Rette parallele-incidenti-sghembe

(1)



Rette e piani affini



Allineamento



Complanarità



Rette parallele-incidenti-sghembe

Rosalba Barattero

ESERCITAZIONE N.5

12 aprile 2010

1

ESERCIZIO1.

Rette del piano reale Siano dati in R

²

i punti A(1,2), B(3,4).

a) determinare il punto E t.c. E-O sia equipollente a B-A.

b) determinare una rappresentazione parametrica e cartesiana della retta passante per E ed O.

c) determinare una rappresentazione parametrica e cartesiana della retta passante per A e B.

a)

il vettore parallelo a B-A e passante per l’origine è il

vettore E-0 e in termini di equipollenza ( stessa direzione, verso e lunghezza ) diciamo che : E-0 = B-A

O

A(1,2)

B(3,4) y

x

(2)

2

Se B= (b

1

, b

2

), A= (a

1

, a

2

) si ha :

B-A = (b

1

-a

1

, b

2

-a

2

) . Da cui segue : E = (b

1

-a

1

, b

2

-a

2

)

A(1,2), B(3,4) => B-A= (3-1,4-2) = (2,2) => E=(2,2)

b)

P(x,y)  retta EO <=> P-O ed E-O sono L.D.

(x,y)= t(2,2) => (x,y)=(2t,2t)

=>   



 t y

t x

2 2

rappresentazione parametrica della retta EO La retta EO è il sottospazio <(2,2)> generato da (2,2).

Per passare alla forma cartesiana possiamo eliminare il parametro t e otteniamo x=y .

E

O

A(1,2)

B(3,4) y

x

3

c) Per la retta AB con A(1,2), B(3,4) :

P(x,y) retta AB <=>esiste un numero reale t tale che P-A= t (B-A) <=> (x-1,y-2) = t(2,2)

<=>   









t y

t x

2 2

2 1

<=>   







 t y

t x

2 2

2 1

rappresentazione parametrica della retta AB ( al variare di t nei reali si hanno tutti i suoi pti ) Per passare alla forma cartesiana eliminiamo il parametro t

x-y+1 =0 è la rappresentazione cartesiana della retta AB

Discussione : confronto tra le due rappresentazioni, vantaggi e svantaggi.

Ma precisiamo meglio con un altro esercizio nello spazio ...

0 1

1 2

2 2 1 2

2 1 2

2 2 1

















 



 



 



 

 

 









y x

x y

y x t x

t y

t

x

(3)

4

ESERCIZIO2.

Rette di R

³

non passanti per l’origine

a) Trovare le equazioni parametriche per la retta r di R

³

passante per i pti A(2,4,7), B(-1,-3,5).

b) Esprimere i pti di r nella forma u+ S , con u R

³

, S sottospazio di R

³

.

c) Trovare le equazioni cartesiane di r.

a)

A-B = (2-(-1),4-(-3),7-5 ) = (3,7,2) ( = v per l’origine) P(x,y,z) sta sulla retta per A e B

  t reale t.c. P-B= t (A-B)

 (x+1,y+3,z-5) = t ( 3,7,2)



_

















 t z

t y

t x

2 5

7 3

3 1



_

















 5 2

3 7

1 3

t z

t y

t x

t R

(B-O)+(A-B)= (A-O) Grazie Equipollenza!

… A-B= v

Rappres. Param. della retta r per A e B

S

u v

P

O B

A

B starting point di r Vettore direzionale

5

b) r: 



 















5 2

3 7

1 3

t z

t y

t x

Ogni pto P della retta per A e B si ottiene come somma di B(-1,-3,5) (= B-O )  r e di un vettore sulla retta passante per O e parallela alla retta AB, ossia : P = B+ S con S sottospazio di R

³

,

generato da B-A= (3,7,2)

 S = <(3,7,2)> è la giacitura di r ( vedi figura pag. successiva)

Per passare dalla forma parametrica a quella cartesiana Con l’aiuto di Kronecker : P-B= t (A-B)

 _



 



   

2 7 3

5 3

1 y z

x =1 che equivale a :

(orlando un qualsiasi minore non nullo di ordine 1, ad es. 3)

