2y, 2y, z).
(a) Si determini la matrice A associata a f rispetto alle basi canoniche di R3,1 e di R3. (b) Si calcolino gli autovalori e gli autospazi di A e si stabilisca se A `e diagonalizzabile.
3 Si discuta e quando possibile si risolva, al variare del parametro reale k il seguente sistema lineare
kx +y +z +t=k
(k − 1)x +2z +t=k
x +y −z =0
4 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A(1, 0, 1), B(2, 0, 2), C(3, 1, 0), D(4, 1, 1).
(a) Si determinino le equazioni cartesiane della retta r per A e B e della retta s per C e D.
(b) Si determini la posizione reciproca di r e s e si calcoli la distanza tra le due rette.
5 Si scriva la definizione di nucleo di un’applicazione lineare f : V 7→ V0 e si dimostri che esso `e un sottospazio vettoriale di V .
6 Si descrivano i diversi modi di rappresentare un piano dello spazio euclideo fissato un riferimento affine e si scrivano le equazioni dei piani coordinati.
Traccia I — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 21 Gennaio 2020 — Traccia II
COGNOME NOME
1 Si considerino in R4 i vettori
v1 = (1, 0, h, 1), v2 = (2, 1, 0, h), v3 = (1, h, −h, 0).
(a) Si discuta al variare di h la dimensione del sottospazio S =< v1, v2, v3 > di R4. (b) Per h = 1 si determini una base B di S e la si completi ad una base di R4.
2 Sia f : R3,1 7→ R3 l’applicazione lineare cos`ı definita f
x y z
= (2x, y + z, z).
(a) Si determini la matrice A associata a f rispetto alle basi canoniche di R3,1 e di R3. (b) Si calcolino gli autovalori e gli autospazi di A e si stabilisca se A `e diagonalizzabile.
3 Si discuta e quando possibile si risolva, al variare del parametro reale k il seguente sistema lineare
kx +y +z +t=k
(k + 1)x +2y +2z +t=k
x +y +z =0
4 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A(1, 0, 1), B(0, 1, 2), C(3, 1, 0), D(4, 2, 2).
(a) Si determinino le equazioni cartesiane della retta r per A e B e della retta s per C e D.
(b) Si determini la posizione reciproca di r e s e si calcoli la distanza tra le due rette.
5 Si scriva la definizione di applicazione lineare, se ne enuncino alcune propriet´a dimostrandone almeno una.
6 Si stabiliscano le posizioni reciproche di due piani di uno spazio euclideo e, fissato un riferimento cartesiano, si determinino le relative condizioni analitiche.
Traccia II — 1
Esame di Geometria e Algebra
Laurea Ing. — 21 Gennaio 2020 — Traccia III
COGNOME NOME
1 Si considerino in R4 i vettori
v1 = (2h, 2, 0, 1), v2 = (−1, 1, 2h, 0), v3 = (h, 0, 8, 1).
(a) Si discuta al variare di h la dimensione del sottospazio S =< v1, v2, v3 > di R4. (b) Per h = −2 si determini una base B di S e la si completi ad una base di R4.
2 Sia f : R3,1 7→ R3 l’applicazione lineare cos`ı definita f
x y z
= (y, 2y − x, 2z).
(a) Si determini la matrice A associata a f rispetto alle basi canoniche di R3,1 e di R3. (b) Si calcolino gli autovalori e gli autospazi di A e si stabilisca se A `e diagonalizzabile.
3 Si discuta e quando possibile si risolva, al variare del parametro reale k il seguente sistema lineare
kx +y +z +t =k
(k − 1)x +2t=k
x +y +z −t =0
4 Nello spazio euclideo, fissato un riferimento cartesiano, si considerino i punti A(2, 0, 1), B(1, 0, 2), C(3, 1, 0), D(4, 1, −1).
(a) Si determinino le equazioni cartesiane della retta r per A e B e della retta s per C e D.
(b) Si determini la posizione reciproca di r e s e si calcoli la distanza tra le due rette.
5 Si scriva la definizione di immagine di un’applicazione lineare f : V 7→ V0 e si dimostri che Immf `e un sottospazio vettoriale di V0.
6 Si scrivano le definizioni di rette sghembe, di retta di minima distanza e di distanza minima tra due rette sghembe. Che relazione intercorre tra la distanza e la minima distanza tra due rette sghembe?
Traccia III — 1
