Problema 3: Calcolare Z Z Z D zdxdydz dove D = {(x, y, z

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 7/9/2016

A.A. 2015/2016

Problema 1: Studiare continuit`a e differenziabilit`a della funzione in (0, 0)

f (x, y) =

(x + y , |y| ≤ x², x²+ y , |y| > x².

Problema 2: Dato il campo scalare

f (x, y) = 3x + y 2x²+ y + 1

determinare il suo insieme D di definizione. Determinare e studiare la natura dei punti critici di f .

Problema 3: Calcolare

Z Z Z

D

zdxdydz

dove D = {(x, y, z) ∈ R³ : −1 ≤ z ≤ 0, x²+ y²+ (z − 1)²≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0}

Problema 4: Risolvere l’equazione differenziale

y⁰⁰+n − 1

t y⁰= t^α, al variare dei parametri n ≥ 3 e α ∈ R.

Problema 5: Sia

f (x) = π²− x², x ∈ [−π, π[,

e si denoti con f^] il suo prolungamento periodico su R. Calcolare la serie di Fourier associata a f^], studiarne la convergenza e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

∞

X

n=1

(−1)ⁿ n² ,

∞

X

n=1

1 n².

Problema 6: Calcolare il seguente integrale Z

R

cos(x) + sin(x) x²+ 4 dx .