7 0 3

3

1  

 y

x

e

^x₃^¹ ^z ₂^⁵ ^⁰

















0 17 3 2

0 2 3 7

z x

y

x

  Oppure possiamo eliminare l’unico parametro ( dim (retta affine) = dim S ( giacitura) = 1 ) individuando le n-d ( n=dimR³=3, d=dim retta) equazioni indispensabili : 3-1 =2















17 3

2

2 3 7

z x

y

x

è la rappresentazione cartesiana di r

(4)

6



Ogni spazio affine

A

è individuato da un pto P ( un qualsiasi pto di partenza) e dalla giacitura D(

A

)= Q-P| al variare di Q pto di A ,

ossia il sottospazio di tutti i vettori direzionali di

A

 A

non è chiuso risp. alla somma e al prodotto esterno, come invece è D(

A

⁾, che è sottospazio di R³ !



Ladimensione dello spazio affine

A

è definita come dim(D(

A

⁾⁾

La figura di questa pagina è tratta da Tom M. Apostol – Calculus – vol.I 7

 La giacitura di uno spazio affine A è un sottospazio vettoriale

( quindi passa sempre per l’origine !)

Qui è il luogo di tutte le direzioni (delle rette) del piano affine.

 La dimensione di uno spazio affine è per def. la dimensione del sottospazio vettoriale D( A ^).

La figura di questa pagina è tratta da Tom M. Apostol – Calculus – vol.I

(5)

8

ESERCIZIO 3.

Allineamento di punti

Stabilire se i seguenti pti sono allineati e in ciascun caso determinare equazioni parametriche e cartesiane di un insieme affine ( retta o piano) che contiene i pti:

a) A(2,3,-4), B(3,7,2), C(4,11,8) b) D(1,-1,-10), E(2,4,-5), F(3,8,3).

a)



₂¹ ₈⁴ ₁₂⁶^¹

 





sì ! A,B,C sono allineati, un insieme

affine contenente A,B,C è ad. esempio la retta affine passante per A, B ( è l’insieme affine di dim. minima che contiene A,B,C )

X= A+t(B-A) con X=(x,y,z), A(2,3,-4),B-A = (1,4,6)

r : A + S = A+<(1,4,6)> = (x,y,z)R

³

| _



 

















t z

t y

t x

6 4

4 3 2

 Forma parametrica di r

B C

A

A(a₁, a₁, a₁), B(b₁, b₂, b₃),C(c₁, c₂, c₃)

A,B,C allineati B-A=t(C-A), tR

 ¹

3 3 2 2 1 1

3 3 2 2 1

1

  

 







a c a c a c

a b a b a b

9

Come prima si trova











 16 6

5 4

z x

y x

: forma cart. della retta

b)

D(1,-1,-10), E(2,4,-5), F(3,8,3)=>E-D=(1,5,5),F-D= (2,9,13)



¹₂ ₉⁵ ₁₃⁵^²



 





(E-D, F-D sono L.I. )

D,E,F non sono allineati  individuano un piano   u= E-D= (1,5,5), v= F-D= (2,9,13) generano il piano S =<u,v> ( giacitura di  )

 il piano affine  passante per D,E,F è D+ S   Per ottenere una sua rappr. param. si pone:

(x,y,z)=(1,-1,-10)+ r(1,5,5)+t(2,9,13)

  : _



 



















t r z

t r y

t r x

13 5 10

9 5 1

2 1

al variare di r,t in R

 Per ottenere la sua rappr. cartesiana si eliminano i parametri r , t e si ottiene l’equazione di  ( a meno di multipli) [ (3-2) equazioni ]

 Altrimenti … (x,y,z)- (1,-1,-10) = (x-1,y+1,z-10) È C.L. di (1,5,5) , (2,9,13)

E quindi

⁰

13 9

2

5 5

1

10 1

1





 y z

x

=> : 20x-3y-z=33.

(6)

10

ESERCIZIO 4.

Rette parallele, incidenti, sghembe Stabilire se le rette sono parallele, incidenti o sghembe r :



















 t z

t y

t x

2 2 1

, s:retta passante per A(2,-1,0),B(0,-4,-1)

D

A RICORDARE

Date A

1

, A

2

rette di R

³

, S

₁

= D( A

1

), S

₂

= D( A

2

) le loro giaciture, diciamo

‐ A

1

// A

2

( paralleli ) se S

1

= S

2

‐ A

1

, A

2

incidenti se A

1

 A

2

 

^(*)

‐ A

1

, A

2

^sghembe ^se A

1

, A

2

non sono né parallele, né incidenti

A₁

A2

(*)

A

1

 A

2

  e

A

1

// A

2

^=>

A

1 e

A

2 coincidenti

11

r :



















 t z

t y

t x

2 2 1

, s:retta passante per A(2,-1,0),B(0,-4,-1) Controlliamo se per caso A o B stanno su r :



















 t t

t 2 2 0

1 1 2

: No, non esiste t che soddisfi le tre eq.

ⁿⁱ





















t t t

2 2 1

4 1 0

: No, non esiste t che soddisfi le tre eq.

ⁿⁱ

… peccato, i dati non ci forniscono informazioni immediate !

r : (1,0,2)+<(1,-1,2)>  S

1

= D(r)=<(1,-1,2)>

Per s : B-A= (-2,-3,-1)  S

2

= D(s)=<(-2,-3,-1)>

Le due giaciture S

₁

, S

₂

sono distinte,(i generatori sono L.I.) quindi r ed s NON sono parallele.

Studiamo l’incidenza :

s: (2,-1,0)+k(-2,-3,-1), r : (1,0,2)+t(1,-1,2) Il pto generico di s è P(2-2k,-1-3k,-k).

Il pto generico di r è Q(1+t,-t,2+2t).

(7)

12

L’eventuale pto a comune dovrà soddisfare la con-

dizione (2-2k,-1-3k,-k)= (1+t,-t,2+2t), che si traduce nel

sistema























t k

2 2 3 1

1 2 2

.

Dobbiamo stabilire se esiste un valore di t e un valore di k che soddisfano il sistema.

Si può procedere per sostituzione in questo caso :

























t k

t t

2 2

) 2 2 ( 3 1

1 ) 2 2 ( 2 2



_



















t k

t t

2 2 7 5

3 5































t k

t t

2 2 7 5 3 5

Assurdo !

Quindi r ed s NON sono incidenti, e non essendo neppure parallele, concludiamo che r ed s sono sghembe (e quindi non complanari: non esiste nessun piano che contiene sia r che s).

13

ESERCIZIO 5.

Rette complanari Siano date in R

³

le rette

r: {(x,y,z) di R

³

| x=1, y=t+1, z=-t , al variare di t reale} , s: {(x,y,z) di R

³

| x+y+z=0, 2x-y-z=-1}

Stabilire se le due rette sono complanari e, in caso affermativo,determinare il piano che le contiene.

L'esercizio è il 30. sul wiki di Aulaweb 2008/2009 e qua riporto un 'mixing' dei contributi degli studenti che lo hanno risolto.

Per prima cosa abbiamo verificato che non siano coincidenti ( in realtà gli studenti intendono studiare l'incidenza ! ) :  















1 1

2 0 1 1

t t

Con l'assurdo 2=0 otteniamo l'informazione: nessun pto di r sta su s , quindi r ed s non sono incidenti !

Poi abbiamo portato in forma cartesiana r e quindi

abbiamo calcolato D(s) e D(r) scoprendo che sono uguali

D(s):   









0 2

0 z y x

z y x

D(r): <(0,1,-1)>

(0,1,-1) D(s) => t(0,1,-1)  D(s) => D(r)=D(s)=(0,t,-t)

Conclusione : r ed s sono parallele e quindi complanari

(8)

14

Per trovare il piano che le contiene ( vedi fig. sotto) , cominci a cercare un punto di s: devi trovare una tripla (x,y,z) che verifichi il

sistema   











1 2

0 z y x

z y x

quindi sommando le due trovi x=-1/3 poi per es. y=1/6 e z=1/6 (questo è solo uno dei tanti punti su s) e poi fai la sottrazione tra un punto specifico di r, per es. P

_r

(1,1,0) e un punto specifico di s, per esempio P

_s

(-1/3,1/6,1/6) appena trovato e questo vettore risultante è uno dei due vettori di giacitura del piano, l'altro è (0,1,-1),vettore direzionale di r

Così puoi individuare il piano:

è il piano passante per P

r

(1,1,0) ,

di giacitura <(0,1,-1), (1+1/3, 1-1/6, -1/6) >

Più precisamente il piano ha rappresentazione parametrica (x,y,z)= (1,1,0)+ t(0,1,-1)+s(4/3,5/6,-1/6)

P

_r

r s

P

s